北京市房山区高三二模数学文科含答案.doc
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北京市房山区2013年高考第二次模拟试卷
数学（文科）
本试卷共4页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若﹁p∨q是假命题，则
A.p∧q是假命题
B.p∨q是假命题
C.p是假命题
D.﹁q是假命题
2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A.
B.
C.
D.
3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上
A.所有点向右平移个单位长度
B.所有点向下平移个单位长度
C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D.所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
否
是
开始
结束
输出
4.设平面向量，若//，则等于
A.
B.
C.
D.
5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点
A.都在函数的图象上
B.都在函数的图象上
C.都在函数的图象上
D.都在函数的图象上
6.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则的
最大值是
A.
B.
C.
D.
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体
的表面积为
A．
B.
C.
D.
8.定义运算，称为将点映到点的
一次变换.若＝把直线上的各点映到这点本身，而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值分别是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内，复数对应的点的坐标为.
10.已知角A为三角形的一个内角，且，则，.
11.数列是公差不为0的等差数列，，且是的等比中项，则数列的通
项公式.
12.实数满足，则的最大值为.
13.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为，若点在抛物线
上运动，点在直线上运动，则的最小值等于.
14.对于三次函数，给出定义：
设是函数的
导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，则该函数的对称中心为，计算.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数的最小正周期为，且图象过点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间.
16.（本小题满分14分）
如图,是正方形，平面，
，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求四面体的体积.
17.（本小题满分13分）
一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为，正四面体的三个侧面上的数字之和为．
（Ⅰ）求事件的概率；
（Ⅱ）求事件“点满足”的概率．
18.（本小题满分13分）
已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）求证：
对任意，都有.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆（）的焦点坐标为，离心率为．直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以为直径的圆过点？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且，其中．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设数列满足，为的前项和，试比较与
的大小，并说明理由．
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数学（文科）2013.05
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A2D3B4D5C6B7A8B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.11.
12.13.14.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为可知， ………………2分
由得，
又，
所以 ，………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
…………………………………………………………………9分
解
得……………………………12分
所以函数的单调增区间为.
…………………………………………………13分
16（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为平面，
所以.…………………1分
因为是正方形，
所以，…………………2分
因为…………………3分
所以平面.…………………4分
（Ⅱ）证明：
设，取中点，连结，
所以，.…………………5分
因为，，所以，…………………6分
从而四边形是平行四边形，.………………7分
因为平面,平面,…………………8分
所以平面，即平面.……………………9分
（Ⅲ）解：
因为平面
所以
因为正方形中，,
所以平面.…………………11分
因为,，
所以的面积为，
所以四面体的体积.……………14分
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题可知的取值为，的取值为
基本事件空间：
共计24个基本事件……………………3分
满足的有共2个基本事件
所以事件的概率为……………………7分
（Ⅱ）设事件B=“点（a,b）满足”
当时，满足
当时，满足
当时，满足
所以满足的有，
所以……………………13分
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）……………1分
由已知得即……………2分
解得：
…………………………3分
当时，在处函数取得极小值，所以
（Ⅱ），.
-
0
+
减
增
所以函数在递减，在递增.……………………4分
当时，在单调递增，.
………………………5分
当时，
在单调递减，在单调递增，.
…………………………6分
当时，，
在单调递减，
…………………………7分
综上在上的最小值
………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.
令得
因为
所以……………11分
所以，对任意，都有
………………………………………13分
19（本小题满分14分）
（Ⅰ）由，，得，，
所以椭圆方程是：
……………………4分
（Ⅱ）设，则，
将代入，整理得（*）
则………………………7分
以PQ为直径的圆过，则，即
．………………………………12分
解得，此时（*）方程，
所以存在，使得以为直径的圆过点．……14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ）由于，………………2分
（Ⅱ）由已知可知，故．
因为，所以．………………4分
于是，，
所以．………………6分
（Ⅲ）…………………………………………7分
要比较与的大小，只需比较的大小
由，得，
故．…………………………………………8分
从而．
因此
．
设，
则，
故，
又，所以．
所以对于任意都有，
从而．
所以．
即……………………………………………13分
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