第26讲追及问题1习题导学案教案奥数实战演练习题.docx
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第26讲追及问题1习题导学案教案奥数实战演练习题
学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：
四年级
课时数：
3
学员姓名：
辅导科目：
数学
学科教师：
授课主题
第26讲-追及问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1.根据“路程和＝速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题
2.通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：
追及路程=速度差×追及时间，即
例如：
假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米
例1、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？
当爸爸追上小明时他们离家多远？
【解析】
当爸爸开始追小明时，小明已经离家：
70×12=840（米），
即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，
我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，
他们之间的距离就缩短280-70=210（米），也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210（米/分）,
爸爸追及的时间：
840÷210=4（分钟）．当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16（分钟），
此时离家的距离是：
70×16=1120（米）
例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？
（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；
哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？
40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.
例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？
这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
【解析】
（1）4小时后相差多少千米：
（340-300）×4=160（千米）．
（2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：
160÷2+340=420（千米）．
例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，
在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2=12（分钟）．
李华在这段时间比王芳多走：
70×12=840（米），
速度差为：
110-70=40（米/秒），
王芳追上李华的时间是：
840÷40=21（分钟）
例5、两地相距米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？
【解析】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．
当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，
把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，
就是共同经过的时乙到达目标时所用时间：
（分钟），
甲9分钟走的路程：
（米），
甲距目标还有：
（米），
相遇时间：
（分钟），
共用时间：
9+1=10（分钟）．
例6、龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：
“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题：
它们谁胜利了？
为什么？
【解析】
（1）乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要（分钟）就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要（分钟）才能到达，所以乌龟胜利了．
（2）乌龟跑到终点还要（分钟），而小兔跑到终点还要（分钟），慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：
（米）．
例7、小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，
小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，
据此可求出他们的速度差为（米/秒）；
若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，
在这个过程中，追及时间为6秒，
根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，
这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，
路程差就等于（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，
所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．
综合列式计算如下：
小蓝的速度为：
（米/秒），
小红的速度为：
（米/秒）
例8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【解析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.
假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，
A每小时行10千米，下午1点到；
B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），
这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），
所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.
由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）
.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，
刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．
例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。
两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都是30米/分。
甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。
山道长多少米。
【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走（分钟）后可以返回山顶，
如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，
所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，
也就是距离山脚还有（米），
所以山顶到山脚的距离为（米）。
例10、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口．甲在路口南边560米的点，乙在路口．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距的距离恰又相等．问：
甲、乙二人的速度各是多少？
【解析】本题总共有两次距离相等，
第一次：
甲到的距离正好就是乙从出发走的路程．
那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：
（米/分）。
第二次：
两人距的距离又相等，只能是甲、乙走过了点，
且在点以北走的路程乙走的总路程．
那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了（分钟），
两人的速度差：
（米/分），
甲速乙速，显然甲速要比乙速要快；
甲速乙速，解这个和差问题，
甲速（米/分），乙速（米/分）．
例11、早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨_________出发．
【解析】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：
两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：
小王再有一小时就可走完全程，
在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走15+30千米，
故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．
全程是（千米），（小时），即上午10点出发．
例12、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
先画图如下：
【解析】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.
而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：
（26-6）=20（分）。
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.
即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.
所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），
由此可求出A、B间的距离。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），
（80+50）×6＝130×6=780（米）
P（Practice-Oriented）——实战演练
Ø课堂狙击
1、哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
【解析】哥哥出发的时候弟弟走了：
（米），
哥哥追弟弟的追及时间为：
（分钟），
所以家离学校的距离为：
（米）.
2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行千米，开出小时后，一辆快车以每小时千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
【解析】慢车先行的路程是：
（千米），
快车每小时追上慢车的千米数是：
（千米），
追及的时间是：
（小时），
快车行至中点所行的路程是：
（千米），
甲乙两地间的路程是：
（千米）．
3、六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走米，分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
【解析】同学们15分钟走（米），即路程差．
然后根据速度差＝路程差÷追及时间，
可以求出李老师和同学们的速度差，
又知道同学们的速度是每分钟米，
就可以得出李老师的速度．即（米）．
4、甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：
乙经过多长时间能追上甲？
【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），
即两人的速度的差（简称速度差），
所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.
10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。
5、小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？
【解析】本题可用追及问题思路解题，类比如下：
路程差：
小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），
速度差：
（份/分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时，
小王所用时间，即追及时间是（分钟）．
共整理报纸：
（份）
6、甲、乙两车同时从地向地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回地；到达地后又立即向地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达地，求、两地的路程．
【解析】根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，
那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，
而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间，由此可以求出、两地的路程,
追及路程为：
（千米）,
追及时间为：
（小时）,
、两地的路程为：
（千米）.
Ø课后反击
1、上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
【解析】由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为（米/分），
乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了（米），
还剩（米），需要（分钟）就可以到达终点，
而兔子到达终点需要的时间是：
（分钟），
所以，兔子和乌龟同时到达终点．
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
方法一：
根据题意，画出线段示意图：
【解析】从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．
先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，
即（千米）
3、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：
甲、乙二人的速度各是多少？
【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，
据此可求出他们的速度差为（米/秒）；
若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，
因此路程差就等于（米），也即乙在2秒内跑了8米，
所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．
综合列式计算如下：
乙的速度为：
（米/秒），
甲的速度为：
（米/秒）
4、甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以，
甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，
乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
由图可知，甲跑（米），乙跑（米），
所以当乙跑（米）时，甲跑：
（米），
即当乙跑到终点时，甲离终点还有（米）
5、小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求往返都骑车所需的时间是多少？
【解析】一个单程步行比骑车多用70-50=20（分钟），
骑车单程（50-20）÷2=15（分钟），
往返骑车的时间15×2=30（分钟）．
6、八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？
【解析】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：
255÷（45+40）=3（小时）．
悟空：
（千米），八戒：
（千米）．
1、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶。
甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。
由上可知，乙车每小时行驶_____千米（假设乙车的行驶速度保持不变）。
（2005年，希望杯，第三届，四年级，二试）
【解析】利用追及路程一样有，5×（60-乙速）=3×（70-乙速），解得乙速=45千米/小时
（Summary-Embedded）——归纳总结
追及问题：
同时不同地：
前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：
前者所用时间-多用时间=追这所用时间；
追及路程÷速度差=追及时间
追及路程÷追及时间=速度差
速度差×追及时间=追及路程
追及路程÷速度差=追及时间
追及路程÷追及时间=速度差
速度差×追及时间=追及路程
Ø本节课我学到了
Ø我需要努力的地方是
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