北京市房山区高三一模数学文科含答案.doc
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房山区2013年高考第一次模拟试卷
数学（文科）2013.04
本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集，集合，则
A.
B.
C.
D.
否
开始
结束
①
输出
是
2.已知为等差数列，为其前项和.若，则
A.
B.
C.
D.
3.执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中
①处可以填入
A.
B.
C.
D.
4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，则
环数
4
5
6
7
8
环数
5
6
9
频数
1
1
1
1
1
频数
3
1
1
甲乙
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
5.“”是“函数存在零点”的
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.在正三角形中，，是上一点，且，则
A.
B.
C.
D.
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥
的四个面的面积中，最大的是
A.
B.
C.
D.
8.设集合是的子集，如果点满足：
，称为
集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：
①；②；③；④
A.②③
B.②④
C.①③
D.①③④
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.复数.
10.在△ABC中，角所对的边分别为，则角的大小
为.
11.直线与圆相交于两点，则线段的长等于.
12.若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则的取值范是.
13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是
日销售量与时间的函数关系是.则这种商品
的日销售额的最大值为.
14.已知函数的定义域是D，若对于任意，当时，都有，
则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个
条件：
①；②；③.则，
.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
16.（本小题满分14分）
在四棱锥中，底面为直角梯形，//，
，，，为
的中点．
（Ⅰ）求证：
PA//平面BEF；
（Ⅱ）求证：
．
17.（本小题满分13分）
日均值（微克/立方米）
3
3
4
8
1
7
9
3
9
7
是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区年全年每天的监测数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）若从这天的数据中随机抽出天，求至多有一天空气质量超标的概率；
（Ⅱ）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？
18.（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连结交椭圆于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线与轴相交于定点.
20.（本小题满分13分）
对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．例如对于实数，无穷数列满足如下条件：
，其中
（Ⅰ）若，求数列的通项公式；
（Ⅱ）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；
（Ⅲ）设（是正整数，与互质），对于大于的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论．
房山区高三年级第一次模拟考试参考答案
数学（文科）2013.04
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A2D3B4C5B6A7C8A
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.或11.
12.13.14.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）
…………………………4分
………………………6分
周期为………………………7分
（Ⅱ）………………………………9分
当时，此时…………………………11分
当时，此时…………13分
16（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
连接AC交BE于O，并连接EC,FO
//,,为中点
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形…………………1分
O为AC中点………………………………...2分
又F为AD中点
//………………………......….4分
..……..……..5分
//…………………………………………..……..……..7分
（Ⅱ）连接
…………………………….…………….8分
…………………………………..………..9分
……………………………………………………….…….....12分
………………………………………………………………….14分
17（本小题满分13分）
解：
由茎叶图可知：
6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标………2分
记未超标的4天为，超标的两天为，则从6天抽取2天的所有情况为：
，
基本事件总数为15……………………………………………………4分
（Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件，则“两天都超标”为事件，
易得，
所以………………………………9分
（Ⅱ）天中空气质量达到一级或二级的频率为……………11分
，
所以估计一年中平均有天的空气质量达到一级或二级.…………13分
（说明：
答243天，244天不扣分）
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）时，………………1分
………………………………………………2分
曲线在点处的切线方程………………3分
（Ⅱ）…………………………………………………4分
①当时，恒成立，函数的递增区间为
………………………………………………………………6分
②当时，令，解得或
x
（0,）
（,1）
f’（x）
-
+
f（x）
减
增
所以函数的递增区间为，递减区间为
…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）对任意的，使成立，只需任意的，
①当时，在上是增函数，
所以只需
而
所以满足题意；…………………………………………………………………9分
②当时，，在上是增函数，
所以只需
而
所以满足题意；…………………………………………………………………10分
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可
而
从而不满足题意；…………………………………………………………………12分
综合①②③实数的取值范围为．………………………………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意知：
所以
所以，焦点坐标为；离心率…………………………4分
（Ⅱ）由题意知：
直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为
………………………………5分
，，则，
由得
则
（1）………………………………8分
直线AE的方程为，
令，得
（2）………………………………10分
又，代入
（2）式，得（3）
把
（1）代入（3）式，整理得
所以直线AE与轴相交于定点.………………………………14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ），，
，
所以……………………………………4分
（Ⅱ），则，从而
则所以
解得：
（，舍去）……………….6分
所以集合.………………………………………7分
（Ⅲ）结论成立.……………………………………………8分
易知是有理数，所以对一切正整数，为0或正有理数，
设（是非负整数，是正整数，且互质）
由，可得；…………………………………9分
若，设（，是非负整数）
则，而由得
，故，，可得………11分
若则，
若均不为0，则这个正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾.
故中至少有一个为0，即存在，使得.
从而数列中以及它之后的项均为0，
所以对于大于的自然数，都有…………………………………………13分
高三数学（文科）试题第10页（共4页）
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