立体几何题型总结.docx

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立体几何题型总结

立体几何一一点线面的位置关系

公理

1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

如果两个不重合的平面有一个公共点，

那么他们有且只有一条过该点的公共直线。

1公理的理解与应用

例1

已知

是

a,A

A、

B、M

例2

下列条

为不同的平面,

A、B、

M、N为不同的点,

a为直线，下列推理错误的

Ba,B

N,N

AB、M

且A、

M不共线

重合

，能得到平面

//平面

的是（）

A.存在一条直线,a//,a//

B.存在一条直线a,a,a//

C.存在两条平行直线a,b,a

b,a//,b//

存在两条异面直线aba

a//,b//

，下列命题中的真命题是（）

女口果m

mn是异面直线，那么

n//

如果m

mn是异面直线，那么

n和

如果m

n//

m,n共面，那么m//n

如果m//

n//

m,n共面，那么m//n

例3对于直线m,n和平面

例4

相交

已知正四棱锥

AE,SD所成的角的余弦值为（

SABCD的侧棱长与底面边长都相等,

）

E是SB的中点，则

D.2

2、

共线、共面、共点问题

例5如图所示，四边形ABCD中，已知AB//CD,AB,BC,DC,AD（或延长线）分别与平

面交于E、F、G、H必在同一直线上。

3、

若直线

a,b,c满足a/b,b

c,则ac；

若直线

ll,l2是异面直线，则与

ll,l2都相交的两条直线是异面直线。

A、

B、2

C、3

D、4

直线与直线之间的关系

例6给出下列四个命题：

垂直于同一直线的两条直线互相平行;

平行于同一直线的两条直线平行；

立体几何--空间中的平行问题

公理4:

平行于同一直线的两条直线互相平行

定理：

空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。

定理：

平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

定理：

一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

证明平行的方法：

（高中阶段一般

线线平行：

相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等）不考，只作为转化的一个桥梁）线面平行：

依定义采用反证法；根据定理证明（线//线线//面）；面面平行的性质定理

（面//面线//面）

“垂直与同一条直线的两个平面平

面面平行的：

依定义采用反证法；用判断定理或推论；用行”这一性质证明。

1、平行关系的概念

a，则c与b的位置关系是

平行「D.异面或相交

例1若a、b为异面直线，直线c//

A.相交B.r异面C.

例2垂直于同一平面的两条直线一定

A.平行

B.相交

C.异面

D.以上都有可能

2、线面平行

例3在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和BC上的点，若AE:

EB=CFFB

=1:

3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是

A、平行B、相交C、在内

（

D、不能确定

例4如图所示，在正方体ABCDA1BiCiDi中,

E、F分别是棱BCCiDi的中点。

求证：

EF//平面BDDiBi.

DiF

如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别在PABD上，且

EA=BFFD.求证：

EF//平面PBC

PE:

有下列几个命题

平面

内有无数个点到平面的距离相等，且

a,Ib，且a//b（,,为平面；a,b为直线），贝U//

平面

内一个三角形三边分别平行于平面

内的一个三角形的三边，则//

平面

内一个平行四边形的两边分别与平面

内的一个平行四边形的两边对应平行,

。

其中正确的有

例7如图所示，B为ACD所在平面外一点，M,N,G分别为ABC,ABD,BCD的重心。

（1）求证平面MNG//平面ACD;

（2）求SMNG:

ADC-

例8ABCD是平行四边形，点P事平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点

G,过G做AP作平面交平面BDM于GH,求证：

AP//GH

立体几何第四讲--空间中的垂直问题

定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

则它也

定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三垂线定理：

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，和这条直线垂直。

则它也和这条直线

三垂线逆定理：

如果：

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，在这个平面内的射影垂直。

最小角定理：

斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并

满足

设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB,AC为面上的一条直线，那么/OAC,/BAC,/OAB三角的余弦关系为：

cosOACcosBACcosOAB（cosBAC和cosOAB只能是锐角，通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角（OAC）=cos斜线射影与平面直线夹角（BAC）xcos平面斜线与斜线射影夹角（OAB）.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角.

证明垂直的方法：

线线垂直：

三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等

线面垂直：

判断定理；面面垂直的性质

面面垂直：

判断定理

题型一：

对空间中垂直的概念的理解

例1:

对于任意的直线l与平面，在平面

A平行B相交C垂直

内必有直线m，使m和I（

D互为异面直线

例2、用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：

①若a//b,b//c,贝ya//c；②若a丄b,

③若a//,b//,贝ya//b；④若a丄，b丄,

A.①②B.②③C.①④

a//b.

D.③④

例3：

如图，四面体ABCD中，ABCD,AC

BD,求证：

ADBC

（三垂线逆定理）

题型三：

线面垂直

例4:

如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、

F、G分别是

CB、CD、CCi的中点。

（1）求证：

平面AB1D1//平面EFG；

（2）求证：

EF平面AA1C。

题型二：

线线垂直

例5：

如图，在三棱柱ABCABG中，侧面ABBA,ACGA均为正方形，/BAC=90°,点D是棱B1C1的中占

I八、、・

（I）求证：

AD丄平面BB1C1C；

（n）求证：

AB1//平面ADC；

题型四：

面面垂直

D是AB的中点。

例6:

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC点

（1）求证：

BC1AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点一个四面体，如图⑵所示.

（1）求证：

AP丄EF;

（2）求证：

平面APE丄平面APF.

B、

知识梳理

空间平面与平面的位置关系

1、空间两平面的位置关系：

平行、相交

位置关系

定义

图示

符号语言

交点个数

两个平

面相交

斜交

有一条公共直线（不垂

直）

/O.Z

无数个

垂直相交

如果两个相交平面所成二面角为直二面角，那么两个平面互相垂直

无数个

两个平面平行

如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行

/~7

没有

2、空间两平面平行

名称

面面平行的定

义

文字语言

没有公共点

符号语言

图形

面面平行的判

定定理

如果一个平面内

有两条相交直线

都平行于另一个

平面,那么这两个

平面平行

all

b//

垂直于同一直线

的两平面平行

1,I

补充

平行于同一平面

的两平面平行

两个平面平行的性质定理：

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面;

（2）如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行。

3、空间两平面垂直

名称

面面垂直

的定义

面面垂直

的判定

定理

文字语言

符号语言

图形

如果两个相交平面所成的

二面角为直二面角

如果一个平面经过另一个

平面的一条垂线，那么这两

个平面互相垂直

a,a

两个平面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。

4、空间角的概念

二面角作法图形示例及步骤:

方法

步骤

定义法

在棱上取一特殊

点,分别两个面内

找棱的垂线。

（通

常两面是等腰三

角行，或对称的全

等三角形）

垂面法

找一个垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交线所成的角是二面角的平面角

三垂线定理及逆定理

1、从二面角的一个面内的一点作

另一个面的垂线PF,

2、从垂足作棱的垂线FE

3、连接PE由三垂线定理得PEF

是二面角的平面角

综合练习

1、过正方形ABCD的顶点A,弓IPA1平面ABCD,若PA=AB则平面ABP和平面CDP所成的

（）

（A）30

（B）45

（C）60

（D）90

2、四面体

A—BCD中，BDJ2，其余棱长均为1,则二面角A—BG-D的大小是

3、正方体ABCDAB1C1D1中，二面角CiBDA的大小是

4、RtAABC的斜边在平面a内，直角顶点C是a外一点，ACBC与a所成角分别为30°和45°，则平面ABC与a所成角为

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.已知

3,AD2,PA2,PD2j5,PAB60.

（1）

（3）

证明AD平面PAB;

PC与AD所成的角的大小;

BDA的大小.

求异面直线求二面角P

S-ABCD的底面是正方形,

6、如图，四棱锥

SD丄平面ABCD,SD=AD=a,点E是线段SD上任意一点。

（1）求证：

AC丄BE;

（2）若二面角C-AE-D的大小为，求线段的「长。

7、已知S是正方形ABCD所在平面外一点,

SA平面

ABCD,AB3,

（1）求二面角BSCD的大小;

（2）求SA与平面SBD所成的角。

SC5.

&四面体ABCD中，AB=3,AC=AD=2，且BACCADDAB60。

（1）求二面角A-CD-B的大小;

（2）求异面直线AC与BD所成角的大小。

9、在长方体ABCDAB1C1D1中，AB2,BCBB11,B1C与BC1交于O点.

（1）

求证：

BiO平面ABCiDi

求二面角B1AD1O的大小（结果用反三角函数值表示）；

点。

（1）

（2）

（3）

、如图在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AD=AAi=1,

AB=2，点E是AB上的动

若直线在

（1）

在

（1）

D1E与EC垂直，试确定点E的位置，并说明理由;的条件下求出异面直线AD1与EC所成的角；的条件下求二面角D1—EC—D的大小。

立体几何--距离问题

;线面距离；面面距

空间中的距离：

点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）离；异面直线的距离（公垂线）。

题型一：

点面距离例1:

已知正四棱柱ABCDABiCiDi的地面边长为1，则棱场为2,点E为CCi的中点,

求点D1到平面BDE的距离。

例2：

在ABC中,AB=15,BCA120，若ABC所在平面外一点离都是14,则P到的距离是

A、13

P到A、B、C的距

（）

B、11

C、9

D、7

练习：

1、在棱长为1

的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1,

BB1的中点，G为

棱AB1上的一点，且

（0<<1）.则点G到平面D1EF的距离为

A.73

2、如图，

和

为平面,

分别为A'

B，

AA'

的距离为

=3,

l,A

B,AB=5,A,B在棱I上的射影

BB'=2.若二面角丨的大小为——，求，点B到平面

题型二：

线面距离:

例3：

在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,ADAA,=1,E、F分别为AB、CD的中点,

求直线AF到平面CD1E的距离。

题型三：

面面距离:

例4：

在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是ADj,AB1,C1D1,B1C1

的中点，求平面AMN与平面BDEF间的距离。

D1E

'Z-

题型三：

综合类型:

例5：

（2010北京）如图，正方体ABCD-ARC1。

1的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P,Q

分别在棱

AD,CD上，若

EF=1,

FQ的体积

（

与x,y,z都有

\、八

与X有关，与y,

Z无关

与y有关，与X,

Z无关

与Z有关，与X,

y无关

E=xDQ=y,DP=z（x,y,z大于零），则四面体PE

）

III

b一

如图，

（I）

（n）

（川）

例7：

在四面体ABCD中，面和面BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD=2J2a。

设

M、N分别是棱AB、CD的中点。

求：

M、N在四面体表面上的最短距离。

立体几何-夹角角问题

知识点：

夹角的分类：

线线夹角

线面夹角

面面夹角

三者在计算或证明时的转换关系:

面面

*线面*线线

计算三种夹角的方法：

勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤，①找角，②证明所找的角，③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）

题型一：

异面直线的夹角问题

例1、在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形,

BAD90,AD//BC,ABBCa，

（1）

BEPD；

AE与CD所成角的正切值;

2a,PA底面ABCD,PD与底面成30角.若AEPD,E为垂足，求证：

在

（1）的条件下，求异面直线

例2、如图，四边形ABCD是边长为

1的正方形，MD

平面ABCD,

NB平面ABCD，且MDuNBR，

E为BC的中点

求异面直线NE与AM所成角的余弦值

例3、已知正四面体ABCD中，各边长均为a，如图所示,

E,F分别为

AD,BC的中点,

连接AF,CE，求异面直线AF,CE所成角的余弦值。

练习:

1、已知三棱柱ABCAB1C1的侧棱与底面边长都相等,

Ai在底面ABC上的射影为BC的

中点，则异面直线

AB与CCi所成的角的余弦值为（

（2）

（A）g

（D）4

（C）——

2、（12分）如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中,

E,F分别是AB',BC'的中点。

（1）若M为BB'的中点，证明：

平面EMF

//平面ABCD

（2）求异面直线EF与AD'所成的角

题型二：

线面夹角

例4、设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,折起，使二面角ADEB为45°,此时点的两线与平面BCDE所成角的大小等于

DEAB于E（如图）。

现将ADE沿DE

A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N

例5、如图，四棱锥P-ABCD中,是PC上的一点，

底面ABCD为菱形，PA丄底面ABCD,AC=2,PA=AD=2E

PBC所成角的大小。

设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面

例6、已知三棱柱ABCAB1C1的侧棱与底面边长都相等，Ai在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则ABi与底面ABC所成角的正弦值等于（

A.-

b.¥

例7、如图,

直三棱柱

ABCA1B1C1中，ABAC,D、E分别是AAi，BC的中点,

平面BCCi.

（1）

证明：

AB=AC

设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小

练习:

1.已知三棱柱

ABCAEG的侧棱与底面边长都相等,

A在底面ABC内的射影为

△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（

A.-

B.一

C.——

D.-

题型三：

面面夹角:

AB、AC上.使

弦值。

求：

二面角A-EC-B的大小的余

E32哙3现将VABC沿DE折成直二角角，

例9:

四边形ABCD为等腰梯形，AB//

CD,DAB60o,FC面

例8如图,

在VABC中，B=90o,AC=—,D、E两点分别在

abcd,aebd,cbcdcf.

求证：

BD面AED;

求二面角FBDC的余弦值.

10、如图，在四棱锥PABCD中，底

面ABCD是矩形，已知

AB=3,AD=2,PD=2妊PAB=60°

（1）证明：

AD平面PAB

（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小

练习:

1、如图，二面角

丨的大小是60°，线段AB

与丨所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是

2、如图，正方体ABCDABiCiDi的棱线长为1,线段BiDi上有两个

动点E,F,且EF旦，则下列结论中错误的是（）

ACBE

（B）

EF//平面ABCD

（C）

三棱锥ABEF的体积为定值

（D）

异面直线AE,BF所成的角为定值

立体几何---空间向量及其运算

一、知识点精析

考点一、空间向量及其加法与数乘运算

1、定义：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度

uuu

终点是B,则向量a也可记作AB，其模记为a或AB。

或模。

空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，

uuu

2、几个特殊向量

（1）零向量：

规定长度为0的向量记作零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合

uuu

时，AB=0.

（2）单位向量：

模长为1的向量称为单位向量。

（3）相反向量：

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为一

（4）相等向量：

方向相同且模相等的向量称为相等向量。

在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。

个向量。

3、空间向量的基础运算

uuu

加法：

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,

（1）

uuuuuuOAOBa+b,

（2）

uuu

减法：

uuuLuu

OAOBa-b.如图所示。

运算律：

①加法交换律

rrrrr

abba;②加法结合（a

乘分配律

rrr

（ab）a

a。

b）

rrrr

ca（bc）;③数

考点二、共线向量与共面向量

1、共线向量

（1）定义：

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,

a//b

则这些向量叫共线向量或平行向量，记作

（2）表示：

a//b?

存在实数，使ab（b

0；

唯一）

（3）推论：

如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量

a的直线，那么对于空间任一点0,

点P在直线l上的充要条件是存在实数t,等式C）P

uuu

ta①；其中a叫做直线l的方向向

uuuuuuumr

量，如图所示：

由①？

0POAtAB

Luuuuu,OPOA

uuirtAB

（1

uuruuu

t）OAt②；在②中如

令t1则OuPr

1uuu

-（OA

OUU）③是线段ab的中点公式.

2、共面向量

（1）定义：

通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

rrLTr

a、b不共线，则向量p与向量a、

（2）表示：

如图，如果两个向量

是存在实数对x、y,pxa

b共面的充要条件

（3）推论：

空间一点

uuuTUULT

MPxMA

uuuryMB

P位于平面

或对空间一点O来说，有

MAB内的充要条件是存在有序实数对

uuuruuuurOPOM

x,uuurxMA

y，使

yMBU①.由

①？

Ouu（1

uuuuruuuruuu兮

xy）OMxOAyOB②

3、空间向量基本定理：

如果三个向量

b,c不共面,

那么对空间任一向量

P，存在一个

唯一的有序实数组x,y,z，使p

rxa

ybz：

.其中a,b,c叫做空间的一个基底.

b，c都叫做基向量.对于基底

rrr

a,b,c除了应知道a,b,c不共面外，还应明确：

（1）空间任

意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底;

TTT

⑵基底中的三个向量a,b,c都不是

0；（3）—个基底是由不共面的三个向量构成.一个基向量是指基底中的某一个向量.（推论

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组X,

号

uuuruuuruuuTuult

OPxOAyOBzOC）

考点三、空间两个向量的数量积

1、空间向量夹角:

空间两个向量的夹角：

已知两个非零向量a,b，在空间任取一点

O,作

uuu

b，贝yAOB叫做向量a与b的夹角，记作（a,b

二、典例讲解题型一向量的基础运算

例1、直三棱柱

ABC—A1B1C1中,

UUL

CAa,

uur

LULT则AiB

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