北京市门头沟区高三一模数学文科试题(WORD精校版).doc
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门头沟区2013年3月高三年级抽样测试
2013.3
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则集合等于
（A） （B） （C） （D）
2．在等差数列中，，，则的值是
（A）15 （B）30 （C）31 （D）64
3．为得到函数的图象，可以将函数的图象
（A）向左平移个单位 （B）向左平移个单位
（C）向右平移个单位 （D）向右平移个单位
4．如果的定义域为R，，若，，则等于
（A）1 （B）lg3-lg2
（C）-1 （D）lg2-lg3
5．如图所示，为一几何体的三视图，
则该几何体的体积是
（A）
左视图
主视图
（B）
（C）
俯视图
（D）
6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则的值为
（A） （B）1 （C） （D）
7.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
8．点P是以为焦点的椭圆上的一点，过焦点作的外角平分线的垂线，垂足为M点，则点M的轨迹是
（A）抛物线 （B）椭圆
F1
F2
（C）双曲线 （D）圆
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数在复平面内对应的点到原点的距离是．
10．在给定的函数中：
①；②；③；④，既是奇函数又在定义域内为减函数的是.
开始
，
输出S
结束
是
否
11．用计算机产生随机二元数组成区域，对每个二元数组，用计算机计算的值，记“满足<1”为事件，则事件发生的概率为________.
12．如右图所示的程序框图，执行该程序后
输出的结果是．
13．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学
分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，
分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，
并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙
三个组所调查数据的标准差分别为，
则它们的大小关系为．（用“”连结）
t
13
14
15
16
17
18
0.1
0.3
0.2
13
14
15
16
17
18
0.1
0.3
0.2
13
14
15
16
17
18
0.1
0.3
0.2
t
t
甲
乙
丙
14．设向量，，定义一种向量积：
==．已知=，=，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足=+（其中为坐标原点），则的最大值是．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及值域.
16.（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
17.（本小题满分13分）
如图，已知平面,，且是垂足．
A
P
C
D
B
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论．
18.（本小题满分13分）
某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；
（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．
19.（本小题满分14分）
已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若，求的面积．
20.（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，满足下列条件
①；②点在函数的图象上；
（I）求数列的通项及前项和；
（II）求证：
．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
门头沟区2013年高三年级抽样测试评标及参考答案
2013.3
数学（文史类）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
A
D
C
A
D
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9
10
11
12
13
14
①
-1
3
四、解答题：
本题共6小题，共80分．
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及值域.
解：
（I）由已知，得 ……2分
……5分
（II）
函数的最小正周期 ……11分
值域为 ……13分
16．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）在处的切线与轴平行，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
解：
（Ⅰ）． ……2分
依题意，由，得． ……4分
经检验，符合题意． ……5分
（Ⅱ）①当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间．……6分
②当时，．
令，得，． ……8分
和的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
……11分
③当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
故的单调减区间为，，；无单调增区间． ……13分
17.（本小题满分13分）
如图，已知平面，且是垂足．
A
P
C
D
B
H
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与
平面是否垂直，并证明你的结论．
（Ⅰ）证明：
因为，所以．
同理．
又，故平面． ……5分
（Ⅱ）平面与平面垂直
证明：
设与平面的交点为，连结、．
因为，所以， ……8分
在中，，
所以，即． ……11分
在平面四边形中，，所以
又，所以，
所以平面平面． ……13分
18.（本小题满分13分）
某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
（I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；
（II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率
解：
设高中部三名候选人为A1，A2，B．初中部三名候选人为a,b1,b2
（I）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有
（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），
（A2，a），（A2，b1），（A2，b2），
（B，a），（B，b1），（B，b2）， 共9种 ……2分
设“2名同学性别相同”为事件E，则事件E包含4个基本事件，
概率P（E）=
所以，选出的2名同学性别相同的概率是． ……6分
（II）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有
（A1，A2），（A1，B），（A1，a），（A1，b1），（A1，b2），
（A2，B）， （A2，a），（A2，b1），（A2，b2），（B，a），
（B，b1），（B，b2），（a，b1），（a，b2），（b1，b2） 共15种 ……8分
设“2名同学来自同一学部”为事件F，则事件F包含6个基本事件，
概率P（F）=
所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是． ……13分
19.（本小题满分14分）
已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若，求的面积．
解：
（I）设椭圆方程为，，
由，可得，
既所求方程为 ……5分
（II）设，，
由有
设直线方程为，代入椭圆方程整理，得
……8分
解得 ……10分
若 ，
则
解得 ……12分
又的面积
答：
的面积是 ……14分
20.（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，满足下列条件
①；②点在函数的图象上；
（I）求数列的通项及前项和；
（II）求证：
．
解：
（I）由题意 ……2分
当时
整理，得 ……5分
又，所以或
时，，，
得 ， ……7分
时，，，
得 ， ……9分
（II）证明：
时，
，所以 ……11分
时，
，
……13分
因为
所以
综上 ……14分
注：
不同解法请教师参照评标酌情给分．
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