高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理.docx
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高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理
2019年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题理
一、基础小题
1.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
答案 D
解析 由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．
2.如图是张大爷晨练时离家的距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
答案 D
解析 根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.
3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（ ）
A．7B．8
C．9D．10
答案 C
解析 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2（k－1）][60－3（k－1）]＝－6k2＋108k＋378（1≤k≤10，k∈N），配方可得y＝－6（k－9）2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.
4．2003年至2015年某市电影放映场次（单位：
万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）
A．f（x）＝ax2＋bx＋cB．f（x）＝aex＋b
C．f（x）＝eax＋bD．f（x）＝alnx＋b
答案 D
解析 由题可得，这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A，f（x）＝ax2＋bx＋c，取a>0，－<0，可得满足条件的函数；对于B，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于C，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于D，a>0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征，当a<0时，为单调递减函数，不符合图象的特征，当a＝0时，显然不满足．故选D.
5．f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）>g（x）>h（x）B．g（x）>f（x）>h（x）
C．g（x）>h（x）>f（x）D．f（x）>h（x）>g（x）
答案 B
解析 画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈（4，＋∞）时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g（x）>f（x）>h（x）．
6.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）
A．40万元B．60万元
C．120万元D．140万元
答案 C
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20（万份），在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40（万元），乙4元时该商人买入乙商品，可以买（120＋40）÷4＝40（万份），在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80（万元），共获利40＋80＝120（万元），故选C.
7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．y＝2x－2B．y＝（x2－1）
C．y＝log3xD．y＝2x－2
答案 B
解析 把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y＝（x2－1）．
8．某工厂6年来生产某种产品的情况是：
前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系用图象表示，则正确的是（ ）
答案 A
解析 因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.
9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：
元）分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000（其中x为销售辆数），若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．11000元B．22000元
C．33000元D．40000元
答案 C
解析 设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售（110－x）辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300（110－x）－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5（x－60）2＋33000，∴当x＝60时，有最大利润33000元，故选C.
10．已知某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：
m2）与时间t（单位：
月）的关系式为y＝at，其图象如图所示，现有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③④
C．②③④⑤D．①②⑤
答案 D
解析 因为点（1,2）在图象上，所以这个指数函数的底数是2，即①正确；因为函数y＝2t在R上单调递增，且当t＝5时，y＝32，所以②正确；当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后y＝23.5<12，所以③错误；由图可知，2月面积增加2m2，而3月面积增加4m2，所以④错误；因为2＝2t1，3＝2t2,6＝2t3，所以t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，又1＋log23＝log22＋log23＝log26，所以⑤正确，故选D.
11．某食品的保鲜时间t（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系式t＝且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是________．
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鲜时间t（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系式t＝且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－，∴t＝
二、高考小题
12．[2016·四川高考]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
答案 B
解析 设第n（n∈N*）年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130（1＋12%）n－1>200，则lg[130（1＋12%）n－1]>lg200，∴lg130＋（n－1）lg1.12>lg2＋2，∴2＋lg1.3＋（n－1）lg1.12>lg2＋2，∴0.11＋（n－1）×0.05>0.30，解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.
13．[2015·高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
14.[2015·陕西高考]如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：
m）的最大值为（ ）
A．5B．6
C．8D．10
答案 C
解析 因为函数y＝3sin＋k的最小值为2，所以－3＋k＝2，得k＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8（m），选C.
15．[2014·湖南高考]某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A．B．
C．D．－1
答案 D
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a（1＋p）（1＋q）．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a（1＋x）2＝a（1＋p）（1＋q），由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x＝－1，故选D.
16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：
元）．
答案 160
解析 设底面长为xm，宽为m，造价为y元，y＝4×20＋2×10＝80＋20x＋≥80＋2＝160，当且仅当20x＝，即x＝2时，等号成立，所以最低总造价为160元．
17．[2014·湖北高考]某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比
（1）中的最大车流量增加________辆/小时．
答案
（1）1900
（2）100
解析
（1）当l＝6.05时，F＝，
∴F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．
∴最大车流量F为1900辆/小时．
（2）当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2000，
当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．
∴最大车流量比
（1）中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．
三、模拟小题
18．[2017·宁德期末]某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q（x）（台）进行统计，得数据如下：
x（月份）
1
2
3
4
5
Q（x）（台）
6
9
10
8
6
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q（x）（台）与时间x（月份）变化关系的模拟函数是（ ）
A．Q（x）＝ax＋b（a≠0）
B．Q（x）＝a|x－4|＋b（a≠0）
C．Q（x）＝a（x－3）2＋b（a≠0）
D．Q（x）＝a·bx（a≠0，b>0且b≠1）
答案 C
解析 观察数据可知，当x增大时，Q（x）的值先增大后减小，且大约是关于Q（3）对称，故月销售量Q（x）（台）与时间x（月份）变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.
19．[2017·深圳模拟]某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份（ ）
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案 A
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a>0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝，因为y－y＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
20．[2016·江苏泰州模拟]某种电子元件的成本前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的成本与原来的成本比较，变化情况是（ ）
A．减少7.84%B．增加7.84%
C．减少9.5%D．不增不减
答案 A
解析 设该元件原来的成本为a，则有a（1＋20%）2×（1－20%）2＝0.9216a，×100%＝7.84%.故选A.
21．[2016·湖北八市联考]某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：
mg/L）与过滤时间t（单位：
h）之间的函数关系为P＝P0e－kt（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．（ ）
A．hB．h
C．5hD．10h
答案 C
解析 设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae－5k，所以5k＝ln10.设th后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥ae－tk，所以tk≥2ln10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5（h）才可以排放．
22．[2016·武昌调研]某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：
元/100kg）与上市时间t（单位：
天）的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求得：
（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
（2）最低种植成本是________元/100kg.
答案 120 80
解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四个函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝at2＋bt＋c描述．根据题意得Q＝a（t－120）2＋m，将表中数据代入可得则所以Q＝0.01（t－120）2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.
一、高考大题
1.[2015·江苏高考]某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？
求出最短长度．
解
（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5,40），（20,2.5）．
将其分别代入y＝，
得解得
（2）①由
（1）知，y＝（5≤x≤20）,
则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，
y′＝－，
则l的方程为y－＝－（x－t），
由此得A，B.
故f（t）＝
＝，t∈[5,20]．
②设g（t）＝t2＋，则g′（t）＝2t－.
令g′（t）＝0，解得t＝10.
当t∈（5,10）时，g′（t）<0，g（t）是减函数；
当t∈（10，20）时，g′（t）>0，g（t）是增函数．
从而，当t＝10时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝300，此时f（t）min＝15.
故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
二、模拟大题
2.[2016·湖北鄂州月考]如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出该函数的定义域；
（2）求矩形BNPM面积的最大值．
解
（1）作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝（8－y）米，EQ＝（x－4）米．
因为△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10.易知定义域为{x|4≤x≤8}．
（2）设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S（x）＝xy＝x＝－（x－10）2＋50，
因为当x∈[4,8]时，S（x）单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，所以矩形BNPM的面积的最大值为48平方米．
3．[2017·江苏无锡模拟]某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①f（x）＝p·qx；②f（x）＝px2＋qx＋1；③f（x）＝x（x－q）2＋p（以上三式中p，q均为常数，且q>1）．
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）?
（2）若f（0）＝4，f
（2）＝6，求出所选函数f（x）的解析式（注：
函数定义域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推）；
（3）在
（2）的条件下研究下面课题：
为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
解
（1）因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f（x）＝x（x－q）2＋p.
（2）对于f（x）＝x（x－q）2＋p，
由f（0）＝4，f
（2）＝6，可得p＝4，（2－q）2＝1，
又q>1，所以q＝3，
所以f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5）．
（3）因为f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5），
所以f′（x）＝3x2－12x＋9，
令f′（x）<0，得1所以函数f（x）在（1,3）内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．
4．[2017·河南洛阳月考]为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：
万美元）：
年固定成本
每件产品的成本
每件产品的销售价
每年可最多生产的件数
甲产品
20
a
10
200
乙产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．
（1）写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x（x∈N*）之间的函数关系式；
（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；
（3）如何决定投资可使年利润最大．
解
（1）y1＝（10－a）x－20（1≤x≤200，x∈N*），
y2＝－0.05x2＋10x－40（1≤x≤120，x∈N*）．
（2）∵10－a>0，故y1为增函数，
∴当x＝200时，y1取得最大值1980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为（1980－200a）万美元．
y2＝－0.05（x－100）2＋460（1≤x≤120，x∈N*），
∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．
（3）为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：
由
（2）知生产甲产品的最大年利润为（1980－200a）万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，
（1980－200a）－460＝1520－200a，且6≤a≤8，
当1520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；
当1520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；
当1520－200a<0，即7.6
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