乘法公式根式分解因式老师用.docx
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乘法公式根式分解因式老师用
初高中衔接教材
、数与式的运算
）、必会的乘法公式
【公式1】（abc）2=a2b2c22ab2bc2ca
2222
证明：
（abc）二[（ab）c]=（ab）2（ab）cc
.等式成立
【例1】计算：
（x2-2x」）
二a22abnb22ac2bcc2二a2：
：
;b2：
：
;c22ab2bc2ca
1、2
3'
解：
原式=[x2（-.2x）1]2
3
211—
X—+2N_x（_”2x）
33
22—2122—
=（x）（-一2x）（）2x（-.2）x2x
3
=x—2.2x38x2^x1
339
说明：
多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.
【公式2】（ab）（a2-abb2）=a3b3（立方和公式）
证明：
（ab）（a2_abb2）=a3_a2bab2a2b_ab2b3=a3b3
说明：
请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算：
（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3
【公式3】（a-b）（a2abb2）=a3-b3（立方差公式）
（4）
2•利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
27m3-n3=
27m3-1n3=
8x3-125=
66
m-n=
【公式4】（ab）3二a3b33a2b3ab2
【公式5】（a—b）=a3—3a2b3ab2-b3
【例3】计算：
（1）（4m）（16「4mm2）
（2）（丄m-1n）（丄m2丄mn丄n2）
5225104
（3）（a2）（a-2）（a44a216）（4）（x22xyy2）（x2-xyy2）2
解：
（1）原式=43•m3=64m3
（3）原式=（a2-4）（a44a242）=（a2）3-43=a6-64
（4）原式=（xy）2（x2-xyy2）2=[（xy）（x2-xyy2）]2
33•3
abc
abc
a3
abc
说明：
（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数
和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的.
1
【例4】已知X2-3x•1=0,求X3•-y的值.
x
解：
：
X2-3x1=0.x=0.x-=3
x
1111
原式=（x）（x2-12）=（x）[（X）2-3]=3（32一3）=18
xxxx
说明：
本题若先从方程x2-3x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化
了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.
【例5】已知ab^0，求a（11）b（11）c（--）的值.
bccaab
解：
abc=0,.ab=-c,bc=-a,ca=-b
原式=abcbaccabbcacab
=a（-a）b（-b）c（-c）=
bcacab
说明：
注意字母的整体代换技巧的应用.
）、根式
式子.、a（a_O）叫做二次根式，其性质如下:
说明：
请注意性质•一孑=|a|的使用：
当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论.
解:
（1）
（4）原式=2』2x_Jxx2+（2汇22x=T?
x—xVx+2V5x=3V?
x_xVx丫2汇2
说明：
（1）二次根式的化简结果应满足：
1被开方数的因数是整数，因式是整式；
2被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：
①被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽
方的因数或因式开出来;
②分母中有根式（如為）或被开方数有分母（如證）•这时可将其化为
中的根式化为有理式，米取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如——化
2+73
为3（2一3），其中2.3与2_.3叫做互为有理化因式）.
（2.3）（2一3）
有理化因式和分母有理化
有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。
如心与心;x与弘x-b；y互为有理化因式。
分母有理化：
在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
【例8】计算：
⑴（a.b1）（1—、泊，b）〜（.a、.b）2
（2）一、一
a-Qaba+%/ab
解：
（1）原式=（1亠,.b）2-（a）2-（a2.abb）--2a-2.ab2.b1
（一a-jb）（.a-，b）2a（ab）（一a-「b）a-b
乘法的运算律以及多项式的乘法
说明：
有理数的的运算法则都适用于加法、公式、分式二次根式的运算.
I例9】设x；；y=：
「3，求x3y3的值.
原式=（xy）（x-xyyH（xy）[（xy）-3xy]=14（14-3）=2702
说明：
有关代数式的求值问题：
（1）先化简后求值；
（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计
练习
二次根式孑二-a成立的条件是（）
A.a.0B.a:
:
:
0C.
D.a是任意实
2.
若x:
:
:
3，则•、9-6xx2-|x-6|的值是（
3.
A.—3计算：
（1）（x-3y-4z）
（3）（ab）（a2-abb2）-（ab）3
B.3
4.
化简（下列a的取值范围均使根式有意义
5.
C.—9
D.9
2
（2a1-b）-（a-b）（a2b）
122
（a-4b）（a4bab）
4
（1）•石
⑶、、4ab
aTb-bVa
化简：
（1）7丽1
2x-2y亠
2m2
=2,
J]（x0）
6.
则3xxy7y的值为（
x-xy-y
7.
a2
9.
B.-3
5
1
-2".32
—1—，求代数式
5
3
22
xxyy
xy
C.
b2c2
10.化简或计算:
1
，b=2
a£的值.bca
，求x4x22x-1的值.
a
1
"2
的值.
一1
、3、2.3-1
⑴小w
x、.xxyx、xyy
（）xy-y2
答案：
1.C2.A
3.
（1）x29y216z2-6xy-8xz24yz
22
3a-5ab3b4a-2b1
22
⑶-3ab-3ab
133
⑷4a-16b
4.-2a、、-2a-、、-a
2（a,b）
-J-1
a-b
2
5.m,m2xy
6.D
7
8.39
.3-.5
10
6
4；3xy
一3,厂
3y
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等.
）、公式法
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
（1）8x3
3
（2）0.125-27b
分析：
（1）中，8=23,
（2）中0.125=0.5\27b3=（3b）3.
解：
（1）8x3=23x3=（2x）（4-2xx2）
（2）0.125-27b3nO.53-（3b）3=（0.5-3b）[0.520.53b（3b）2]
=（0.5-3b）（0.251.5b9b）
说明：
（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幕的运算法则，如8ab3=（2ab）3，这里逆用了法则（ab）n=anbn；
（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号.
【例2】分解因式：
（1）3a3b-81b4
（2）a7-ab6
分析：
（1）中应先提取公因式再进一步分解；
（2）中提取公因式后，括号内出现a6-b6，可看着是（a3）2-（b3）2或（a2）3—（b2）3.
解：
（1）3a3b-81b4=3b（a3-27b3）=3b（a-3b）（a23ab9b2）.
（2）a7-ab6二a（a6-b6）=a（a3b3）（a3-b3）
=a（ab）（a2-abb2）（a-b）（a2abb2）
2222
二a（ab）（a-b）（aabb）（a-abb）
2）、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如ma•mb•na•nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式
【例3】把2ax-10ay-5by-bx分解因式.
分析：
把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降
幕排列，然后从两组分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样可以继续提取公因式.
解:
2ax-10ay5by_bx=2a（x_5y）_b（x_5y）=（x_5y）（2a_b）
说明：
用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理
二ac（bc_ad）bd（be_ad）=（be_ad）（acbd）
说明：
由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组,先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律•由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2•分组后能直接运用公式
【例5】把x「y2-axay分解因式.
分析：
把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公
式分解因式，其中一个因式是xy;把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy.
22
解:
x-yaxay=（xy）（x_y）a（xy）=（xy）（x_ya）
【例6】把2x24xy2y2-8z2分解因式.
分析：
先将系数2提出后，得到x22xyy2-4z2，其中前三项作为一组，
它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.
解：
2x24xy2y2-8z2=2（x22xyy2-4z2）
=2[（xy）2_（2z）2]=2（xy2z）（xy-2z）
说明：
从例5、例6可以看出：
如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
3）、十字相乘法
1.x2+（p+q）x+pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
（1）二次项系数是1;
（2）常数项是两个数之积；（3）—次项系数是常数项的两个因数之和.
2）i）2-I-I-I）-I-I■,■,
x（pq）xpq=xpxqxpq=x（xp）q（xp）=（xp）（xq）
因此，x2（pq）xpq=（xp）（xq）
1的二次三项式分解因式.
运用这个公式，可以把某些二次项系数为
【例7】把下列各式因式分解：
2
（2）x13x36
解：
（1）T6=（-1）（-6）,（-1）（-6）=-7
.X2—7x6=[x（-1）][x（一6）]=（x—1）（x—6）.
（2）：
36=49,49=13
x213x36=（x4）（x9）
说明：
此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.
【例8】把下列各式因式分解：
（1）x25x-24
（2）x2-2x-15
解：
（1）：
-24=（—3）8,（—3）8=5
2
.x5x-24二[x（-3）]（x8）=（x-3）（x8）
（2）7-15=（-5）3,（-5）3二-2
.x2-2x-15=[x（-5）]（x3）=（x-5）（x3）
说明：
此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.
【例9】把下列各式因式分解：
（1）x2xy-6y2
（2）（x2x）2-8（x2x）12
分析：
（1）把x2，xy-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6y2，一次项系数是y，把-6y2分解成3y与-2y的积，而3y•（-2y）=y，正好是一次项系数.
（2）由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a2-8a12.
解：
（1）xxy-6y=xyx-6=（x3y）（x-2y）
（2）（x2x）2-8（x2x）12=（x2x-6）（x2x-2）
=（x3）（x-2）（x2）（x-1）
2•—般二次三项式ax2bxc型的因式分解
大家知道，（a/cj（a2xc2^a1a2x2（a1c2a2cjxqq.
反过来，就得至U：
&a2X■（qq'a2Ci）x■GC2二（®x■G）（a2X■q）
我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a,a2,c,c2写
Ci
成ac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到aiC2a2G，如果它正好等于
22
ax2-bxc的一次项系数b，那么ax2bxc就可以分解成（axc（）（a2xc2），其中ai,c.位于上一行，a2,c2位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.
【例10】把下列各式因式分解：
（1）12x2-5x-2
（2）5x26xy-8y2
3-2
41
解:
（1）12x2—5x—2=（3x—2）（4x1）
说明：
用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数,用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.
4）、其它因式分解的方法
1•配方法
【例111分解因式x26^16
解：
x26x-16=x22x332-32-16=（x3）2_52
=（x35）（x3「5）=（x8）（x-2）
说明：
这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解•当然，本题还有其它方法，请大家试验.
2•拆、添项法
【例121分解因式x3-3x24
分析：
此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行•细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决.
解：
x3-3x24=（X31）_（3x2_3）
=（x1）（x2—x1）-3（x1）（x—1）=（x1）[（x2—x1）—3（x—1）]
=（x1）（x2—4x4）=（x1）（x-2）2
说明：
本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件•本题还可以将-3x2拆成x2-4x2，将多项式分成两组（x3x2）和-4x24.
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：
（1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相
乘法）来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
6
1.把下列各式分解因式：
（1）a327
⑵8-m3
（3）-27x38
2.把下列各式分解因式：
（1）xy3x4
n3n3
（2）x-xy
（3）
2z232
y（x-2x）y
3.把下列各式分解因式：
（1）x2-3x2⑵
2x
-6x-27（3）
2m
-4mn-5n2
4.把下列各式分解因式：
（1）ax5TOax416ax3
⑵
n-2n"1n■2
aab-6ab
⑶
22
（x-2x）-9
（4）8x226xy-15y2（5）7（ab）2-5（ab）-2
5.把下列各式分解因式：
（1）3ax-3ayxy-y2
（2）8x34x2-2xT（3）
2
5xT5x2xy-6y
⑷4xy1-4x2-y2⑸a4ba3b2-a2b3-ab4⑹
663.
x-y-2x1
（7）x（x+1）—y（xy+x）
2
6.已知a•b二一,ab=2，求代数式a2b-2a2b2ab2的值.
3
7.证明：
当n为大于2的整数时，n5-5n3•4n能被120整除.
8.已知abc=0，求证：
a3a2cb2c-abcb3=0.
答案：
1.（a3）（a2-3a9）,（2-m）（42mm2）,（2-3x）（46x9x2）,
2.x（xy）（y2-xyx2）,xn（x-y）（x2xyy2）,y2（x-1）2（x4-4x33x22x1）
3.（x-2）（x-1）,（x-9）（x3）,（m_5n）（mn）
4.ax3（x-2）（x-8）;an（a3b）（a-2b）;（x-3）（x1）（x2-2x3）;
（2x-y）（4x15y）,
（7a7b2）（ab-1）
5.（x-y）（3ay）,（2x1）2（2x-1）,（x-3）（5x2y）;（1一2xy）（12x-y）,
一3333
ab（ab）（a-b）,（x-1_y）（x-1y）,x（x-y）（xy1）.
6.一8
3
7.n5-5n34n=（n-2）（n-1）n（n1）（n2）
8.a3a2cb2c_abcb3=（a2_abb2）（abc）
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