第4讲学生4份一元二次方程的解法因式分解法.docx

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第4讲学生4份一元二次方程的解法因式分解法

第4讲一元二次方程的解法--因式分解法

学习目标

1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．

2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，．

学习重点：

用因式分解法解一元二次方程．

学习难点：

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

学习过程

一、将下列各题因式分解：

（1）am＋bm＋cm＝；

（2）a2－b2＝；

（3）a2±2ab＋b2＝．

二、问题：

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：

m）为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？

（精确到0.01s）

设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即，①

思考：

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

二、探索新知

（1）x（2x+1）=0

（2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是

（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-

．

（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？

）

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

方法点拨：

（1）对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

（2）如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：

如果（x＋1）（x－1）＝0，那么

或，即或．

二、练习

1．说出下列方程的根：

（1）x（x－8）＝0；　　　

（2）（3x＋1）（2x－5）＝0.

2．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=

，x2=

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x两边同除以x，得x=1

3．用因式分解法解下列方程：

（1）x2－4x＝0;

（2）4x2－49＝0；

（3）5x2－20x＋20＝0.

合作探究：

例题精讲

例1．用因式分解法解下列方程：

（1）5x2－4x＝0；　　　

（2）3x（2x＋1）＝4x＋2；（3）（x＋5）2＝3x＋15.

例2．用因式分解法解下列方程：

（1）4x2－144＝0；

（2）（2x－1）2＝（3－x）2；

（3）5x2－2x－

＝x2－2x＋

；（4）3x2－12x＝－12.

例3．已知9a2-4b2=0，求代数式

的值．

四、应用拓展

例4．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0

（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

跟踪练习：

1．用因式分解法解下列方程：

（1）x2＋x＝0;

（2）x2－2

x＝0；

（3）3x2－6x＝－3;（4）4x2－121＝0；（5）（x－4）2＝（5－2x）2.

点拨：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程右边化为__0__；

（2）将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；

（3）令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．

总结．

1.用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．

2.正确的因式分解是解题的关键．

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．

（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．

对应训练

1、用因式分解法解下列一元二次方程。

（1）、

（2）2y=3y2（3）、

（4）、

（5）、

（6）、

（7）8（3-x）2–72=0

8）、

（9）2（2x－1）－x（1－2x）=0

（10）3x（x+2）=5（x+2）（11）（1－3y）2+2（3y－1）=0

一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：

（2）配方法：

（3）因式分解法：

（4）公式法：

求根公式：

2把下列方程的最简洁法选填在括号内。

（A）直接开平方法（B）配方法（C）公式法（D）因式分解法

（1）7x-3=2x2（）

（2）4（9x-1）2=25（）（3）（x+2）（x-1）=20（）

（4）4x2+7x=2（）（5）2（0.2t+3）2-12.5=0（）（6）x2+2

x-4=0（）

说明:

一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。

其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。

3.将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。

（1）3x2=x+4

（2）（2x+1）（4x-2）=（2x-1）2+2

（3）（x+3）（x-4）=-6（4）（x+1）2-2（x-1）2=6x-5

说明：

将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。

4.阅读材料，解答问题：

材料：

为解方程（x2-1）2-5（x2-1）2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，然后设x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0①.解得y1=1,y2=4。

当y1=1时，x2-1=1即x2=2，x=±

.当y2=4时，x2-1=4即x2=5,x=±√5。

原方程的解为x1=

x2=-

x3=√5,

x4=-√5

解答问题：

（1）填空：

在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现_______的数学思想。

（2）解方程x4—x2—6=0.

用因式分解法解下列一元二次方程。

1、

2、

3、

4、

5、

6、

二、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、x2+4x-12=015、3x2+5（2x+1）=0

16、

17、

18、

．

19、

20、

作业

一、选择题

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=

，x2=

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x两边同除以x，得x=1

2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．

A．-

B．-1C．

D．1

二、填空题

1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．

3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

三、综合提高题

1．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0

（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

（5）10x-4.9x2=0（6）x（x-2）+x-2=0

（7）5x2-2x-

=x2-2x+

（8）（x-1）2=（3-2x）2

2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

3．今年初,某市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？

（其中a≥20m）．