中考数学专题突破六最短路径造桥选址问题.docx
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中考数学专题突破六最短路径造桥选址问题
专题六：
最短珞径一一造桥选址问题
【导例引入】
导例：
妇区1,已知正方形AECD边长犬3,点E在AB边上且BE=I，点P,Q分别是边BC,
CD的动点（均不与顶点重合〉，当四楚形AEI¾的周长収最小值时，四边形AEFQ的面枳定
【方法指引】
<1）如虱在直线1上找TbN两点5在左〉>使得AM-MlHwB最小>且MN-<>
方法；将点A向右平移於个单位到/,作"关于直线1的对称点连接A馆交直线/十点N，将点N冋左干移Cf个单位到Jb点JhN即为所衣丿此时AM∙+≡∙*NE最小为VB。
（2）如图∙IlIil2,4,4之间距离为，在S厶分别找取N两点.便得MNLzI.•且
AH-≡-⅛B最小。
方法：
将点A向下平移/个单位到A，,Ji^AZB交直线右于点N,将点N向上平移《/个单位到H八点嘉A即为所求，AM«4NEK最小值为AZB+do
<3）如图，•点P,Q在ZAoR内，分别在0A,OR上找点C,°D,使四功形Peg的周长悬小.
万法：
分别作P,Q关于OA,OB的对称点P',Q',连接P'Q'分别交OA,OB与点C,
D；则此时四边形Po2的周长最小
本质为转化思想：
<1）化同侧为异侧（对称变换）,
（2）平移這距离（平移变换〉，
（3）化折线为直线（两点之间线段最矩）
“将军枚问題主葵利用松造对称團形解决求两条线段和差、三角形周长、四辻形周长等一类最值冋题，会与直线、角、三角形、四边形、园、葩物线竽囹形结合，在近年的中老和宛龚中经常出現，而R犬多以圧轴题的形式出现。
【例题精讲】
奕型一：
网定点两劲点形成最短路径型
例1如團1,已⅛A（0,2）、B⅛4）,E（a,0）,F（a+15OL求a为何值时，四边形ARFF周V最小？
•青说冃贞里由•
【分析】匹边ABFE的四条边中，AB,EF的长皮固定，只要ABBF最小，则匹边形周长将取得黒小值，将B点向左平移一个虫位长（EF的长廃）,律到点M,再作A关于;T轴囱对称点屮,连按川N,可得点E的位罡，从而问题得解.
类型二：
两走点一定角形成最短路径型
例2.如團，在NPCq!
内却有两点听N,.Zmcp=Zscq.
⑴画图并简要说明画法：
在射线OP上取一点A,使点A到点M和点N的距离和最小;在射线OQ上取一点B,使点B到点H和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM+AN与+BH的大小关系.
Q
【分析］分别作JI关于射线OP的对称点Ir，点Ii关于射线CQ的对称点計,连接W连接JrN,即可得到笞案.
【专题过关】
1・如厨，在四边形A丈D中.ZC=50°、ZB=ZD=90φ,E,丁分别是BC,EC上的点，当
∆A1F的咼K最小时,Zeaf的度数先.
2•如国，正方形的ABCD的边长为6,E,F是对角线BD上的两个动点丄且’EF=
2√2,i⅛接CE,CF,则ACEF周长的最小值为•
3•在平面直角坐标系中，己知点A（-2,0），点B（0；4〉，点E（0,1），将
∆AE0τfiX轴向右平移得到∆AyEZOZ,连接AZB,BiZ,则当AZB+BE,取最小
值时，点EZ的坐标为•
4•直线I外夸一点D,点D到亘软I的品E离为5,在ZXABC中，ZABC=9□'；AB=6,
1
tanZCA3=3,边AB冬宜线I上涓动，则匹边形ABCD周长的最小值为.
5.如图，已知直线I1/∕l2,IXXI2之间的距畫为8,点P到直线h的距离为6,点Q到直线
b的距离为4,PQ-4√5U,在直线I】上有一动点A,直线H上有一动点、B,满足ABll2,且
PA+AR4flO最小,1⅛3寸PA-WQ=.
6如图，直线y=5x+5交X轴于点儿交y轴于点G过儿C两点的二次国数y=亦十
4z+c的图彖交；T轴于另一点公
（1）二次函数的解析式为；
（力连接BC,⅛Λ=线段厌上的动点，作购」X轴交二次函数的團象干点、0,求奘段妙长
度的最大值；
⑶若点〃为二次因数尸加十H卜C国象的顶点，点"（4,Q罡该二次固数囹象上一点，
在X紬，y轴上分别找点尺E,使四边形側的压长最小，求出点耳0的坐标•
7.矩形0A3C在直毎坐祈系•中的：
立1如图折示，AXC两点的坐标分别为A（6,0）、
3
C（OI3）,直线V=Lm与BC边相交于点D.
（1）求点P的坐标；
<2）若抛吻线ywQ÷bx经过D、A两点，试确左此1⅛物线的解析式；
⑶在
（2）中拋妆线的对称轴是否存在点P,便四边形ABF的同比最小，并求山最小佶;
8.如團，抛物线尸-*+k+c与X轴交于儿F两点'与井由交于点G点・0为坐标原爲点W为挞仞线的顶点，点E在抛物线上，点F在*轴上，四边形唁为矩形，目Or=2,BF=Z.
（D求抛物线的解析式，
⑵连接GS交&于点的连搂朋交OC于点％连按AC>求3久的咼K；
（3）设&（4,一5）在该挖韧线上，P^y轴上一动点，过点P作沁EF于点也连接胪，銘冋AP^P^itG是否有最小值？
如果目柬出点P的坐机如果沒有，请说明理由.
备用图
10.已知，如画,ι≡y=°e÷2λc-3fl（ff≠°）的同象的顶点、为〃，与尤轴交于儿
y=-jc^-j3
〃两点（方左川点右侧〉，点从B关于直线i:
3对称•
（1）求人E两点坐标，并迥月点/在直线/上；
<2）求二次函数解析式；
（G过点〃作育线BKIlAH交盲线/于K点，仏片分别沂育线肪和直线/上的两个动点,连接HN，≡,MK>>10（笛用）•在平面直角坐标系中，己知挖物线尸“+滋十乙经过点力（-3,0）、5（0,S）SC（IλO）二点.
（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
（2）若点只0分别是挖物线芯对称轴/上荷动点，且纨坐标分别为型八2,当四边形
护周壬最小吋，禾出此吋点只＜?
的坐标以及四边形（TW词长的最卜值•
例1•在四边形磁c^中.，A3,歹为定值，求庇•十疔的最小谊，先扌巴这两条线段纽1平移,使得两条线段有公共端点.
如图&-2,将线段少•向左平移两个单位，得到线段腕'•
加團6-3,作点川关于X牠的对称点",劇与2T轴的交点厉满足柘+般最小.WoES隅,得竺■竺•解方程£=叮（宀辺得g'.
CMrHB243
例2•
（1）囹略点A,B即为所求•画法:
①作点Jl关于射线OP的对称点M,J②连接
H'N交DP于点A;③作点N关于射线OQ的对称点∏'；如雀接N'M交CQ干点E.
⑵AK+AN=BH+BN・
Q
λf
【专题过关】
6
1.80°.2.4√5+2%rf2・3.（7,1）.4.18.
5.・
作PE丄h于E交卜于F,在PF上载取PC=8,连接QC交I?
于B,作BA丄I】于A,Ite寸
PA+AB⅛Q最短•作QD丄PF于D•
在Rt∆PQD中'VZD≡9Oo>PQ≡4√^bPD-18/
.∙.DQ=JPQ：
・PD»J4476,Tab=PC电AB"PG
/.iπ∣iΛ形ABe杲平讦PqW.Λpδ=bc,
6.（l）y=一x2+4x+5;
（2）如图①，
图①
•・・点E是二;欠的数的图家与对由的交点，・•・由二次因数的解护式为尸一£+4才一5得，点E的坐标£（5,0）,
询肓线％解析式为y=⅛τ÷⅛,T肓线比过点拭5,0）,处，5）,
5⅛+b-0ft--i
",解得2一，•••直线氏解析式龙y=-h5,
b=5∖b=5
设M的长为d,“点的横坐标为心则W点的坐标为（血-Z?
+5）,
/点的坐标为（Tb-M+4n+5），则d=I-∕t+4λ+5-（-?
?
+5）|・
左题竜可知：
-h+4n+5>-n+5j
5255
.*.tf=β∕γ+4λ+5~（一?
?
+5）=-斥+5/?
=—（?
?
一—）二+—>•:
当n=—H寸，线段M长
242
度的最Tdg是竺；
4
∣（3）∣v点M（4，励住抛物线y=--r+4^+5±.Λ>J=5,∕∙M4.5）•
∙.∙拋物线y=-r+4z+5=-（r-2）-+9,AJ^点坐标为M2,9）,
如图②，作点M2,9）关于F轴的对称点加,则点H∖的坐标为冰-2,9）;作点M-b5）关于∙r轴的对称点以,则点M的坐标为Jtfl（4,-5）,连接岗關分别交工柚于点Cy轴丁点E,：
MM、十塚的长度罡四边形加W的晟小周长'见点∖C戈印为所求的点•
9=-2w+λ輕得
-5=4w+n
设直线M撇的国数輕祈式为尸加+rυT直线鸟胎过点〃（一2，9），溜⑷一5），
3.713
，•・JZ——X十—・
1333
T
•••当□时,尸自即址坐标为（。
和当尸冏尸知即点吐标为
（字。
.故所求点"的坐标分别为吟®（。
邸.
3
7.（I）由题知，直线尸.与为交于点D（X,3）.
3
把尸3代入舟X中得，X=I,ΛD（4.13〉；
⑵抛物线y=ax2+bx经过D（4s3）、A（6l0）两点，
扌EXT尸3;x=6,/=OI分别代入尸ax+>x中，得
3
Q=——
8
I939
b===OT
4••・抛物线的解析式为尸-8χS4χ;
fl6α+4b=3》36α+66=0.
腿得
⑶如囹1：
作D<4,3）点关于对称轴κ=3的对称点匚<2τ3）I连按A匚交对称轴于点
2
4
b_939399
能得【耳直绫A三的解析式为y=-4x+2当X二3时，y=-4×3÷2jβ]p（3|¾.
匹边形AB尸周长的最小值二AB+DB+DP÷AXAB÷DB+AE=3+2÷√B'十BDn+2∙5=10.
8.如臥抛物线y=-F+k+c与工轴立于儿8两点'与y轴交于点G点0为坐标原点，煌卫龙抛物线的顶晟点、F在抽物线上，点"在卄由上，四边形血F为矩形’旦OF=2,硏=3∙
⑴朮抛物线的解忻式,
⑵连接CS交歹于点鵡连揍M交兀于点£，连接AC,求ZLO8的周长；
（3）设£7（4,-5）在该抛槪处，P足卩轴上一幼点，过点尸作刃丄歹于点也连接λP,笳问AP+PH+HG罡否有最小值？
如果有，求出点P空坐示；如果没有，谴说明理¢.
斛（I）T四边形阿为矩形，0F=2,EF=,
.∙.C点坐标为（0,3）,E点坐标为（2,3）•
∫-4+2b+c=3>将G氏点坐标代入抛物线解析式尸-h+E+c得：
（心3・
fh=2>
解得］c=3.••別物线的解析式为：
尸-疋+2疋+3;
@由⑴得y=--r+2x÷3,令y=5得一xc+2r+3=0.解得¾=-l∕忑=3∙・•/（一1,O）,A3,0）•
V∕⅜7~l^C（FZZ>在Rt^（T中，
AC=JoA2+o∕=√πj.∖τυ=w=3,
ΛZα?
C=Z∞=45φ…Ht=Sf=\・
ROAORO1
團①
5-35『3-=一一αVK
则当P在"处时，曼胪+倍+如最小，∙∙∙"ħ毎巾点，••・"坐标为⑴0）・设直线府&的解析式为y=⅛r+a,
（∖k+α■-5»
将点G（Af一5）,"（1,0）分别代入,得〔λ+o=0.解得
551055
.••宜线川&的解忻式为：
z=-3x+3.^∙j=2,得y=-3^+3=-3,
55
••・点〃的坐标为⑵-了）••••符合題意的魚P的坐标为（0,-3）.
9.
（1）依题亀得ay+2aχ-3a=0（a≠O）,解得Xl=-3，i：
=b
TB点在人点右⅜J,.*.A°坐标为（-3,0），B点坐机为
（1）0）
y=-xv^3
证明：
•••宜线X3,
y=—×（-3）+>^
当κ-3时，3=0,二点A存貢线1上
y卫“吕
（2）B关于过A点的宜线1：
3对称，
.∙.AH=AB=4.
1
过顶点H作HC丄AB交AB于C点，则人0=弘吕2・HC=2Λ•••顶点H（-l,M）,
代入二次困数鮭析式，解得Nhy
y=■虽辰巫•・•二次国数解析式为22；
<3）直线朋爪解祈I^Jr=√5x+3√5・
JF=TX,解得jr=>⅛-√5
则BR4J：
煤、H、B关于直线M对称，K（32j）,∙∙∙册购菸最小值是般
过才作iW±x⅛于点Λ惟点水关于直线皿的对称点Q
连接g交宜絃加于点爲JO>=J□P=2√5,则站維,Q&肛∙2*,AELQK>
・•・根抿两点N间线段最短得出附撤的最小值是BQ,即滋的长®JW+M+M的最小值,
^EKlIAHy.••厶炖=QtfSg0。
.
由勾脸走理得QBN+凶■R+（2∕+2√5/■8,
・•・加√斛酬的最小值为8.
・•・拥物线的解析式为尸一*一2小3=-（工+1）2+4,即顶点•坐标为（"I,4）；
（2）如解图②，将坎点冋下平移两个单位，得DO、,连接砂交对称轴于点P，作
SQRPD交对称轴于Q乩
9：
FOlIEDf£011PDf/.四边形砂J是平行囚边形.
二斫切,铝他=2；BQ七奇叭AmA
由勾脸定理，得AD=^AOZ^0Dγ=√32+IZ=√Γ0,EC=JoC：
+0B：
=J*3：
=∖T0β
••・四边形CBQF^长的最小值为BC弋QPQ七PT=BCVR十侦十PC）=Q尺HAD=√∏>+2+√rD=2√ro+2.
设肋的劇析式为y=H+b,将/,0点坐标代入得，
Γ-3*÷b=O解得卜=；.•.至"的解析式为y=3r+ι.
少八U=I
22
当τ=-ly=L7（-1,3）.
8
由∖PQ∖=2f且G点纵坐标大于P点纵坐标得«-1,3）,
28
故当四边形CBQP周长彊小时，点P的坐标为（-1,3）,点α的坐标为（一］,3）,四边形CgQP周长的最小值是27，+2・
118-.∕12+（I）2世
解得砖亍∙∙∙∙CQQOz=3-亍=3佃=Qfrr丽=∖∣$=3,
8√∏8+4√ΠI
:
AACR的周长为：
"+啟十〃=风+亍+丁=—3—；
■V111解冈①P取加中点川■连接”&交直线亦的延壬线于点松过点方作UP,丄y轴于点P〉连接∕P∙.
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