高等数学微积分答案.docx
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高等数学微积分答案
高等数学微积分答案
【篇一：
大一高数微积分下册答案】
6.1~6.2定积分的概念、性质
一、填空题
1、设f（x）在[a,b]上连续，n等分[a,b]:
a?
x0?
x1?
?
?
xn?
1?
xn?
b，并取小区间左端点xi?
1，作乘积f（xi?
1）?
2
b?
an
n
，则lim
n?
?
?
i?
1
1
f（xi?
1）?
b?
an
?
?
?
2
ba
f（x）dx
.
2、根据定积分的几何意义，?
xdx?
2
，?
?
x?
，
?
?
?
?
sinxdx?
.
b
3、设f（x）在闭区间[a,b]上连续，则?
f（x）dx?
a?
ba
f（t）dt?
0.
二、单项选择题
1、定积分?
ba
f（x）dx（c）.
（a）与f（x）无关（b）与区间[a,b]无关（c）与变量x采用的符号无关（d）是变量x的函数2、下列不等式成立的是（c）.（a）?
x2dx?
12
?
21
xdx（b）?
lnxdx?
1
3
2
?
21
（lnx）dx
2
（c）?
xdx?
1
?
10
ln（1?
x）dx（d）?
edx?
ba
1
x
?
1
（1?
x）dx
3、设f（x）在[a,b]上连续，且?
f（x）dx?
0，则（c）.
（a）在[a,b]的某小区间上f（x）?
0（b）[a,b]上的一切x均使f（x）?
0（c）[a,b]内至少有一点x使f（x）?
0（d）[a,b]内不一定有x使f（x）?
04、积分中值公式?
f（x）dx?
f（?
）（b?
a）中的?
是（b）.
ab
（a）[a,b]上的任一点（b）[a,b]上必存在的某一点
59
（c）[a,b]上唯一的某一点（d）[a,b]的中点5、
ddx
a
?
b
ba
arctanxdx?
（d）.
析：
?
arctanxdx是常数（a）arctanx（b）
11?
x
2
（c）arctanb?
arctana（d）0
?
?
6、
设i1?
?
40
xxd,i
2
?
?
3
?
?
4
sinxdx
2
，则i1,i2,3i的关系为（a）i1?
i2?
i3（b）i2?
i1?
i3（c）i3?
i1?
i2（d）i1?
i3?
i27
、设i?
?
10
4
x，则i的值（a）.
（a）0?
i?
14
（b）
15
?
i?
1（c）
16
?
i?
15
（d）i?
1
析：
f（x）?
?
0,1
?
上的最大值是
20
2
2
，最小值是0
，所以0?
i?
.
三、估计定积分i?
解记f（x）?
ex
2
?
e
x?
x
dx的值.
x?
x
2
?
x
x?
[0,2]，则f?
（x）?
（2x?
1）e，令f?
（x）?
0，得x?
12
.
?
?
1?
2
因为f?
?
?
e4,f（0）?
1,f
（2）?
e2，所以f（x）在[0,2]上的最大值为e，最小值为
?
2?
1
e
?
14
，从而2e
?
14
?
i?
?
20
e
x?
x
2
dx?
2e.
1
ba
2
四、设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且
存在一点?
?
（a,b），使得f?
（?
）?
0.
?
b?
a
f（x）dx?
f（b）.求证：
至少
证明由积分中值定理，存在一点?
?
[a,b]，使得?
f（x）dx?
f（?
）（b?
a），即
a
b
60
1b?
a
?
ba
f（x）dx?
f（?
）.又由题设可知，f（x）在[?
b]上连续，在（?
b）内可导，且有
f（?
）?
f（b），根据罗尔定理，存在一点?
?
（?
b）?
（a,b），使得f?
（?
）?
0.
6.3微积分的基本公式
一、填空题
1
、若f（x）?
2
、
ddx
x3
2
?
x0
2
tt，则f?
（x）?
22x3
.
?
x
?
?
.
3、极限lim
?
41
x0
sin3tdt
?
x?
0
1?
cosx
352
1?
1
.
4、定积分?
x?
2x?
.
5、设f（x）?
?
?
x,x?
0
?
sinx,x?
0
2
，则?
f（x）dx?
cos1?
12
.
dydx
6、由方程?
etdt?
y
?
x0
costdt?
0所确定的隐函数y?
y（x）的导数?
?
cosx
e
y2
.
7、设f（x）是连续函数，且?
11?
x
2
10
x3?
1
f（t）dt?
x，则f（7）?
112
.
8、设f（x）?
1
?
x
3
?
f（x）dx，则
?
10
f（x）dx?
1
?
3
.
10
析：
设?
f（x）dx?
a，则等式两端同时积分得?
f（x）dx?
0?
11?
x
2
dx?
?
10
x?
adx
3
a?
arctanx|0?
a?
1
14
?
34
a?
?
4
a?
?
3
.
x
xb
9、设f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（x）?
0，则方程?
f（t）dt?
a
?
1f（t）
dt?
0在开
区间（a,b）内有1个实根.
61
析：
设f（x）?
?
xa
f（t）dt?
?
ab
xb
1f（t）1
dt，则有
f（a）?
?
f（t）
dt?
0,f（b）?
?
ba
f（t）dt?
0,
由根的存在定理知至少有存在一个?
?
?
a,b?
使得f（?
）?
0；
若方程有两个根，不妨设?
1,?
2即f（?
1）?
0,f（?
2）?
0,则由罗尔定理知,?
?
?
?
a,b?
使得f?
（?
）?
0,即使得f（x）?
所以方程又且只有一个根.
1f（x）
?
0成立，这与f（x）?
0矛盾，
二、单项选择题
1、下列积分中能用微积分基本公式的只有（c）.（a）?
1?
1
dxx
（b）?
1
e
3
dxxlnx
（c）?
1?
?
1?
2、设f（x）?
?
x?
a
x
2
xa
f（t）dt，其中f（x）是连续函数，则limf（x）?
x?
a
（a）a2（b）a2f（a）（c）0（d）不存在
1?
cosx0
3、设f（x）?
?
sintdt,g（x）?
2
x
5
5
?
x
6
6
，则当x?
0时，f（x）是g（x）的（b）.
（a）低阶无穷小（b）高阶无穷小（c）等价无穷小（d）同阶但不等价无穷小
f（x）g（x）
x0
析:
lim
x?
0
?
lim
?
1?
cosx0
sintdt?
x
6
2
x?
0
x
5
x4
4（）?
x?
lim4?
0.5
x?
0x?
x
56
三、求lim
?
t（e?
1）dtxsinx
2
t
x?
0
.
解根据洛必得法则，得
62
lim
?
x0
t（e?
1）dtxsinx
2
t
x?
0
?
lim
?
x0
t（e?
1）dtx
3
t
x?
0
?
lim
x（e?
1）3x
2
x
x?
0
?
lim
x
22
x?
0
3x
?
13
.
四、求函数i（x）?
2
?
x0
te
?
t
2
dt的极值.
2
2
2
解i?
（x）?
xe?
x，i?
?
（x）?
e?
x?
xe?
x（?
2x）?
?
1?
2x2?
e?
x.令i?
（x）?
0，得驻点x?
0,又i?
?
（0）?
1?
0，所以x?
0是i（x）得极小值点，极小值为i（0）?
0.
五、
求?
x.
解
?
x?
?
?
x?
?
?
x
?
2
?
?
20
sinx?
cosxx?
?
?
cosx?
sinx?
dx?
?
?
?
sinx?
cosx?
dx
40
4
?
?
?
?
sinx?
cosx?
4
?
?
?
cosx?
sinx?
2
?
2.
?
4
六、已知?
（x?
t）f（t）dt?
1?
cosx，证明：
?
x
?
20
f（x）dx?
1.
证明原式可化为x?
两边对x求导，得?
令x?
?
2
?
x0
f（t）dt?
?
x0
tf（t）dt?
1?
cosx，
x0
x0
f（t）dt?
xf（x）?
xf（x）?
sinx，即?
?
2
?
f（t）dt?
sinx，
，得?
20
f（t）dt?
sin
?
1，即?
20
f（x）dx?
1.
6.4定积分的换元积分法
一、填空题
1、设f（x）在区间[?
a,a]上连续，则?
2
、?
91
a?
a
x[f（x）?
f（?
x）]dx?
0?
12
2
1200
.
x?
2ln2
.3、?
（2x?
1）dx?
99
.
63
【篇二：
大学高等数学（微积分）下期末考试卷（含答案）】
学院：
专业：
行政班：
姓名：
学号：
座位号：
----------------------------密封--------------------------
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末
的括号中，本大题分4小题,每小题4分,共16分）1、设liman?
0，则级数
n?
?
?
a
n?
1
?
n
（）；
a.一定收敛，其和为零b.一定收敛，但和不一定为零
c.一定发散d.可能收敛，也可能发散
?
?
?
?
2、已知两点a（?
2,?
4,?
7）,b（4,?
6,?
4），与ab方向相同的单位向量是（）；
623623a.（,,）b.（,?
）
777777623623c.（?
,?
）d.（,?
?
）
7777773、设y?
?
x3
x2
f（t）dt，则dy?
（）；
dx
a.f（x）b.f（x3）?
f（x2）c.f（x3）?
f（x2）d.3x2f（x3）?
2xf（x2）4、若函数f（x）在（a,b）内连续，则其原函数f（x）（）a.在（a,b）内可导b.在（a,b）内存在
c.必为初等函数d.不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上,本大题分4小题,每小题4分,共16分）1、级数?
n?
1
必定____________（填收敛或者发散）。
nn?
1
?
2、设平面x?
by?
z?
2?
0通过点p（0,1,0），则b?
3、定积分?
x2sinxdx?
_。
?
11
f2（x）
?
__________。
4、若当x?
a时，f（x）和g（x）是等价无穷小，则lim
x?
ag（x）
三、解答题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
1、（本小题7分）求不定积分?
xsinxdx
2、（本小题7分）
若f（x）?
x?
x?
0），求?
f（x2）dx。
3、（本小题7分）
1?
xdy
已知函数y?
arctan，求。
1?
xdx
4、（本小题7分）
1
将函数f（x）?
展开为（x?
1）的幂级数。
3x?
2
四、解答题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、（本小题7分）
计算?
81
。
2、（本小题7分）
（?
1）n?
1（3x）n
求幂级数?
的收敛区间。
nn?
1
?
3、（本小题7分）
设?
[f（x）?
f（x）]sinxdx?
5,f（?
）?
2，求f（0）。
?
4、（本小题7分）
【篇三：
高等数学微积分期末试卷及答案】
1?
1.设f（x）?
2cosx,g（x）?
（）sinx在区间（0）内（ ）。
22
Ａf（x）是增函数，g（x）是减函数
bf（x）是减函数，g（x）是增函数
c二者都是增函数
d二者都是减函数2、x?
0时，e2x?
cosx与sinx相比是（ ）
Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点
４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）
1n?
axn?
（?
1）n?
bxn?
sinn2
11cxn?
n（a?
1）dxn?
cosan1x
5、若f（x）在x0处取得最大值，则必有（ ）
Ａf＇（x0）?
obf＇（x0）?
o
cf＇（x0）?
0且f（x0）0df（x0）不存在或f（x0）?
0
6、曲线y?
xex（ ）
Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线
Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线
1~6ddbdbd
一、填空题
（1）
1１、（ ）＝ddxｘ+1
12、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：
ｘ
ｘ２３、函数ｙ＝ｘ的反函数及其定义域与值域分别是：
２＋１
２ｘ?
ax?
b５、若lim２?
2,则a,b的值分别为：
x?
１ｘ＋2x-3
1inx?
1;2y?
x3?
2x2;3y?
log2x,（0,1）,r;4（0,0）1?
x
（x?
1）（x?
m）x?
m1?
m?
lim?
?
2x?
1x?
15解：
原式=（x?
1）（x?
3）x?
34
?
m?
7 ?
b?
?
7,a?
6lim
二、判断题
1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）
2、limsinx在区间（?
?
，?
?
）是连续函数（）x?
0x
3、f（x0）=0一定为f（x）的拐点（）
4、若f（x）在x0处取得极值，则必有f（x）在x0处连续不可导（）
5、设函数ｆ（x）在?
0,1?
上二阶可导且
f（x）?
0令a?
f（0），b?
f
（1）,c?
f
（1）?
f（0）,则必有abc（）
1~5fffft
三、计算题
1
1用洛必达法则求极限limxexx?
022
1
1exex（?
2x?
3）x2?
lim?
lime?
?
?
解：
原式=limx?
0x?
0x?
0?
2x?
3
x2
2若f（x）?
（x?
10）,求f（0）341
f（x）?
4（x3?
10）3?
3x2?
12x2（x3?
10）3
解：
f（x）?
24x?
（x?
10）?
12x?
3?
（x?
10）?
3x?
24x?
（x?
10）?
108x（x?
10）33232233432
?
f（x）?
0
4
3求极限lim（cosx）x
x?
0
4
解：
原式=limexx?
0incosx2?
ex?
0limxincosx4
1（?
sinx）4
incosx?
tanx?
xlim2incosx?
lim?
lim?
lim?
lim?
?
22x?
0x
x?
0x?
0x?
0x?
0xxxx
2224
?
原式?
e?
2
4求y?
（3x?
511解：
iny?
in3x?
?
inx?
1?
inx?
2322
1531111y?
?
?
?
?
?
y33x?
12x?
12x?
2y?
（3x?
53tan?
xdx511?
?
?
?
3x?
12（x?
1）2（x?
2）?
解：
原式=?
tan2xtanxdx?
?
（sec2x?
1）tanxdx
=?
sec2xtanxdx?
?
tanxdx
sinx =?
tanxdtanx?
?
dxcosx
1 =?
tanxdtanx?
?
dcosxcosx
1 =tan2x?
incosx?
c2
6求?
xarctanxdx
1122解：
原式=?
arctanxd（x）?
（xarctanx?
?
x2darctanx）22
12x2?
1?
1 =（xarctanx?
?
dx）221?
x
1?
1?
=?
x2arctanx?
?
（1?
）dx2?
2?
1?
x?
1?
x2x =arctanx?
?
c22
四、证明题。
1、证明方程x?
x?
1?
0有且仅有一正实根。
证明：
设f（x）?
x3?
x?
13
f（0）?
?
1?
0,f
（1）?
1?
0,且f（x）在?
0,1?
上连续
?
至少存在?
?
（0,1）,使得f（?
）?
0
即f（x）在（0，1）内至少有一根，即f（x）?
0在（0，?
?
）内至少有一实根假设f（x）?
0在（0，?
?
）有两不同实根x1,x2,x2?
x1
f（x）在?
x2,x2?
上连续，在（x2,x2）内可导
且f（x1）?
f（x2）?
0
?
至少?
?
?
（x2,x2），s?
tf（?
）?
0
而f（?
）?
3?
2?
1?
1与假设相矛盾
?
方程x3?
x?
1?
0有且只有一个正实根
）
2、证明arcsinx?
arccosx?
?
1?
x?
12?
证明：
设f（x）?
arcsinx?
arccosx
f（x）?
?
0,x?
?
?
1,1?
?
f（x）?
c?
f（0）?
arcsin0?
arccos0?
f
（1）?
arcsin1?
arccos1?
?
2?
2
f（?
1）?
arcsin（?
1）?
arccos（?
1）?
?
2
?
综上所述，f（x）?
arcsinx?
arccosx?
?
2，x?
?
?
1,1?
五、应用题
1、描绘下列函数的图形
1x
解：
1.dy=（-?
0
）?
（0,+?
）y?
x2?
12x3?
12.y=2x-2?
xx2
令y?
0得x?
y?
2?
2
x3
令y?
0,得x?
?
1
3.
4.补充点（?
2,）.（?
?
）.（1,2）.（2,）
5limf（x）?
?
?
f（x）有铅直渐近线x?
0x?
072127292
6如图所示：
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