数学悖论奇景.docx
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数学悖论奇景
数学悖论奇景
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
那些结论会使我们惊讶无比。
悖论主要有三种形式：
1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。
悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：
“这套戏法是怎么搞成的？
”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。
有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。
1.唐·吉诃德悖论
小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：
“你来这里做什么？
”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：
“我来这里是要被绞死。
”
旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：
他回答得是对还是错？
究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！
如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！
2.梵学者的预言
一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰：
你是一个大骗子，爸爸。
你根本不能预言未来。
学者：
我肯定能。
苏椰：
不，你不能。
我现在就可以证明它！
苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。
她说：
“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。
请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。
要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？
”
“好，一言为定。
”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：
“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。
”
学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：
“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。
但如果他在卡片上写的是“不”呢？
也还错！
因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
苏椰笑了：
“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。
”
3.意想不到的老虎
公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：
“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。
迈克必须顺次序开门，从1号门开始。
他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。
这只老虎的出现将是料想不到的。
”
迈克看着这些门，对自己说道：
“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。
可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。
”
“五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。
同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。
”
按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。
迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。
使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。
迈克的推理并没有错，但他失败了。
老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。
也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。
迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
4.钱包游戏
史密斯教授和两个学生一道吃午饭。
教授说：
“我来告诉你们一个新游戏。
把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。
钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。
”
学生甲想：
“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。
所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。
”
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2【趣味数学】数学悖论奇景
同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。
请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢？
5.一块钱哪儿去了？
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。
那天，这60张唱片卖光了。
30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。
第二天，老板又拿出60张唱片。
他想：
“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？
”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。
老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。
这一块钱到哪儿去了呢？
6.惊人的编码
外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。
赫尔曼：
“你何不带一套大英百科全书回去？
这套书最全面地汇总了我们的所有知识。
”
基塔：
“可惜，我带不走那么重的东西。
不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。
”真是再简单不过了！
基塔先生是怎样做到的呢？
基塔：
“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。
例如cat一词就编为3－0－1－0－22。
我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。
前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011……
基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。
基塔：
“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。
”
这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！
7.不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。
他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。
第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。
克莱因：
“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？
”
帕特：
“这绝不可能！
我走路时快时慢，有时还停下来休息。
”
克莱因：
“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。
你和这个替身必定要相遇。
我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。
……”
帕特明白了。
你明白了吗？
8.橡皮绳上的蠕虫
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。
蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。
如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？
乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。
但细心的读者会想到：
随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。
如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：
当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。
9.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。
假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。
那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？
这个问题实在是难！
数的“金蝉出壳”法
数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。
所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。
通俗性与公证性是数论的两大特点，。
这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。
这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。
把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
123789+561945+642864
作者：
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3【趣味数学】数学悖论奇景
=242868+323787+761943
这样的性质，自然算不上什么稀罕。
可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
123789×123789+561945×561945+642864×642864
=242868×242868+323787×323787+761943×761943
如果不信，请算一算吧!
算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：
“妙啊!
”
且慢，真正的妙事还在后头呢!
请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
23789+61945+42864=42868+23787+61943
23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
事情真怪。
让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!
通过计算，上述性质依然保存着：
3789+1945+2864=2868+3787+1943
3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。
我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
789+945+864=868+787+943
789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
89+45+64=68+87+43
89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
9+5+4=8+7+3
9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。
现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?
可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
12378+56194+64286=24286+32378+76194
12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194
……
直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
1+5+6=2+3+7
1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。
数趣
“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。
甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：
“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。
”
友好数对
该数对的神秘在于：
所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。
220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为1＋2＋4＋71＋142=220。
有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。
直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：
17296和18416。
今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和118853793424。
花瓣与小兔的数字之美
雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。
他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注意的数字规律：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……其特点是前两个数字之和即为下一个数。
直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊地出现在自然界中。
比如：
许多花瓣的数字正是这样。
为什么13是个倒霉的数字
它的基本设想来自威廉姆·福利斯、一位柏林医生的理论，即：
人类发展史中的一切都可用一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。
比如：
一年有365天，因为365=23×11＋28×4；法国革命开始于23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体=23×2+28×0；《圣经》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3＋28×（-2），——式中出现了负数。
正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。
”
作者：
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4【趣味数学】数学悖论奇景
构建数学金字塔
用数字1、2、3……9能排出不少有趣的金字塔加法算式。
大家都知道，做加法时非得要求把每个加数的个位对齐不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影响它的赏心悦目。
一、把1、2、3……9这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的个数，直到全部数字都出现在同一行中。
这时又接着从大到小地往下排列各数，逐步减少数字，直到只剩下最后1个数字为止。
你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是——1234567890!
你觉得惊奇吗?
换一下排列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字塔的结果相同。
（图A）
二、让我们再来建造第二批金字塔。
这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。
我们依然由小到大从上往下排，在达到最高的9个数字时，再由大到小地排下去，它们每行的数字也依旧是从增加到减少，形成一个横卧的金字塔。
我们依然也列出两种方向的排法。
你猜怎么着?
这次的结果依然和第一批金字塔相同：
还是1234567890!
真是十分奇妙!
（图B）
三、下面来换上所有的偶数如何?
但是我们不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大作用。
这时参加循环排列的数字只有2、4、6、8这4个，比刚才的奇数数字少了1个，但我们仍然由小到大从上往下排，待排到出现9个数字为止，然后再逐步递减到只剩下1个数字。
真想不到，答案又是1234567890!
这场“奇偶数大战”出人意料的以1∶1告终，双方谁也没有占到什么便宜。
（图C）
四、如果你嫌刚才的金字塔不够壮观，那么这次可以让台阶更长一些，堆得也更高一些，排得最高时达到17个数字。
不过如果你细心观察的话，这里的排列规律并没有什么区别，故不再详细介绍了。
现在请你仔细看，这次的结果为112233445566778890，是个18位数。
这两座金字塔可以说很壮观吧!
（图D）
五、事实上，构建金字塔的材料是很多的，并不局限于以上所举的那一些。
不妨选上3个数字，假定是1、4、7或者2、4、6，我们也可以拿它们来建塔。
当然这里要做点变动，细心的读者会从以下的金字塔中发现有个别的数字并不服从总的规律。
这样做完全是为了使结果符合理想数987654321。
但如果粗心一点的话，你是不会发觉的。
（图E）
用数字建造金字塔能使你感到数学既美丽又奇妙，希望你也能建造出类似的金字塔。
（秦 伟摘自《聪明泉》
1996年7、8期）
爸爸心里最明了
○胡宏纶 杨继川译
托尼对做统计工作的爸爸斯坦·斯达特曼说：
“爸爸，请你给我和弟弟查理出几道趣题，好吗?
”
“当然好。
”爸爸说，“我很乐意接受你的提议。
”
于是，父子之间有关趣题的讨论便开始了。
1、“先说第一道。
”爸爸说，“有一位女士养了10只母狗，却没有1只母狗生了10只小狗。
必定至少有两只母狗生有同样多的小狗，是吗?
”
“未必。
”托尼答道。
“我认为必定是这样。
”查理持不同意见。
兄弟俩谁说的对?
为什么?
2、“在第一题中，”爸爸补充说，“如果10只母狗每只至少生有1只小狗，但最多不到10只小狗。
你俩想一想，答案又如何呢?
”
“必定至少有两只母狗生有同样多的小狗。
”托尼的回答很肯定。
“未必是这样。
”查理答道。
兄弟俩谁说的对?
为什么?
3、“有甲、乙两个人在喝茶。
”爸爸接着又出题了，“其中甲对乙说：
‘我敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱至少是你的两倍!
’乙听后很不服气，对甲说：
‘我也敢跟你打赌，此时此刻我衣袋里的钱刚好是你的两倍!
’”
“结果，”爸爸继续说，“这两个人要么就都赢了，要么就都输了。
你们能说出这两个人是都赢了还是都输了呢?
”
“能说出，显然都输了。
”托尼说。
“不能说出，也有可能都赢了。
”查理说。
兄弟俩谁说的对?
为什么?
4、“昨天，我去拜访了一位叫吉米的朋友，吉米的家有两个花园。
”爸爸的新题又开始了，“我数了一下其中一个花园里的花，刚好是50朵。
不过这些花只有两种颜色——红的和蓝的。
然后我观察到，不论我摘哪两朵花，其中必定有1朵是蓝的。
据此，你们能说出红花和蓝花各有多少吗?
”
作者：
f779172006-4-1720:
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5【趣味数学】数学悖论奇景
“不能说出，由于这道题所给的条件不够充分，因此无法解。
”托尼摇着头说。
“完全能说出，由于这道题所给的条件足够充分，因此可以解。
”查理点着头说。
兄弟俩谁说的对?
为什么?
5、“在吉米家的另一个花园里，种有红、黄、蓝3种花。
”爸爸眯缝着眼，一字一顿地微笑道，“我观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是蓝的；我还观察到，不论我摘哪3朵花，至少有1朵是红的。
据此就可以类推——不论我摘哪3朵花，至少有1朵是黄的吗?
”
“可以类推。
”托尼说。
“不能类推。
”查理说。
兄弟俩谁说的对?
为什么?
神奇的“缺8数”
“缺8数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色
菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。
于是有人对他说：
“总统先生，你不是挺喜欢7吗？
拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。
”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。
“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：
你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。
三位一体
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。
例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
轮流“休息”
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：
乘积的各位数字均无雷同。
缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。
另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之
当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。
随便看几个例子：
（1）乘数为9的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为3K＋1或3K＋2型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。
走马灯
冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。
“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。
实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。
深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。
例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对携手同行
“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？
（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。
）
作者：
f779172006-4-1720:
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6【趣味数学】数学悖论奇景
这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。
例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子
“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。
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