小升初数学专项训练讲义.docx
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小升初数学专项训练讲义
2018年小升初数学专项训练
第一讲计算篇
一、小升初考试热点及命题方向
计算是小学数学的基础，近几年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6分～15分），学生应针对两方面强化练习：
一分数小数混合计算；二分数的化简和简便运算；
二、考试常用公式
以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。
1．基本公式：
2、
[讲解练习]：
3、
4、
[讲解练习]：
2007×20062006-2006×20072007=____.
5、
[讲解练习]：
8
-7
+6
-5
+4
-3
+2
-1
____.
6、
……
[讲解练习]：
化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为____。
化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=____。
7、1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
8、
9、
[讲解练习]：
四、典型例题解析
1分数，小数的混合计算
【例1】（7
－6
）÷［2
＋（4－2
）÷1.35］
【例2】
2庞大数字的四则运算
【例3】19+199+1999+……+
=_________。
【例4】
＝＿＿＿＿＿
3庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）
【例5】
【例6】
【例7】
4繁分数的化简
【例8】已知
，那么x=_________.
5换元法的运用
【例9】
6其他常考题型
【例10】小刚进行加法珠算练习，用1＋2＋3＋……，当数到某个数时，和是1000。
在验算时发现重复加了一个数，这个数是＿＿＿。
【拓展】小明把自己的书页码相加，从1开始加到最后一页，总共为1050，不过他发现他重复加了一页，请问是＿＿＿页。
作业题
1、
2、39×
＋148×
＋48×
3、
4、有一串数
它的前1996个数的和是多少？
5、将右式写成分数
第二讲几何篇
（一）
一、小升初考试热点及命题方向
几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。
尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。
其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。
从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。
二、典型例题解析
1等积变换在三角形中的运用
首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2×底×高
因此我们有
【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比
【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比
【例1】如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
【例2】将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:
3。
已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？
燕尾定理在三角形中的运用
下面我们再介绍一个非常有用的结论:
【燕尾定理】:
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么S△ABO:
S△ACO=BD:
DC
【例3】在△ABC中
=2:
1,
=1:
3，求
=?
2差不变原理的运用
【例4】左下图所示的
ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
【例5】如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度?
3利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系
【例6】如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
【例7】如下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
4其他常考题型
【例8】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。
拓展提高：
下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？
作业题
1、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
2、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=
AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.
3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
4、图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是多少平方厘米．
5、三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？
第三讲几何篇
（二）
一、小升初考试热点及命题方向
圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。
因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。
二、典型例题解析
1与圆和扇形有关的题型
【例1】如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积。
【例2】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：
这只羊能够活动的范围有多大？
【例3】如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
（取π＝3）
与立体几何有关的题型
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。
见下图。
2求不规则立体图形的表面积与体积
【例4】用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【例5】如图是一个边长为2厘米的正方体。
在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
3水位问题
【例6】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：
瓶内酒精的体积是多少立方厘米？
合多少升？
【例7】一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有
容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米
2厘米
3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？
4计数问题
【例8】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？
由两个小正方体组成的长方体有多少个？
拓展提高：
有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：
2：
3。
如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
作业题
1、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（
＝3.14）
2、求下图中阴影部分的面积：
3、如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.
4、有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？
5、如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
第四讲行程篇
（一）
一、小升初考试热点及命题方向
行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。
二、基本公式
【基本公式】：
路程＝速度×时间
【基本类型】
相遇问题：
速度和×相遇时间＝相遇路程；
追及问题：
速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：
关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；
顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）
其他问题：
利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；
【复杂的行程】
1、多次相遇问题；
2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题；
三、典型例题解析
1典型的相遇问题
【例1】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【例2】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米？
【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。
如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。
甲车原来每小时向多少千米？
2典型的追及问题
【例4】在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。
甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。
那么甲追上乙需要时间是多少秒？
3多次折返的行程问题
【例5】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
4流水行船问题
关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；
顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
必须熟练运用：
水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量
公式推导：
【例6】一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。
求水流的速度。
【例7】某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距
1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。
【例8】一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。
求甲、乙两地的距离。
作业题
1、在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？
2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
3、甲、乙同时从A，B两地相向走来。
甲每时走5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。
乙每时走多少千米？
4千米。
4、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
5、客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的
，甲、乙两城相距多少千米？
第五讲行程篇
（二）
一、小升初考试热点及命题方向
多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，考查内容较为全面。
二、基本公式
【基本公式】：
路程＝速度×时间
【基本类型】
相遇问题：
速度和×相遇时间＝相遇路程；
追及问题：
速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：
关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；
顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个）
其他问题：
利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；
【复杂的行程】
1、多次相遇问题；
2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题；
公式需牢记
做题有信心！
三、典型例题解析
1直线型的多次相遇问题
如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。
总结：
若两人走的一个全程中甲走1份M米，
则两人走3个全程中甲就走3份M米。
【例1】湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。
两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。
问：
两岛相距多远？
【例2】甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的
二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。
已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距＿＿＿千米。
2环形跑道的多次相遇问题
【例3】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。
甲、乙环行一周各需要多少分？
。
【例4】右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。
甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。
两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？
3与分数百分数相结合的行程问题
【例5】一辆车从甲地开往乙地。
如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。
那么甲乙两地相距多少千米？
【例6】学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。
已知他们的步行速度平地为4千米／时，上山为3千米／时，下山为6千米／时。
问：
他们一共走了多少路？
作业题
1、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。
两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80％，求甲、乙两地的距离。
2、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。
出发时，甲、乙的速度比是5：
4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。
那么A、B两地相距多少千米？
3、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。
问：
在无风的时候，他跑100米要用多少秒？
4、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。
他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。
甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。
求从山脚到山顶的距离。
5、甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？
6、如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米?
第六讲找规律篇
一、小升初考试热点及命题方向
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。
在刚刚结束的14年小升初选拔考试中，一八、经纬、郑州中学偶有考察。
二、典型例题解析
1与周期相关的找规律问题
【例1】
化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？
【例2】、观察下列算式：
……
用你所发现的规律写出
的末位数字是__________。
2图表中的找规律问题
【例3】自然数如下表的规则排列：
求：
（1）上起第10行，左起第13列的数；
（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？
【例3】下面是
三行按不同规律排列的,那么当
=32时,
+
=______.
2
4
6
8
10
……
1
5
9
13
17
……
2
5
10
17
26
……
【例4】用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第
个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）.
3较复杂的数列找规律
【例5】下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：
将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。
当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是多少？
【例6】数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：
如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。
再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。
那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？
【例7】把棱长为
的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是
【例8】下面是按规律列的三角形数阵:
1
11
121
1331
14641
15101051
………………
那么第1999行中左起第三个数是______.
【例9】一串分数：
其中的第2000个分数是.
拓展提升：
小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有
没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有个.
作业题
1、有一堆火柴共10根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
2、已知一串有规律的数：
1，2/3，5/8，13/21，34/55，…。
那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。
3、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片张；
（2）第n个图案中有白色纸片张.
4、如图所示,在正六边形
周围画出6个同样的正六边形（阴影部分）,围成第1圈;在第1圈外面再画出12个同样的正六边形,围成第2圈;…….按这个方法继续画下去,当画完第9圈时,图中共有______个与A相同的正六边形.
5、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第
个图形需____________根火柴棒．
6、一个人从中央（标有0）的位置出发,向东、向北各走1千米,再向西、向南各走2千米,再向东、向北走3千米,向西、向南各走4千米,……,如此继续下去.他每走1千米,就把所走的路程累计数标出（如图）,当他走到距中央正东100千米处时,他共走了______千米.
第七讲工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家。
曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？
答案：
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。
另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。
这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。
工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1”综合。
还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。
二、知识要点
在工程问题中，一般要出现三个量：
工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。
深刻理解公式的用法！
【基本公式】：
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量；
工作总量÷工作时间＝工作效率；
工作总量÷工作效率＝工作时间。
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。
三、典型例题解析
1涉及二者的工程问题
【例1】一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。
现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。
乙因病休息了几天？
【例2】一项工程，甲、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的
。
甲、乙单独做这项工程各需要几天？
【例3】某项工程，甲单独做需要20天，如果与乙合作，12天就可以完成。
现在由甲单独做16天，然后由乙继续做完，还需要几天时间？
2涉及三者的工程问题
【例4】一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。
现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。
如果从开始就由丙队单独做，需要几天？
3涉及多者的工程问题
【例5】一项工程，45人可以若干天完成。
现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。
这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。
原计
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