房山区高三一模数学文科试题及答案.docx
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房山区高三一模数学文科试题及答案
房山区2019年高考第一次模拟试卷
数学（文科）2018.04
本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1.已知全集UR，集合M{x|x（x3）0}，则CM
R
A.[0,3]B.（0,3）
C.（,3]D.（,0）（3,）
2.已知{a}为等差数列，
n
S为其前n项和.若
n
a1+a9=18,a4=7，则
S=
10
A.55B.81
开始
C.90D.100
S0,n1
3.执行如图所示的程序框图．若输出S15，则框图中
SSn①处可以填入
A.n4
B.n8
n2n
C.n16
D.n16
否
①
是
输出S
4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，则
结束
环数45678环数569
频数11111频数311
甲乙
A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差
5.“m2”是“函数
2
f（x）x2xm存在零点”的
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.在正三角形ABC中，AB3，D是BC上一点，且BC3BD，则ABAD
159
A.B.
22
C.9D.6
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥
的四个面的面积中，最大的是
A.43
B.8
C.47
D.83
8.设集合M是R的子集，如果点x0R满足：
a0,xM,0xx0a，称x0为
集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有：
n
①{|N}；②{x|xR,x0}；③
n
n1
2
*
{|n}
n
N；④Z
A.②③B.②④C.①③D.①③④
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.复数
2i
1
i
.
10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，22
11.A,a,c,则角C的大小
4
为.
12.直线xy20与圆
2221
xyx相交于A,B两点，则线段AB的长等于.
xy50,
ykx5,表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范是.
13.若不等式组
0x2
14.某商品在最近100天内的单价f（t）与时间t的函数关系是
t
4
22（0t40,tN）
f（t）
t
52（40t100,tN）
2
日销售量g（t）与时间t的函数关系是（）109（0100,）
t
gtttN.则这种商品
33
的日销售额的最大值为.
15.已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x1,x2D，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），
则称函数f（x）在D上为非减函数.设函数f（x）在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个
条件：
①f（0）0；②（x）1（）
ffx；③f（1x）1f（x）.则
52
4
f（），
5
1
f（）.
12
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.（本小题满分13分）
已知函数
2
f（x）2cosx23sinxcosx1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0,]
2
上的最小值和最大值．
17.（本小题满分14分）
P
在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，
ADC90，
1
BCCDAD，PAPD，E,F为AD,PC
2
F
的中点．
（Ⅰ）求证：
PA//平面BEF；
DC
（Ⅱ）求证：
ADPB．
E
B
A
18.（本小题满分13分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5
标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为
一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上
空气质量为超标．
PM2.5日均值（微克/立方
米）某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测
数据中随机的抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所
33
481
示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）若从这6天的数据中随机抽出2天，求至多有一天空
793
97
气质量超标的概率；
（Ⅱ）根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）
中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？
19.（本小题满分13分）
已知函数
11
2
f（x）xalnx（aR,a0）.
22
（Ⅰ）当a2时，求曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的x[1,），都有f（x）0成立，求a的取值范围.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆
22
xy
C和点P（4,0），垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点，连结
:
1
43
PB交椭圆C于另一点E.
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线AE与x轴相交于定点.
21.（本小题满分13分）
对于实数x，将满足“0y1且xy为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记
号x表示．例如
下条件：
81
0.2,1.20.8,.对于实数a，无穷数列
77
a满足如
n
aa，
1
1
aa
n1n
a
n
0,
其中n1,2,3,.
0a0,
n
（Ⅰ）若
3
a，求数列
11
a的通项公式；
n
（Ⅱ）当1
a时，对任意的n
2
N*，都有ana，求符合要求的实数a构成的集合A；
（Ⅲ）设
p
a（p是正整数，p与2013互质），对于大于2013的任意正整数n，
2013
是否都有an0成立，证明你的结论．
房山区高三年级第一次模拟考试参考答案
数学（文科）2018.04
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A2D3B4C5B6A7C8A
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.1i10.或3011.6
6
12.（1,0）13.808.514.
11
24
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）f（x）2cos2x23sinxcosx1
cos2x3sin2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
13
sin2）2（cos2xx
22
2sin（2x）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
6
周期为
2
T.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
2
（Ⅱ）
0x
26
7
2x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
66
当
2x时，sin（2x）1此时f（x）max2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
626
当
7
2x时，
66
1
sin（2x）此时
62
f（x）1⋯⋯⋯⋯13分
min
16（本小题满分14分）
P
（Ⅰ）证明：
连接AC交BE于O，并连接EC,FO
1
BC//AD,BCAD
2
E为AD中点
F
AE//BC,且AE=BC
四边形ABCE为平行四边形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
O为AC中点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...2
D
C
分
O
E
又F为AD中点
B
OF//
PA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯......⋯.4分
A
OF平面BEF,PA平面BEF..⋯⋯..⋯⋯..5分
PA//平面BEF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..⋯⋯..7分
（Ⅱ）连接PE
PAPD,E为AD中点ADPE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.8分
BC//AD,BC
1
2
AD,
E为
AD
中点
BCDE
为平行四边形
BE//CD
ADCDADBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯..9分
PEBEE
AD平面PBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯.....12分
PB平面PBE
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.14分
ADPB
17（本小题满分13分）
解：
由茎叶图可知：
6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标⋯⋯⋯2分
记未超标的4天为w1,w2,w3,w4，超标的两天为c1,c2，则从6天抽取2天的所有情况为：
w1w2,w1w3,w1w4,w1c1,w1c2,w2w3,w2w4,w2c1,w2c2,w3w4,w3c1,w3c2,w4c1,w4c2,c1c2，
基本事件总数为15⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件A，则“两天都超标”为事件A，
易得
1
P（A），
15
所以
114
P（A）1P（A）1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
1515
（Ⅱ）6天中空气质量达到一级或二级的频率为
42
63
⋯⋯⋯⋯⋯11分
21
365243
33
，
所以估计一年中平均有
243
1
3
天的空气质量达到一级或二级.⋯⋯⋯⋯13分
（说明：
答243天，244天不扣分）
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）a2时，
11
2
f（x）x2lnx,f
（1）0⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
22
2
f'（x）x,f'
（1）1
x
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程xy10⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
（Ⅱ）
2
axa
f'（x）x（x0）
xx
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
①当a0时，
2
xa
f'（x）0
x
恒成立，函数f（x）的递增区间为0,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
②当a0时，令f'（x）0，解得xa或xa
x（0,a）a（（a,）,1）
f’（x）-+
f（x）减增
所以函数f（x）的递增区间为a,，递减区间为（0,a）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
（Ⅲ）对任意的x[1,），使f（x）0成立，只需任意的x[1,），
f（x）0
min
①当a0时，f（x）在[1,+）上是增函数，
所以只需f
（1）0
而
11
f
（1）aln10
22
所以a0满足题意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
②当0a1时，0a1，f（x）在[1,+）上是增函数，
所以只需f
（1）0
而
11
f
（1）aln10
22
所以0a1满足题意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
③当a1时，a1，f（x）在[1,a]上是减函数，[a,+）上是增函数，
所以只需f（a）0即可
而f（a）f
（1）0
从而a1不满足题意；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
综合①②③实数a的取值范围为（,0）（0,1]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意知：
ab所以2=4,2=3,
2=4,2=3,
cab2=22=1
2=22=1
所以，焦点坐标为（1,0）；离心率
c
e==
a
1
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（Ⅱ）由题意知：
直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x4）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
B（x,y），E（x2,y2），则A（x1,y1），
11
由
yk（x4）
22
3x4y12
得
2222
（3+4k）x32kx64k120
22
32k64k12
则+=,x=
xxx
122122
3+4k3+4k
（1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
y+y
直线AE的方程为21
yy=（xx）
22
xx
21
，
y（xx）
令y=0，得221
x=x
2
y+y
12
（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
又y1=k（x14），y2=k（x24）代入
（2）式，得
x=
2xx4（x+x）
1212
x+x8
12
（3）
把
（1）代入（3）式，整理得x=1
所以直线AE与x轴相交于定点（1,0）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
20（本小题满分13分）
33
（Ⅰ）a1，
1111
a
2
1112
a
1
33
a
，3
131
a
2
22
a
4
1
a
3
20
，
所以
321
a,a,a,a0（n4）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
123n
1132
（Ⅱ）
aaa，
1
11
a则
22
a1，从而
1
12
a
111
则a21a
aaa
1
所以
210
aa
解得：
15,
a（
2
151
a,1，舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分
22
所以集合A15
a.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
2
（Ⅲ）结论成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8
分
易知a是有理数，所以对一切正整数n，
a为0或正有理数，
n
a
设
n
p
n
q
n
（pn是非负整数，qn是正整数，且p,q互质）
nn
由
a
1
p
2013
p
1
q
1
，可得0p12013；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
若p0，设qnpn（0pn，,是非负整数）
n
q
n
则
p
n
p
n
，而由
p
n
a得
nq
n
1
q
n
anp
n
a
n
1
1qn
app
nnn
，故pn1，qn1pn，可得0pn1pn⋯⋯⋯11分
若0
p则pn10，
n
若a1,a2,a3,,a2013均不为0，则这2013个正整数p（n1,2,3,,2013）互不相同且都小
n
于2013，但小于2013的正整数共有2012个，矛盾.
故a1,a2,a3,,a2013中至少有一个为0，即存在m（1m2013），使得a0.
m
从而数列
a中am以及它之后的项均为0，
n
所以对于大于2013的自然数n，都有0
a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13
n
分
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