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九年级数学下册第二十八章锐角三角函数教案新版新人教版

第二十八章　锐角三角函数

　1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中两边的比.

　2.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.

　3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角.

　4.理解直角三角形中五个元素的关系,以及什么是解直角三角形,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

　5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用.

　1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

　2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.

　3.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.

　4.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

　5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.

　1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

　2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证,提高数学思维能力.

　3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.

　4.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

　5.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.

　6.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.

　本章《锐角三角函数》是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容,是初中阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函数的继续,也是继续学习三角形的基础,本章属于三角学中的最基础的部分,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做准备.

　本章在前边研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上,进一步研究边角之间的关系,本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念）,以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容,锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在实际当中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础.通过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想.

　【重点】

　1.正弦、余弦、正切的概念.

　2.特殊角的三角函数值.

　3.会解直角三角形.

　4.能利用三角函数有关知识解决实际问题.

　【难点】

　1.解直角三角形的应用.

　2.把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题.

（1）注重数形结合,加深理解记忆

　解决锐角三角函数的有关问题,都是在直角三角形中进行的,所以数形结合思想是本单元的重要思想方法.已知角所在的三角形为直角三角形时,常根据三角函数定义得到边角之间的关系,解决有关几何图形问题,已知角不在直角三角形中时,常通过作辅助线,构造直角三角形,再利用三角函数定义解决几何图形问题,所以在教学中注重数形结合思想的学习,在探究特殊角的三角函数值时,结合特殊的直角三角形,利用边角之间的关系,通过计算得出特殊值,体会由形到数的转化;由特殊角的三角函数值,通过构造直角三角形,得到边角之间的关系,体会由数到形的转化.

（2）重视知识的形成过程,深化理解概念

　锐角三角函数的概念是本章的难点,也是学习本章的关键,难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系,这种角与函数之间的关系,学生以前没有接触过,所以学生对三角函数概念的理解成为本章的难点.在教学设计中,重视过程,深化理解,以直角三角形为主线,力求体现生活化课堂的理念,让学生在经历“问题情景——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中,通过主动探究来体现他们的主体地位,教师通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.学生经历概念的形成过程,体验知识间的内在联系,感受探究的乐趣,从而加深对概念的理解和掌握.

28.1　锐角三角函数

4课时

28.2　解直角三角形及其应用

28.2.1　解直角三角形（1课时）

28.2.2　应用举例（2课时）

3课时

单元概括整合

1课时

28.1　锐角三角函数

　1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值,从而引出正弦、余弦、正切的概念.

　2.了解三角函数的概念,理解锐角的正弦、余弦、正切的概念并能根据这些概念进行有关计算.

　3.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

　4.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

　5.让学生熟识计算器一些功能键的使用.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求角.

　1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

　2.经过三角函数概念的发现与学习,养成勤于思考,善于发现的良好习惯.

　3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

　4.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提高综合运用数学知识解决问题的能力.

　5.自己熟悉计算器,在老师的指导下求一般锐角三角函数值,体会数学知识与实际生活息息相关.

　1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.

　2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证,提高数学思维能力.

　3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.

　4.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

　5.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.

　【重点】

　1.理解各三角函数的意义,并会求锐角的各三角函数值.

　2.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

　3.运用计算器处理三角函数中的值或角的问题.

　【难点】

　1.探索各三角函数值的概念.

　2.30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.

　3.运用计算器处理三角函数中的值或角等问题.

第

课时

　1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值,从而引出正弦的概念.

　2.理解锐角的正弦的概念,并能根据正弦的概念进行计算.

　1.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

　2.通过锐角的正弦的学习,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

　1.通过锐角的正弦概念的建立,体会从特殊到一般的数学思想方法,渗透数形结合思想.

　2.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.

　3.通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考的好习惯,同时培养学生的团队合作精神.

　【重点】　

　理解正弦函数的意义,并会求锐角的正弦值.

　【难点】　

　理解直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值.

　【教师准备】　多媒体课件.

　【学生准备】　预习教材P61~63.

导入一:

　意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜,其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m.1972年比萨地区发生地震,这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m,而且还在继续倾斜,有倒塌的危险.当地从1990年起对斜塔维修纠偏,2001年竣工,此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.

　【师生活动】　学生欣赏比萨斜塔图片,教师介绍比萨斜塔有关知识,然后引出本章课题.

　　[过渡语]　你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?

通过本章的学习,你将能够解决这个问题.

导入二:

　【复习提问】

　1.直角三角形有哪些特殊性质?

　2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?

　3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?

　【师生活动】　学生思考回答,教师点评.

导入三:

　操场上有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.

　小明在离旗杆底部10米远处目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并且已知目高为1.5米,然后他很快就能算出旗杆的高度了.

　　[过渡语]　你想知道小明怎样算出的吗?

这就是我们即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测量物体的高度.今天我们学习锐角三角函数的第一种——锐角的正弦.

　[设计意图]　通过大家熟知的意大利比萨斜塔导出本章学习内容,激发学生学习本章的求知欲,同时又以生活实例测旗杆的高度导入本课时的内容,让学生体会测量旗杆的高度不仅可以用上章所学习的相似三角形,还可以应用本章的锐角三角函数,激发学生的学习兴趣,体会生活与数学之间的密切联系.同时由复习导入新课,为本节课的学习做好铺垫.

一、共同探究

　思路一

　为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角（∠A）为30°,为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管?

　思考一

（1）你能不能把该实际问题转化为几何语言?

　[在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB（如右图所示）]

（2）你能求出AB的长度吗?

为什么?

　（根据直角三角形中30°的锐角对应的直角边等于斜边的一半,可得AB=2BC=70m）

　（3）计算题目中∠A的对边与斜边的比是多少.

　（4）在该题目中,如果出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?

此时的值是多少?

需要准备100m长的水管,=

　（5）出水口的高度改变,∠A不变时,∠A的对边与斜边的比是否变化?

不变,都等于

　【师生活动】　学生独立思考后,小组交流答案,学生展示结果,教师点评,归纳结论.

　【结论】　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.

　思考二

（1）如下图所示,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,你能计算出∠A的对边与斜边的比吗?

（2）通过计算,你能得到什么结论?

　【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,小组代表展示成果,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,共同归纳结论.

　【结论】　在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.

　思考三

　【猜想】　一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?

　如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?

用语言叙述你的结论.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.

　【板书】　由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,

　所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

　因此,=,即=.

　【课件展示】　在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.

　思路二

　动手操作:

（1）测量自己手中一副三角板中30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的长度,并计算它们的比值.其中一同学测量、计算教师手中的三角板中各角所对的直角边与斜边的比值.

（2）小组内交流计算结果,三角板的大小不同,30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的比有什么特点?

你能得到什么结论?

　【师生活动】　学生动手测量、计算,小组内交流结果,共同归纳结论,教师及时发现学生存在的问题并及时纠正,对学生的结论进行点拨.

　【结论】　不论三角板大小如何,30°,45°,60°角的对边与斜边的比都是一个固定值.

　【猜想】　如果是任意一个直角三角形,当一个锐角的度数固定时,这个角的对边与斜边的比是否也是固定值呢?

　【验证】　如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?

用语言叙述你的结论.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.

　【板书】　由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,

　所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

　因此,=,即=.

　【课件展示】　在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.

　[设计意图]　思路一由实际问题入手,计算直角三角形中特殊锐角所对的直角边与斜边的比是固定值,然后类比探索出直角三角形中锐角确定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值;思路二通过操作、测量、猜想、验证,得出结论,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳总结能力.

二、形成概念

　　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值,这个固定值就是这个锐角的正弦值.

　【课件展示】　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA==.

　【思考】　

（1）当∠A=30°或∠A=45°时,∠A的正弦为多少?

当∠A=30°时,sinA=sin30°=;当∠A=45°时,sinA=sin45°=

（2）∠A的正弦sinA表示的是sin与A的乘积还是一个整体?

（sinA表示的是一个整体）

　（3）当∠A的大小变化时,sinA是否变化?

（sinA随着∠A的大小变化而变化）

　（4）sinA有单位吗?

（sinA是一个比值,没有单位）

　（5）∠B的正弦怎么表示?

　（6）要求一个锐角的正弦值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?

（需要知道这个锐角的对边和斜边）

　【师生活动】　学生思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨.

　[设计意图]　在一系列的问题解决中,经历从特殊到一般建立数学概念的过程,让学生理解、认识正弦的概念及写法和意义,教师强调概念中需注意的事项,加深对正弦概念的理解和掌握.

三、例题讲解

　（教材例1）如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.

　教师引导思考:

（1）求sinA实际上要确定什么?

依据是什么?

sinB呢?

（2）sinA,sinB的对边和斜边是已知的吗?

　（3）直角三角形中已知两边如何求三角形的第三边?

　【师生活动】　学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程,教师规范解题步骤.

　【课件展示】　解:

如图

（1）所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===5.

　因此sinA==,sinB==.

　如图

（2）所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===12.

　因此sinA==,sinB==.

　[设计意图]　学生在教师的引导下,根据正弦的概念求出角的正弦值,教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.

　[知识拓展]　

（1）正弦是一个比值,没有单位.

（2）正弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.

　（3）sinA是一个整体符号,不能写成sin·A.

　（4）当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.

　（5）sin2A表示（sinA）2,不能写成sinA2.

　1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

　2.正弦的定义:

在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA==.

　1.如图所示,△ABC的顶点都是正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中的格点,则sin∠ABC等于　　（　　）

　A.　　　B.　　　C.　　　D.

　解析:

如图所示,过点A向BC引垂线,与BC的延长线交于点D.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB==2,∴sin∠ABC==.故选C.

　2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值　　（　　）

　A.不变　　B.缩小为原来的

　C.扩大为原来的3倍　　D.不能确定

　解析:

因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正弦值也不变.故选A.

　3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=20,则BC=　　　　. 

　解析:

∵AB=20,sinA=,∴sinA==,∴BC=×20=12.故填12.

　4.如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,DE=8cm,sinA=,则菱形ABCD的面积是　　　　cm2. 

　解析:

在菱形ABCD中,DE⊥AB,在Rt△DEA中,DE=8cm,sinA=,则=,则AD=10cm.所以AB=AD=10cm,所以菱形ABCD的面积=DE×AB=8×10=80（cm2）.故填80.

　5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,且sinB=,试分别求出AC,AB的值.

　解:

在Rt△ABC中,∠C=90°,

　∴sinB==.

　设AC=3x,则AB=5x.

　又AB2=AC2+BC2,

　∴（5x）2=（3x）2+62=9x2+36,

　即25x2=9x2+36,

　∴x=,∴AC=3x=,AB=5x=.

　第1课时

　1.共同探究

　2.形成概念

　在Rt△ABC中,∠C=90°,则sinA==.

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

【必做题】　

　教材第68页习题28.1第1,2,4题.（只求正弦）

【选做题】　

　教材第69页习题28.1第6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sinB的值为　　（　　）

　　　B.　　　C.　　　D.2

2.三角形在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中的位置如图所示,则sinα的值是　　（　　）

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

3.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=,则BC等于　　（　　）

A.45　　B.5　　C.　　D.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为　　（　　）

A.　　B.　　C.　　D.1

5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为　　（　　）

A.　　B.　　C.　　D.

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sinA=　　　　. 

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=,则AB=　　　　. 

8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC=　　　　,sin∠ADC=　　　　,sin∠ABC=　　　　. 

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,求sinA和sinB的值.

10.在Rt△ABC中,∠C=90°.

（1）若sinA=,BC=9,求AB的长;

（2）若sinB=,AB=10,求BC的长.

【能力提升】

11.如图所示,圆O的直径CD=10cm,且AB⊥CD,垂足为P,AB=8cm,则sin∠OAP=　　　　. 

12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=20,则sinB=　　　　. 

13.如图所示,菱形ABCD的周长为40cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=.则下列结论正确的有　　　　.（填序号） 

①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD=4cm.

14.如图所示,将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值.

【拓展探究】

15.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.

【答案与解析】

1.A（解析:

在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB==.故选A.）

2.C（解析:

观察网格图,可知在直角三角形中,α的对边长为3,邻边长为4,根据勾股定理可得斜边长为5,所以根据正弦定义可得sinα=.故选C.）

3.B（解析:

∵sinA==,AB=15,∴BC=5.故选B.）

4.C（解析:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,设BC=a,则AB=2a,根据勾股定理可得AC===a,∴sinB===.故选C.）

5.A（解析:

在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AB===3.由题意知∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sinB==.故选A.）

6.（解析:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,∴BC===,∴sinA==.故填.）

7.6（解析:

∵sinA===,∴AB=6.故填6.）

8.　　（解析:

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC==,AC===4,∴sin∠ADC=sin∠ABC==.故依次填,,.）

9.解:

由勾股定理可得AB==（cm）,所以sinA===,sinB===.

10.解:

（1）∵sinA==,又BC=9,∴AB=15.　

（2）∵sinB==,又AB=10,∴BC=8.

11.（解析:

∵AB⊥CD,∴AP=BP=AB=×8=4（cm）,在Rt△OAP中,OA=CD=5cm,∴OP==3cm,∴sin∠OAP==.故填.）

12.（解析:

在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,即=,设CB=4x,则AB=5x,∴根据勾股定理可得A