高考人教A版数学理总复习学案10 函数的图象 高考.docx

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高考人教A版数学理总复习学案10函数的图象高考

学案10　函数的图象

导学目标：

1.掌握作函数图象的两种基本方法：

描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．

自主梳理

1．应掌握的基本函数的图象有：

一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．

2．利用描点法作图：

①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（__________、__________、__________）；④画出函数的图象．

3．利用基本函数图象的变换作图：

（1）平移变换：

函数y＝f（x＋a）的图象可由y＝f（x）的图象向____（a>0）或向____（a<0）平移____个单位得到；函数y＝f（x）＋a的图象可由函数y＝f（x）的图象向____（a>0）或向____（a<0）平移____个单位得到．

（2）伸缩变换：

函数y＝f（ax）（a>0）的图象可由y＝f（x）的图象沿x轴伸长（00）的图象可由函数y＝f（x）的图象沿y轴伸长（____）或缩短（________）为原来的____倍得到．（可以结合三角函数中的图象变换加以理解）

（3）对称变换：

①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；

②f（x）与f（－x）的图象关于____轴对称；

③f（x）与－f（x）的图象关于____轴对称；

④f（x）与－f（－x）的图象关于________对称；

⑤f（x）与f（2a－x）的图象关于直线________对称；

⑥曲线f（x，y）＝0与曲线f（2a－x,2b－y）＝0关于点________对称；

⑦|f（x）|的图象先保留f（x）原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；

⑧f（|x|）的图象先保留f（x）在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．

自我检测

1．（2009·北京）为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

2．（2011·烟台模拟）已知图1是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是

（　　）

A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|

C．y＝f（－|x|）D．y＝－f（－|x|）

3．函数f（x）＝－x的图象关于（　　）

A．y轴对称B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称D．直线y＝x对称

4．使log2（－x）

A．（－1,0）B．[－1,0）

C．（－2,0）D．[－2,0）

5．（2011·潍坊模拟）已知f（x）＝ax－2，g（x）＝loga|x|（a>0且a≠1），若f（4）·g（－4）<0，则y＝f（x），y＝g（x）在同一坐标系内的大致图象是（　　）

探究点一　作图

例1

（1）作函数y＝|x－x2|的图象；

（2）作函数y＝x2－|x|的图象；

（3）作函数

的图象．

变式迁移1　作函数y＝的图象．

探究点二　识图

例2

（1）函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图，

则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（　　）

（2）已知y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（1－x）的图象为（　　）

变式迁移2　

（1）（2010·山东）函数y＝2x－x2的图象大致是（　　）

（2）函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝x＋sinx

B．f（x）＝

C．f（x）＝xcosx

D．f（x）＝x·（x－）·（x－）

探究点三　图象的应用

例3

　若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．

变式迁移3　（2010·全国Ⅰ）直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

数形结合思想的应用

例

　（5分）（2010·北京东城区一模）定义在R上的函数y＝f（x）是减函数，且函数y＝f（x－1）的图象关于（1,0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2－2s）≤－f（2t－t2）．则当1≤s≤4时，的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

【答题模板】

答案　D

解析　因函数y＝f（x－1）的图象关于（1,0）成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f（x），即y＝f（x）的图象关于（0,0）对称，所以y＝f（x）是奇函数．又y＝f（x）是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝（x－1）2－1，

图象的对称轴为x＝1，

当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，

当t≥1时，有s≥t≥1，所以≤≤1；

当t<1时，

即s－1≥1－t，即s＋t≥2，

问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－≤<1.综上可知选D.

【突破思维障碍】

当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t<1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合的几何意义为点（s，t）和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．

【易错点剖析】

当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞）内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t<1及联想不起来线性规划．

1．掌握作函数图象的两种基本方法（描点法，图象变换法），在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质（如单调性、奇偶性等）解决问题．

2．合理处理识图题与用图题

（1）识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．

（2）用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2010·重庆）函数f（x）＝的图象（　　）

A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

2．（2010·湖南）用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f（x）＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为（　　）

A．－2B．2

C．－1D．1

3．（2011·北京海淀区模拟）在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是（　　）

4．（2011·深圳模拟）若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图象大致为

（　　）

5．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为（　　）

A．1B．－1C.D.

题号

1

2

3

4

5

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．为了得到函数y＝3×（）x的图象，可以把函数y＝（）x的图象向________平移________个单位长度．

7．（2011·黄山月考）函数f（x）＝的图象对称中心是________．

8．（2011·沈阳调研）如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．

（1）若水量V与水深h函数图象是下图的（a），则水瓶的形状是________；

（2）若水深h与注水时间t的函数图象是下图的（b），则水瓶的形状是________．

（3）若注水时间t与水深h的函数图象是下图的（c），则水瓶的形状是________；

（4）若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的（d），则水瓶的形状是________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）已知函数f（x）＝x|m－x|（x∈R），且f（4）＝0.

（1）求实数m的值；

（2）作出函数f（x）的图象；

（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；

（4）根据图象写出不等式f（x）>0的解集；

（5）求当x∈[1,5）时函数的值域．

10．（12分）（2011·三明模拟）当x∈（1,2）时，不等式（x－1）2

11．（14分）已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋（x>0）．

（1）若g（x）＝m有根，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

答案自主梳理

2．③奇偶性　单调性　周期性　3.

（1）左　右　|a|　上　下　|a|　

（2）a>1　a>1　0

自我检测

1．C　[A项y＝lg（x＋3）＋1＝lg[10（x＋3）]，

B项y＝lg（x－3）＋1＝lg[10（x－3）]，

C项y＝lg（x＋3）－1＝lg，

D项y＝lg（x－3）－1＝lg.]

2．C

3．C　[∵f（－x）＝－＋x＝－＝－f（x），

∴f（x）是奇函数，即f（x）的图象关于原点对称．]

4．A　[作出y＝log2（－x），y＝x＋1的图象知满足条件的x∈（－1,0）．]

5．B　[由f（4）·g（－4）<0得a2·loga4<0，∴0

课堂活动区

例1

　解　

（1）y＝

即y＝

其图象如图所示．

（2）y＝其图象如图所示．

（3）

作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分，

即得y＝|x|的图象．

变式迁移1　解　定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．

又当x≥0且x≠1时，y＝.

先作函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝（x≥0且x≠1）的图象（如图（a）所示）．

又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，

得y＝的图象（如图（b）所示）．

例2

　解题导引　对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（1）A[从f（x）、g（x）的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f（x）·g（x）是奇函数，排除B.又x<0时，g（x）为增函数且为正值,f（x）也是增函数，故f（x）·g（x）为增函数，且正负取决于f（x）的正负，注意到x→

（从小于0趋向于0），f（x）·g（x）→+∞，可排除C、D.］

（2）A［因为f（1-x）=f（-（x-1））,故y=f（1-x）的图象可以由y=f（x）的图象按照如下变换得到：

先将y=f（x）的图象关于y轴翻折，得y=f（-x）的图象，然后将y=f（-x）的图象向右平移一个单位，即得y=f（-x+1）的图象.］

变式迁移2　

（1）A　[考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：

当x<0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，

且

→－∞；

当x>0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，

且

→＋∞.]

（2）C　[由图象知f（x）为奇函数，排除D；

又0，±，±π为方程f（x）＝0的根，故选C.]

例3

　解题导引　原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．

方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．

解　原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点（1,0）时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由，得，x2－3x＋a＋3＝0，

由Δ＝9－4（3＋a）＝0，得a＝－.

由图象知当a∈[－1，－]时方程至少有三个根．

变式迁移3　（1，）

解析　y＝x2－|x|＋a＝

当其图象如图所示时满足题意．

由图知解得1

课后练习区

1．D　[f（x）＝2x＋2－x，因为f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．所以f（x）图象关于y轴对称．]

2.D　[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐标系中作出其图象，

如图，所以t＝1.]

3．D　[选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]

4．C　[函数y＝f（x）的图象与函数y＝－f（x）关于x轴对称，函数y＝－f（x）的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f（x＋1）的图象．]

5．B　[∵b>0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－>0，∴a<0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]

6．右　1

解析　∵y＝3×（）x＝（）x－1，

∴y＝（）x向右平移1个单位便得到y＝（）x－1.

7．（－1,2）

解析　∵f（x）＝＝＝2－，

∴函数f（x）图象的对称中心为（－1,2）．

8．

（1）A　

（2）D　（3）B　（4）C

9．解　

（1）∵f（4）＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………（2分）

（2）f（x）＝x|x－4|

＝………………………………………………（4分）

f（x）的图象如右图所示．

（3）由图可知，f（x）的减区间是[2,4]．……………………………………………………（8分）

（4）由图象可知f（x）>0的解集为

{x|04}．………………………………………………………………………（10分）

（5）∵f（5）＝5>4，

由图象知，函数在[1,5）上的值域为[0,5）．……………………………………………（12分）

10.

解　设f1（x）＝（x－1）2，

f2（x）＝logax，

要使当x∈（1,2）时，不等式（x－1）2

当0

当a>1时，如图，要使在（1,2）上，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的下方，只需f1

（2）≤f2

（2），

即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………（10分）

∴1

11．解　

（1）方法一　∵x>0，∴g（x）＝x＋≥2＝2e，

等号成立的条件是x＝e.

故g（x）的值域是[2e，＋∞），……………………………………………………………（4分）

因而只需m≥2e，则g（x）＝m就有根．…………………………………………………（6分）

方法二　作出g（x）＝x＋的图象如图：

……………………………………………………………………………………………（4分）

可知若使g（x）＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………（6分）

方法三　解方程由g（x）＝m，得x2－mx＋e2＝0.

此方程有大于零的根，故……………………………………………（4分）

等价于，故m≥2e.…………………………………………………（6分）

（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异的实根，即g（x）＝f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，

作出g（x）＝x＋（x>0）的图象．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1＝－（x－e）2＋m－1＋e2.

其对称轴为x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………（10分）

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，

g（x）与f（x）有两个交点，

即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．……………………………………………（14分）