人教版数学七年级下册《立方根》教学详案.docx

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人教版数学七年级下册《立方根》教学详案

《立方根》教学详案

1.理解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.

2.理解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根.

3.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.

用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自己总结出平方根与立方根的异同.

渗透由一般到特殊的思想方法,培养学生的求同存异思维.

【重点】　立方根的概念和求法.

【难点】　立方根与平方根的区别.

【教师准备】　教材例题和探究的投影图片.

【学生准备】　复习平方根的相关知识.

导入一:

如图所示,有一个正方体形状的仓库,体积为64m3,现准备将其扩充（形状还是正方体）,以存放更多的货物,其棱长增加多少,才能使体积达到512m3?

提出问题:

要求棱长增加多少,可分别求出大小两个正方体的棱长,再求它们的差即可.由此可设大小两个正方体的棱长分别为a,b,则由题意知a3=512,b3=64,那么如何由a3=512,b3=64求a,b呢?

　通过“体积计算”这个数学场景帮助学生认识到一种新的计算（开立方）的存在.

导入二:

要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?

设这种包装箱的边长为xm,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27.

因为33=27,

所以x=3.

即这种包装箱的边长应为3m.

上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢?

这就是我们要研究的开立方的问题.

　从学生生活实际中常见到的问题引入课题,让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用.

　　　（针对导入二）在上面的问题中有33=27,还有没有另外一个数的立方结果也是27呢?

我们一同研究一下这个问题.

1.立方根的定义.

计算下面各小题.

（1）23=　　　　,（-2）3=　　　　; 

（2）0.53=　　　　,（-0.5）3=　　　　; 

（3）=　　　　,=　　　　; 

（4）03=　　　　. 

问题思考:

（1）写出各小题的计算结果.

答:

23=8,（-2）3=-8;0.53=0.125,（-0.5）3=-0.125;=,=-;03=0.

（2）经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

答:

一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等.

（3）如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达.

答:

例如,如果一个数的三次方等于8,这个数是　　　　. 

如果一个数的三次方等于-8,这个数是　　　　. 

（4）参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗?

答:

一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

　前两个问题由学生交流讨论完成.第（3）个问题侧重逆向思考,通过求一个数立方的过程,反过来思考怎样求一个数是由什么数的立方得来的,这就为引入立方根的概念奠定了基础.第（4）问侧重类比平方根知识的学习,引导学生自我总结立方根的定义.

2.立方根的性质.

　　　求一个数的平方根的运算叫做开平方,那么什么叫做开立方呢?

问题思考:

（1）什么叫做开立方?

（2）开立方与立方的运算是怎样的关系?

（3）开立方的数学符号表达是怎样的?

（4）类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质.

处理方式:

学生交流讨论,老师概括总结.

问题提示:

（1）求一个数的立方根的运算,叫做开立方.

（2）开立方与立方互为逆运算.

（3）一个数a的立方根表示为,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略.

（4）正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.

　（补充）求下列各数的立方根.

（1）125;

（2）-0.064;（3）-5;（4）.

〔解析〕　可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质=-.

解:

（1）因为53=125,

所以125的立方根是5,即=5.

（2）因为（-0.4）3=-0.064,

所以-0.064的立方根是-0.4,

即=-0.4.

（3）因为-5=-,=-,

所以-5的立方根是-.

（4）因为=8,而23=8,

所以的立方根是2,即　=2.

　立方根的两个重要性质.

（1）=-.例如:

=-2,-=-2,所以=-.

（2）==a.例如:

==64.

3.用计算器求立方根.

（1）用计算器求立方根的方法.

方法一:

很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如,按键顺序为:

4=.

方法二:

有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为:

先按2ndF键,再按键,再输入被开方数,最后按=键.

　用计算器求下列各数的立方根.（精确到0.01）

（1）1594.5;

（2）0.001237;（3）-5.

解:

（1）按键顺序为1594.5,

显示11.68265382,所以≈11.68.

（2）按键情况类似于

（1）,≈0.11.

（3）按键情况类似于

（1）,　≈-1.73.

（2）探究（教材51页）.

问题提示:

发现规律:

被开立方数的小数点每向右（或向左）移动三位,开立方后的结果向相同的方向移动一位.

因为≈4.642,所以≈0.4642,≈0.04642,≈46.42.

　用计算器求一个负数的立方根时,可先求它的绝对值的立方根,再在结果前加上负号.用计算器求一个数的立方根要注意先详细查看计算器功能键的设置,不同的计算器的按键方法不一样.

1.立方根等于本身的数有1,0,-1.

2.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.

3.若两个数互为相反数,则它们的立方根仍互为相反数,反之也成立.

4.=a,=a.

1.64的立方根是（　　）

A.4B.±4C.8D.±8

解析:

一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A.

2.等于（　　）

A.2B.-2C.2D.-2

解析:

如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有（-2）3=-8,所以=-2.故选B.

3.下列说法正确的是（　　）

A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数

B.一个数的立方根与这个数同号

C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根

D.一个数的立方根是非负数

解析:

利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误.故选B.

4.一个长方体的长为5cm、宽为2cm、高为3cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长（结果精确到0.01cm）.

解:

设这个正方体的棱长为xcm.根据题意,得x3=3×5×2×3,即x3=90,两边开立方,得x=≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48cm.

6.2　立方根

1.立方根的定义

2.立方根的性质

例1

3.用计算器求立方根

例2

一、教材作业

【必做题】

第51页练习第1,2题.

【选做题】

第51页练习第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.（2014·潍坊中考）的立方根是（　　）

A.-1B.0C.1D.±1

2.下列说法中正确的是（　　）

A.-4没有立方根

B.1的立方根是±1

C.的立方根是

D.-5的立方根是

3.-125的立方根与64的算术平方根的和等于　　　　. 

4.计算.

（1）-+;

（2）-　+.

5.求下列各式中的x.

（1）8x3+125=0;

（2）（x+3）3+27=0.

【能力提升】

6.某数的立方根是它本身,这样的数有（　　）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

7.一个正方体的水晶砖,体积为100cm3,它的棱长大约在（　　）

A.4cm~5cm之间

B.5cm~6cm之间

C.6cm~7cm之间

D.7cm~8cm之间

8.下列各式正确的是（　　）

A.±=±1

B.=±2

C.=-6

D.=3

9.若一个偶数的立方根比2大,算术平方根比4小,则这个数一定是　　　　. 

10.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸造成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢锭的边长.

【拓展探究】

11.

（1）若与（b-27）2互为相反数,求-的立方根.

（2）已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x是4的算术平方根,求++x的值.

12.一个正方体的体积为64cm3,它的边长是多少厘米?

如果它的边长扩大到原来的2倍,它的体积是原正方体体积的多少倍?

若正方体的体积改为原正方体体积的一半,它的边长是多少厘米（结果保留一位小数）?

【答案与解析】

1.C（解析:

如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为（-1）2=1,而1的立方根等于1,所以的立方根是1.故选C.）

2.D（解析:

利用立方根的定义分别分析各选项.A.-4的立方根是,故此选项错误;B.1的立方根是1,故此选项错误;C.的立方根是　,故此选项错误;D.-5的立方根是,故此选项正确.故选D.）

3.3（解析:

因为-5的立方等于-125,所以-125的立方根等于-5,因为82=64,所以64的算术平方根等于8.所以-5+8=3,所以-125的立方根与64的算术平方根的和等于3.故填3.）

4.解:

（1）原式=-9+8=-1.　

（2）原式=0.3--0.1=0.

5.解:

（1）因为8x3+125=0,所以x3=-,所以x=　,所以x=-.　

（2）因为+27=0,所以=-27,所以x+3=,所以x+3=-3,所以x=-6.

6.C（解析:

根据立方根的定义,可以先设出这个数,然后列等式进行求解.设这个数为a,则=a,所以a3=a,所以a=0或±1,故选C.）

7.A（解析:

由题意得棱长是.因为<<,故选A.）

8.A（解析:

±=±1,A正确;=2,B错误;==6,C错误;=-3,D错误,故本题应选A.）

9.10,12或14（解析:

本题主要考查对平方根、立方根的概念以及其性质的理解,因为立方根大于2的数要大于8,而算术平方根小于4的数要小于16,所以这个偶数大于8而小于16,所以这个数一定是10,12或14.）

10.解:

设立方体钢锭的边长为xcm,由题意得27x3=40×80×160,即27x3=512000,x3=,所以x==.答:

立方体钢锭的边长为cm.

11.解:

（1）由题意可知+（b-27）2=0,所以a=-8,b=27,所以-=-=-2-3=-5.　

（2）因为a,b互为相反数,所以a=-b,所以a3=-b3,即a3+b3=0.又因为c,d互为倒数,所以cd=1.因为x是4的算术平方根,所以x=2.所以++x=++2=3.

12.解:

设正方体的边长是xcm,根据题意得x3=64,x=4,即边长是4cm.若边长扩大到原来的2倍,则体积为（2x）3=23×x3=8×64=512（cm3）,是原来的8倍.若体积变为原边长的一半,则x3==32,解得x≈3.2.

在本课时的教学过程中,始终贯彻与平方根学习类比的思想,既做到了知识的复习,也将新旧知识融合在一起,提高了学生学习的兴趣,降低了学习的难度,帮助学生体验了正确的学习方法给学习带来的益处.

在类比用平方根知识探索立方根知识的过程中,对平方根知识的复习比较分散,对于平方根和立方根的区别强调较少,补充的两个例题难度略大.

在知识总结的环节中,通过列表的方法帮助学生整合平方根和立方根的知识;降低补充的习题难度,把巩固知识作为例题教学的重点目标,淡化知识的综合运用.在用计算器进行立方根探索的时候,鼓励学生创意性地使用计算器.

练习（教材第51页）

1.提示:

（1）10　

（2）-0.1　（3）-1　（4）-

2.提示:

（1）12　

（2）25　（3）±13

3.提示:

3<<4.

4.提示:

棱长为.

习题6.2（教材第51页）

1.提示:

（1）正确　

（2）不正确　（3）正确　（4）正确

2.提示:

（1）

（2）（3）（4）都有意义.原因略.

3.提示:

（1）-0.3.　

（2）-.　（3）　=　=.　（4）　=　=-.

4.提示:

（1）9.539　

（2）0.753　（3）-0.684　（4）±13.392

5.提示:

（1）x=0.2　

（2）x=1.5　（3）x=5

6.解:

一个正方体的体积扩大为原来的8倍,棱长变为原来的2倍;体积扩大为原来的27倍,棱长变为原来的3倍;体积扩大为原来的n倍,棱长变为原来的倍.

7.解:

设底面直径为d分米,则有50=π·2d,解得d≈3.2.

8.提示:

（1）<2.5.　

（2）<.

9.解:

（1）=2,=-2,=-3,=4,=0.对于任意数a,=a.　

（2）（）3=8,（）3=-8,（）3=27,（）3=-27,（）3=0.对于任意数a,（）3=a.

10.提示:

最终结果无限接近1.

类比思想在本课时的拓展

类比思想:

类比思想是一种在两个或两类不同对象之间,或者在事物与事物之间,根据它们某些方面的相似之处进行比较,通过联想和预测,可推断出它们在其他方面也可能相似,从而去建立猜想和发现真理的方法.

例如,负数没有平方根,但负数有立方根.通过类比可猜想,负数没有4次方根,没有6次方根,即负数没有偶次方根.事实上,任何数的偶次方都不能为负数,所以负数一定没有偶次方根.负数的奇次方为负数,所以负数的奇次方根为负数.通过类比还可以猜出正数有两个偶次方根,它们互为相反数.因此,类比思想在数学的学习和研究中十分重要,我们要善于利用.

　求下列各数的立方根.

（1）（-2）6;

（2）a6;（3）-26;（4）9.

〔解析〕　求一个数的立方根,可以将这个数先化简,再求其立方根.

解法1:

（1）（-2）6=64.

因为43=64,

所以（-2）6的立方根是4,即=4.

解法2:

（1）因为（-2）6=,

所以（-2）6的立方根是（-2）2=4,即=4.

解:

（2）因为a6=,

所以a6的立方根是a2,即=a2.

（3）-26=-.

因为=-22=-4,

所以-26的立方根是-4.

（4）9的立方根是.

　求一个数的立方根时,一定要先判断出原数的正、负,从而确定其立方根是什么数.

　已知3（x-1）3=-375,求x.

〔解析〕　将此式子化作求一个数的立方根的形式,同时将（x-1）看作一个整体来解.

解:

方程两边都除以3,得（x-1）3=-125.因为（-5）3=-125,所以x-1=-5,所以x=-4.

　在解这类方程时,要将（x-1）看作一个整体,而不要将其展开.