12三角形的概念及三角形内角和.docx

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12三角形的概念及三角形内角和

12、三角形概念及内角和

四川成都雷银光

1、三角形的概念

（1）三角形的定义

不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.公共的端点叫做三角形的顶点，每一条线段都叫做三角形的边，相邻两边的夹角叫做三角形的内角.

（2）三角形的符号表示

三角形的表示方法是，三角形的顶点必须用大写字母表示，如图所示的三角形记作：

△ABC.

三角形的边和角都叫做三角形的元素，三角形有三条边，三个内角共6个元素.

△ABC的边可用顶点所对应的小写字母表示.如，边AB所对的∠C所对应的小写字母c表示，即AB=c，同样，AC=b，BC=a.

注意：

（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

想一想：

右图中共有_______个三角形，它们都表示出来,分别是________________________.

（2）、三角形的分类

（1）按边分类：

（2）按角分类：

3、三角形的三边关系

用画图的方法可以证明，三角形的三边具有下列性质（请你任意画几个三角形，用刻度尺量一量三边的大小）：

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

即，AC－BC＜AB＜AC＋BC

注意：

（1）三边关系的依据是：

两点之间线段是短；

（2）三边的大小必须满足三边的不等关系，就不能画出一个三角形，.

4、三角形的角与角之间的关系

我们可以用拼接的方法说明三角形三个角之间所具有的下述关系：

三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180;

推论

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

推论

（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

推论（3）直角三角形的两个锐角互余.

证明：

三角形的内角和定理：

推理过程：

方法

（1）：

作CM∥AB，

那么，∠4=∠1（两直线平行，内错角相等）

∠2+∠3+∠4=1800（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠B+∠ACB=1800．

方法

（2）：

作MN∥BC，

那么，∠2=∠B，∠3=∠C，两直线平行，内错角相等）

∵∠1+∠2+∠3=1800（平角定义）

∴∠BAC+∠B+∠C=1800（等式性质）

注意：

（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）内角和定理主要解决求角的度数．

5、三角形的外角

（1）定义：

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：

每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

如:

∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

（2）三角形的外角和：

一个三角形有六个外角，在每个顶点处取一个外角，我们这样的三个角的和叫做三角形的外角和.

（3）性质：

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

性质的证明：

如图，延长BC至D,作CM∥AB,

∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）

∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）

∵∠1＋∠2=∠A＋∠B（三角形内角和定理）

∴∠1＋∠2＞∠A，∠1＋∠2＞∠B（整体大于部分）

即∠ACD>∠A

∠ACD>∠B.

6、三角形的稳定性

三角形的三边的长确定后，那么，三角形的形状和大小就唯一确定，三角形的这种特性叫做三角形的稳定性．

注意：

（1）三角形具有稳定性，这种性质是说，三角形三边确定后，它的形状和大小不会发生变化.

（2）四边形没有稳定性.

题型一：

三角形的内角和与外角

例题1：

1、已知三角形三个内角的度数之比为1：

3：

5，求这三个内角和的度数。

2、如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的４倍，等于与它不相邻的一个内角的２倍，则此三角形各内角的度数是_____________

练习题1：

1、若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

2．如图所示，根据右图中的数据,求出∠1的度数是_________.

3．△ABC中，∠A的度数是∠B的2倍,∠C比∠A大200，则∠C的度数是________.

题型二：

三角形的三边关系

例题2、已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方

程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状。

练习题2：

1、为估计池塘两岸AB间的距离，小左同学在池塘一侧选取一点P，测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是（）

A.5mB.15mC.20m

D.28m

3、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是___________________.

4、填空题：

（1）若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是___________，其中x可以取的整数值为___________

（2）△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比

等于_______∶______∶______．

（3）下列各组线段能组成一个三角形的是（）．

（A）3cm，3cm，6cm（B）2cm，3cm，6cm（C）5cm，8cm，12cm（D）4cm，7cm，11cm

例题3

：

1、已知：

如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，

求：

∠1＋∠2＋∠3．

2、已知：

如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．

练习题3、

1、已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：

（1）∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

2、填空：

（1）△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

（2）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，

则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

（3）△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．

（4）如图，直线a∥b，则∠A＝______度．

（5）已知：

如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．

（6）已知：

如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

3、已知：

如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

4、已知：

如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

（2）试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?

说明理由．

【课后作业】：

1、在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.

2、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3以下命题正确的是（）

A.三角形的一个外角等于两个内角的和B.三角形的外角大于任何一个内角

C.一个三角形至少有一个内角大于或等于60°D.直角三角形的外角可以是锐角.

4、△ABC中，若∠A

=120

，∠B=∠C，则∠C=度；

5、在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1:

2:

3，∠C=。

6、等腰三角形的两边长分别为4和9，则周长为；

7、△ABC中，若∠A

=120

，∠B=∠C，则∠C=度；

8、锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）

A.

B.

C.

D.

9、已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:

3，则这个三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

10、已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（）

A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能确定

11、依据题设，写出结论，想一想，为什么?

已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：

（1）∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

（注：

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）