山东省济南市历城区学年九年级上学期期末数学试题及答案.docx
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山东省济南市历城区学年九年级上学期期末数学试题及答案
山东省济南市历城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．将二次函数
的图象平移后，得到二次函数
的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度D．向下平移1个单位长度
4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且
连接DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
5．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5B．8C．12D．15
6．如图，在△ABC中，
，
，
，
，则AB的值为（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．
x（55﹣x）＝375B．
x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375
8．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，等边三角形
内接于
，若
的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在直角坐标系中，
的边OB在y轴上，
，
，点C在AB上，
，且
，若双曲线
经过点C，则k的值为（ ）
A．
B．
C．1D．2
11．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，
米，
米，则宣传牌CD的高度是（ ）米
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知二次函数
的图象与x轴交于点
，与y轴的交点B在
和
之间（不包括这两点），对称轴为直线
．下列结论：
①
：
②
；③
；④
．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．若
，则
_________．
14．若关于x的一元二次方程
有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是______．
15．某中学举办庆祝中国共产党建党100周年党史知识竞赛．某班有5名学生报名，其中2男3女，计划从这5名学生中随机抽选两名学生参加知识竞赛，所选两名学生中恰好1男1女的概率为______．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F，G分别是AD，AB，CD的中点，且
，
，则菱形ABCD的面积是______
．
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为______．
18．如图，在矩形ABCD中，
，
，点E，F分别在边AD，BC上，且
，沿直线EF翻折，点A的对应点
恰好落在对角线AC上，点B的对应点为
；分别在线段EF，
上取点M，N，沿直线MN二次翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______．
三、解答题
19．计算：
．
20．解方程：
．
21．已知：
如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，作
，
，CF与DF相交于点F．求证：
四边形DECF为菱形．
22．某社区为了调查居民第三季度的用电情况，随机抽取了小区20户居民的用电量进行调查．数据如下：
（单位：
度）
670，870，730，1140，700，690，1170，970，1000，970
730，840，1060，870，720，870，1060，930，840，870
整理数据：
按如下分段整理样本数据并补至表格（表1）
用电量x（度）
人数
a
6
b
4
分析数据：
补全下列表格中的统计量（表2）
平均数
中位数
众数
885
c
d
得出结论：
（1）表中的
______，
______，
______，
______．
（2）若将表1中的数据制作成一个扇形统计图，则
所表示的扇形圆心角的度数为______度．
（3）如果该小区有住户400户，请根据样本估计用电量在
的居民户数．
23．一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，在Rt△ABC中，
，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：
AE平分∠BAC；
（2）若
，求
的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数
的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点
，
．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由
（3）点F是反比例函数
的图象上的一点，且使得
，求直线EF的函数关系式．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据三视图的概念即可快速作答.
【详解】
解：
立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.
【点睛】
本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，直接运用三角函数的定义求解．
【详解】
解：
如图，
∵AB=13，AC=12,
∴sinB=
=
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
3．B
【解析】
【分析】
二次函数图象向右平移1个单位，自变量x变为x-1，据此可得解．
【详解】
解：
y=-3（x-1）2的图象是由y=-3x2向右平移1个单位得到的，
故选：
B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象左右平移时自变量“左加右减”．
4．B
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得∠DAE的度数，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度数，从而可求得∠CDE的度数．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜
∵AE=AD
∴
∴
故选：
B
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握这两个性质是关键．
5．C
【解析】
【分析】
设红球的个数为x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求解即可解答．
【详解】
解：
设红球的个数为x个，
根据题意，得：
，
解得：
x=12，
即袋子中红球的个数最有可能是12，
故选：
C．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率、简单的概率计算，熟知经过多次实验所得的频率可以近似认为是事件发生的概率是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例的推论可得
，代入数据求解即可．
【详解】
∵在ΔABC中，
，
∴
，即
∴
．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到对应边建立比例式．
7．C
【解析】
【分析】
设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC=55且AD=BC可得AD=BC=55-2x米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】
解：
设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x（55-2x）=375，
故选：
C．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8．C
【解析】
【详解】
试题分析：
∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：
当小红走到灯下以前：
l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：
l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选C．
考点：
1．函数的图象；2．中心投影；3．数形结合．
9．C
【解析】
【分析】
连接OC，如图，利用等边三角形的性质得
，
，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积
进行计算．
【详解】
解：
连接OC，如图，
为等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：
三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心
也考查了等边三角形的性质．
10．D
【解析】
【分析】
易证△ABO∽△OBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OB的长，即C的纵坐标，BC的长是C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：
BC＝
，AB＝4，即C的横坐标是1．
∵在直角△ABO和直角△OBC中，∠ABO＝∠OBC，∠BOC＝∠A，
∴△ABO∽△OBC，
∴
＝
，
∴OB2＝AB•BC＝4×1＝4，
∴OB＝2，
则C的坐标是（1，2），代入y＝
，得：
k＝2．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确求得OB的长是关键．
11．A
【解析】
【分析】
过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，在Rt△ABG中，由已知可求得BG、AG的长，从而可易得EF及EG、BF的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF的长度，在Rt△DAE中，由正切函数关系可求得DE的长度，从而可求得CD的长度．
【详解】
过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图
在Rt△ABG中，∠BAG=30゜
∴
米，
（米）
∴
米
∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED
∴四边形BGEF是矩形
∴EF=BG=5米，
米
∵∠CBF=45゜，BF⊥ED
∴∠BCF=∠CBF=45゜
∴
米
在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米
∴
（米）
∴
米
故选：
A
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．
12．B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①∵图象与x轴交于点A（−1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＞0，
∴16a＋4b＋c＞0，
故①错误；
②∵对称轴为直线x＝−
＝1，
∴b＝−2a，
∵图象与y轴的交点B在（0，−2）和（0，−1）之间，
∴−2＜c＜−1，
∴1＜−c＜2，
∴−c-1＞0，
又∵a＞0，
∴b2-4ac-4a=4a2-4ac-4a=4a（a-c-1）＞0，
∴
即②正确．
③∵图象与y轴的交点B在（0，−2）和（0，−1）之间，
∴−2＜c＜−1，
∵图象与x轴交于点A（−1，0）和（3，0），
∴ax2＋bx＋c＝0的两根为−1和3，
∴−3＝
，
∴c＝−3a，
∴−2＜−3a＜−1，
∴
；
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝−
＝1，
∴b＝−2a，
∵a＞0，c＝−3a，
∴b＞c；
故④错误．
综上所述，正确的有②③，
故选B．
【点睛】
此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
13．
.
【解析】
【分析】
根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．
【详解】
解：
根据等式的性质，两边都加上1，即可得
，通分得
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．
14．a＜1
【解析】
【分析】
根据根的判别式得到
，然后解不等式求出a的取值范围即可．
【详解】
解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
，
∵
∴
，
解得：
a＜1，
故答案为：
a＜1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：
一元二次方程
的根与
有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．
##0.6
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生恰好是1男1女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：
．
故答案为：
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
16．24
【解析】
【分析】
连接AC，BD，交点为O，EF与AC交于点M，EG与BD交于点N，由三角形中位线定理得出EF∥BD，
，EG∥AC，EG=
AC，得出∠FEG=90°，由勾股定理求出EG的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【详解】
解：
如图，连接AC，BD，交点为O，EF与AC交于点M，EG与BD交于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G分别是AD，AB，CD的中点，
∴EF∥BD，EF=
BD，EG∥AC，EG=
AC，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠FEG=90°，
∵FG=5cm，EF=3cm，
∴EG=
，
∴AC=8cm，BD=6cm，
∴菱形ABCD的面积是
AC•BD=
×8×6=24（cm2）．
故答案为：
24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．
17．（1，4）
【解析】
【分析】
根据三角形外接圆的性质，作线段AB和BC的垂直平分线，其交点即为圆心，即可解答．
【详解】
如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心．
根据图可知D点，即圆心坐标为（1，4）．
故答案为：
（1，4）．
【点睛】
本题考查三角形外接圆的圆心．掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．
18．
【解析】
【分析】
如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．证明△FTE∽△ADC，求出ET=1，EF=
，设A′N=x，根据NF=NE，可得12+（3-x）2=22+x2，解方程求出x，可得结论．
【详解】
解：
如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J．
∵四边形ABFT是矩形，
∴AB=FT=3，BF=AT，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=9，∠B=∠D=90°
∴AC=
，
∵∠TFE+∠AEJ=90°，∠DAC+∠AEJ=90°，
∴∠TFE=∠DAC，
∵∠FTE=∠D=90°，
∴△FTE∽△ADC，
∴
，
∴
，
∴TE=1，EF=
，
∴BF=AT=AE-ET=2-1=1，
设A′N=x，
∵NM垂直平分线段EF，
∴NF=NE，
∴12+（3-x）2=22+x2，
∴x=1，
∴FN=
，
∴MN=
，
故答案为：
．
【点睛】
本题属于几何综合题，考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．6
【解析】
【分析】
根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．
【详解】
解：
原式=
．
【点睛】
本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键．
20．x1＝－2，x2＝2
【解析】
【分析】
先把方程进行整理，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案．
【详解】
解：
x（x＋2）＝2x＋4，
x（x＋2）－2（x＋2）＝0，
（x＋2）（x－2）＝0，
x＋2＝0或x－2＝0，
∴x1＝－2，x2＝2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解方程的步骤进行计算．
21．见解析
【解析】
【分析】
由两个平行条件可判定四边形DECF是平行四边形，再由矩形的性质可得CE=DE，从而可得四边形DECF是菱形．
【详解】
∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝
AC，DE＝
BD，AC＝BD，
∴CE＝DE，
∴平行四边形DECF为菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定、矩形的性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
22．
（1）6，4，870，870
（2）72
（3）240户
【解析】
【分析】
（1）根据所给数据找出600≤x<750区间内的用户数，即a的值；找出900≤x<1050区间内的用户数，即b的值；根据中位数的定义求解即可；根据众数的定义求解即可；
（2）利用900≤x<1050区间内的用户数除以总用户数再乘以
即可；
（3）计算出600≤x<900区间内的用户数，再除以调查的总用户数，最后乘以该小区总住户数即可．
（1）
根据数据可知用电量在600≤x<750区间的有6户，故a=6；用电量在900≤x<1050区间的有4户，故b=4；
将上述数据从大到小排列为：
670，690，700，720，730，730，840，840，870，870，870，870，930，970，970，1000，1060，1060，1140，1170
∴中位数
，
用电量为870的用户最多为4户，故众数d=870．
故答案为：
6，4，870，870．
（2）
．
故答案为：
．
（3）
（户），
故用电量在600≤x<900的居民户数约为240户．
【点睛】
本题考查中位数，众数的定义，求扇形统计图中某项的圆心角度数，用样本估计总体．根据题意得出必要的数据和信息是解答本题的关键．
23．
（1）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元
（2）每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元
【解析】
【分析】
（1）设每件商品降价x元时，根据等量关系：
商店每天销售利润为1200元，列出方程、解方程即可；
（2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，则可得y关于n的二次函数，求此二次函数的最大值即可，从而可得此时n的值．
（1）
设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元
由题意得：
（40－x）（20＋2x）＝1200
解得：
x1＝10，x2＝20
∵每件盈利不少于24元
∴x2＝20应舍去
∴x＝10
即每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（2）
设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：
y＝（40－n）（20＋2n）
y＝－2n2＋60n＋800
∵－2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值1250元
∴每件利润为25元，符合题意
即每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元
【点睛】
本题考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，理解题意、利用等量关系列出方程和函数关系式是本题的关键．
24．
（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OEB=90°，进而得到OE//AC，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，根据角平分线的定义证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠AED=90°，证明△DAE∽△EAC，根据相似三角形的性质得到
，根据余弦的定义计算，得到答案．
（1）
证明：
连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE//AC，
∴∠OEA=∠EAC，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OAE=∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠OAE=∠EAC，∠C=90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴
，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠DAE=
∠BAC=30°，
∵
，
∴
．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到OE⊥BC是解题的关键．
25．
（1）
，E（6，2）
（2）DE∥AC，DE＝
AC，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据矩形
，得到AB与x轴平行，
与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可．
（2） DE∥AC，DE＝
AC，理由为：
由B（6，3），D（4，3），E（6，2），可得BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，继而可得△BDE∽△BAC，由相似的性质可证得DE∥AC，DE＝
AC．
（3）作AG⊥AE，交EF于点G，设
，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，由
，B（6，3），E（6，2），可得MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6，由已知条件可得∠AEG＝∠AGE＝45°，所以AG＝AE，再由同角的与角相等可证∠MGA＝∠NAE，继而利用AAS可证得△MGA≌△NAE，可以求出G点坐标，
点坐标已知，利用待定系数法可以求得解析式．
（1）
解：
∵
（6，3），
＝2
∴D（4，3）
∵y＝
过点D（4，3）
∴k＝4×3＝12
∴反比例函数
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