高等数学微积分知识整理.docx
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高等数学微积分知识整理
高等数学微积分知识整理
第一章极限与连续
一、函数
1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）
2、函数的性质：
单调性，奇偶性，周期性，有界性
*单调性的定义（以递增为例）：
∀x1,x2∈Df，若x1＜x2时f（x1）≤
f（x）在Df上严格单调递增。
f（x2），则f（x）在Df上单调递增；将≤改为＜，则
*有界的定义：
∃M＞0，对于∀x∈A⊆Df，都有|f（x）|≤M，则f（x）在A上有界。
（f（x）≥m∈R，则f（x）下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）
3、函数的运算：
四则运算、复合运算、反函数
*题型：
判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：
①y与x一一对应；②f（x）是某区间上的严格单调函数
（反函数的单调性与原来的函数相同）
f-1fff
*D=R；当x∈D时，f-1（f（x））=x；当x∈R时，f（f-1（x））=x。
4、初等函数：
包括6大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限
1、数列的定义及表示方法
2、数列的性质：
单调性、有界性
3、数列极限的定义：
ε-N语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对N
的限制，从而找到N；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）
4、极限的四则运算
5、无穷小量的性质
（1）
nn
若lima=A，则{a-A}是无穷小量。
（一种证明极限的方法）
n→∞
（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质
（1）收敛数列必然有界
（2）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
（☆逆否命题：
如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。
）
（3）夹逼性（注意夹条件与逼条件）
（4）
nn
*保号性：
若lima=A＞0，则必然存在N，当n＞N时，a＞0（.
n→∞
7、无穷大量的两个定义：
小于0类似）
（1）
a
若1为无穷小量，则{a}为无穷大量；
{}n
n
（2）∀K＞0，∃N，当n＞N时，|an|＞K。
8、数列收敛的判定方法与极限的求解
（1）利用极限的定义（先知道极限才能使用，技巧性略强）
（2）单调有界数列必收敛（不能同时求出极限，往往用于递推式）
（3）利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散）
（4）柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式）
（5）Stolz定理：
若{b}严格单调递增且limb
=∞，而liman+1-an
=A，则liman
=A。
（可以同时
nn→∞n
n→∞bn+1
-
bn
n→∞bn
求出极限，常常用于比值形式的式子）
（6）递推式求极限：
不动点法——an+1=
f（a），且lima=A，则A=
nn
n→∞
f（A）。
（7）平均值法：
若lima
=A，则lima1+a2+...+an
=A。
n→∞n
n→∞n
（8）利用定积分的定义求极限。
需要配凑Riemann和的形式。
na
9、几个重要数列的极限
（1）a＞0时，lim
n→∞
=1；
（2）
nn
lim
n→∞
（3）
nn!
lim
n→∞
（4）
k
limn
=1；
=+∞；
=0，其中k≥0，a＞1为常数；
n→∞an
111
an+an+...+an1an+an+...+an
（5）lim（12k）n=max{a,a,...,a}；lim（12k）n=kaa...a.
n→∞k
12k
n→∞k
12k
10、数列极限型函数的表达式：
f（x）=limg（n,x）。
n→∞
处理方式：
对x分类讨论，在各种情况下将x视为常数，对n求极限。
例如：
f（x）=lim
xn+1
，x∈R+。
求f（x）。
n→∞2xn+1
1+1
①当x＞1时，f（x）=limxn
+
n→∞1
2
xn
.②当x=1时，f（x）=2；
3
=1；2
③当0＜x＜1时，f（x）=lim
xn+1
=0+1
=1。
n→∞2xn+1
最终结果要写成分段函数。
0+1
三、函数的极限
1、函数极限的定义：
ε-δ语言（某点x0处）、ε-M语言（x→∞时）。
2、数列极限与函数极限的关系：
Heine定理
limf（x）=A⇔对任一数列{xn}满足limxn=a，有limf（xn）=A。
（a可以是∞）
x→a
逆否命题：
n→∞
n→∞
limf（x）不存在⇔存在两个数列{xn},{yn}，满足limxn=limyn=a
x→a
n→∞
n→∞
且limf（xn）与limf（yn）不都存在或者limf（xn）≠limf（yn）。
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
3、极限的性质：
（1）四则运算、连续函数极限的复合运算；
（2）夹逼性；
（3）*保号性；
（4）（函数）局部有界性：
若limf（x）=A，则在a的一个邻域内，f（x）有界。
x→a
（5）有序性：
若f（x）＜g（x（）
或者≤）在a的一个邻域内成立，则limf（x）≤limg（x）。
（反过来未必成立）
x→ax→a
4、两个重要极限：
lim
x→0
sinxx
=1；lim（1+
x→∞
1）x=lim（1+x）x=e。
（x也可以是中间变量）
1
xx→0
（求极限时注意配凑出这两个极限）
5、单侧极限（可以用来判断某点极限是否存在）
四、连续函数
1、连续的定义：
lim
x→x0
f（x）=
f（x0）。
（左连续、右连续）
2、连续的三个必要条件：
f（x）在x0处有定义，lim
x→x0
f（x）存在，lim
x→x0
f（x）=
f（x0）。
3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。
4、间断点（可去、跳跃间断点为第一类，其余为第二类）
（1）无穷间断点：
f（x）在此点无定义并且趋向于∞。
（2）*振荡间断点：
函数值在此点附近无限快地振荡，如f（x）=sin1在x=0处。
x
（3）可去间断点：
对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此
点连续，即lim
x→x0
f（x）存在但不等于f（x0），或f（x0）不存在。
（4）跳跃间断点：
lim
0
x→x+
f（x）与lim
0
x→x-
f（x）存在但不相等。
5、一切初等函数在其定义域内均连续。
6、闭区间上连续函数的性质
（1）有界；
（2）存在最大值和最小值；（3）介值定理；（4）零点存在性定理。
7、连续型无穷小的比较
（1）x→0时，若0＜α＜β，则xβ=ο（xα）；
（2）x→+∞时，若0＜a＜b＜1，则ax=ο（bx）。
（3）对任意p>0，有limlnx=0，即x→+∞时有1
=ο
（1）.
x→+∞xp
（4）等价无穷小替换：
x→0时，sinx~x~tanx，ln（1+x）~x，1-cosx~
xp
x
2
，n1+x-1~
2
lnx
x，exn
-1~x,arcsinx~x~arctanx。
注：
等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能会产生x的高阶无穷小。
8、函数图像的渐近线：
垂直渐近线x=x0。
斜（水平）渐近线y=ax+b。
其中
a=limf（x），b=lim[f（x）-ax]。
注意x→+∞与x→-∞的情况可能不一样。
x→∞x
x→∞
第二章导数与微分
一、导数
1、导数的定义（不能忽视，也是求导的常用方法）：
f'（a）=limf（x）-f（a）=limf（a+∆x）-f（a）.（如果f（a）=0或者a=0，注意分子分
x→a
x-a
∆x→0∆x
母可能需要补0）
（注意左导数、右导数的概念）
2、可导必定连续，连续未必可导。
3、导数的四则运算（略）
注意（f1f2...fn）'=f1'f2...fn+f1f2'...fn+...+f1f2...fn'.
4、复合函数的导数：
[f（g（x））]’=f’（g（x））g’（x）。
（链式法则）
00
5、反函数的导数：
若在点（x,y）处，y=f（x）可导且f'（x）≠0，则[f-1（y）]'=1.
00
6、初等函数的导数公式
f'（x0）
其中，shx=
ex-e-x
2
chx=
ex+e-x
2
thx=
ex-e-x
ex+e-x,
arshx=ln（x+x2+1）,archx=ln（x+
x2-1）,arthx=1ln1+x.
7、对数求导法
f（x）=u（x）v（x）⇒lnf（x）=v（x）lnu（x）
21-x
⇒f'（x）=v'（x）lnu（x）+v（x）u'（x）
f（x）u（x）
⇒f'（x）=u（x）v（x）[v'（x）lnu（x）+v（x）u'（x）].
u（x）
8、几个重要的高阶导数
）
（sinx）（n）=sin（x+nπ
2
）
（cosx）（n）=cos（x+nπ
2
（lnx）（n）=（-1）n-1（n-1）!
⋅x-n
（1）
x
（n）
=（-1）n⋅
n!
xn+1
（xk）（n）={
k（k-1）...（k-n+1）xk-n,n≤k
0,n≥k+1.
（k∈N+）
n
n
9、高阶导数的莱布尼茨公式：
[f（x）g（x）]（n）=∑Cif（i）（x）g（n-i）（x）.
二、微分
1、微分的实质：
在可微的x0处，dy=
2、对于一元函数，可微等价于可导。
3、微分的四则运算（略）
i=0
f'（x0）∆x=
f'（x0）dx=∆y-ο（∆x）.
4、复合函数的微分——一阶微分形式不变性（Pfaffform）：
dy=dy⋅du.
dy2d（dy）
dxdudx
dy=dtdy
dtdx
5、参数方程的微分：
dx
，=
dxdx2
dt
dx.
dt
6、近似计算：
f（x0+∆x）≈f（x0）+f'（x0）∆x.
00
*7、误差估计：
精确值x，近似值x，则绝对误差∆x=|x-x|，相对误差ε=∆x
|x0|
0
x
∆x上界为绝对误差限δ，相对误差限δ*=δx。
若y=f（x），则δ=|f'（x）|δ，δ*=|x0f'（x0）|δ*.
x
三、微分学中值定理及其应用
x|x|
y0xy
f（x0）
1、一切的大前提：
f（x）、g（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导。
（证明时要给出这两个条件！
）
2、Fermat引理：
可导极值点处导数等于0。
3、Rolle中值定理：
f（a）=f（b）⇒存在ξ∈（a,b）使得f'（ξ）=0.
4、Lagrange中值定理：
存在ξ∈（a,b）使得f'（ξ）=
→推论：
（1）f’（x）=0，则f（x）=C。
（2）f’（x）=g’（x），则f（x）=g（x）+C。
f（b）-f（a）.
b-a
5、Cauchy中值定理：
存在ξ∈（a,b）使得f（b）-f（a）=
g（b）-g（a）
f'（ξ）.
g'（ξ）
6、使用中值定理的注意点：
（1）要有运用中值定理的意识，将其当成做题时考虑的对象之一；
（2）学会在高阶导数情况下多次运用中值定理；
（3）在遇到例如f'（ξ）的式子时要构造g（x（）
2ξ
（4）补0是常用方法；
如x2），运用Cauchy中值定理求解。
☆（5）构造函数很重要，要熟悉一些常见的变形：
[xnf（x）]'
（1）xf'（x）+nf（x）=
；
xn-1
（2）f（x）+f'（x）=
[exf（x）]'
ex;
（3）f'（x）-f（x）=ex[f（x）]'；
ex
（4f'（x）
）=[ln|f（x）|]'；
f（x）
（5）f（x）-f''（x）=f（x）-f'（x）+f'（x）-f''（x）=
[ex（f（x）-f'（x））]'
ex.
（在看到相关的式子时要有意识地尝试这些构造，实质是对这些式子做积分）
7、L'Hospital
0∞∞-∞，1∞，∞0,000∞
法则：
用于，，
0∞
等情况，但最终都应回归到或。
0∞
而且，此法则不是万能的。
nf（k）（x）kn
8、Taylor公式：
f（x）=∑0（x-x0）+ο[（x-x0）
（].
Peano余项）
k=0k!
（1+x）α=1+αx+α（α-1）x2+...+α（α-1）...（α-n+1）xn+ο（xn）;
2
ln（1+x）=x-x
2
2!
-+
x3
+...
3
（-1）n+1xn
n
+ο（xn
n!
）（α≠0）;
3
tanx=x+x
3
+2x5
15
+ο（x5（）
只需知道前几项）。
*Taylor展开对一切中间变量u都成立，即对于在a处连续的函数g（x），有
n
f（g（x））=∑
i=0
f（i）（g（a））
i!
（g（x）-g（a））i
+ο[（g（x）-g（a））n].
*Taylor展开的应用：
近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论……
★在此总结一下求函数极限的一些方法：
（1）ε-δ语言（较繁琐，极少使用）；
（2）代数变形，如x=1
1
x
=nxn，a-b=
an-bn
an-1+an-2b+...+bn-1
，a=a+b-b，
ax=exlna，f（x）=
f（x）⋅x，f（x）g（x）=eg（x）lnf（x），补0等；
x
（3）等价无穷小替换（加减法中慎用，避免产生更高阶的无穷小）；
（4）Heine定理：
可以用函数极限求对应数列的极限；
（5）先证明相关数列收敛，再用取整函数夹逼（必须转化为某变量趋向+∞的情况）；
（6）L'Hospital法则：
求导之后会变得简单或可以计算时使用，注意不是不定型的不能使用；
（7）Taylor展开：
可以自行选择展开的项数以配凑次数。
（在确定式子阶数之后，一定要展
0
开到所有能产生该阶小量的项都出现。
在处理
四、函数的单调性与凸性
型式子时几乎万能）
0
1、用一阶导数的符号判断函数的单调性：
注意，可导函数在某区间单调递增（递减）的充要条件是f’（x）≥0（≤0），等号不能少。
另外，极值点是x的值而不是一个点。
*一个有趣的结论：
对于连续可导函数f（x），若limf（x）存在，则f（a）=0，且
x→ax-a
limf（x）=f'（a（）
x→ax-a
2、几个概念
再次提醒补0的重要性）。
（1）极值点：
使得f（x）在x附近的一个邻域内取得最值的x的值。
函数在极值点处不一定可导，但只要可导，则其导数等于0。
（2）临界点（驻点）：
在该点处可导且导数为0的x的值。
临界点不一定是极值点，可能只是函数变化过程中在此点的瞬时变化率为0，其两侧的单调性可以相同。
3、函数取极值的充分条件：
极值点的左右邻域内导数值异号（一边≥0，另一边
≤0）。
4、用一阶、二阶导数判断极值点：
若f’（x0）=0且f’（x0）≠0，则x0是f（x）的极值点。
（f’（x0）>0为极小值点，f’（x0）<0为极大值点）
*通过Taylor展开做出的推广：
若存在正整数n使得f（x）在x0处的前（2n-1）阶导数都等于0，而2n阶导数不等于0，则x0是f（x）的极值点。
5、求函数在闭区间上最值的步骤：
求极值→求端点值→比较以上各值。
6、凸性的定义：
对于[a,b]上的连续函数f（x）与∀x1，x2∈[a,b]，
f（x1+x2）≤
2
f（x1）+f（x2）⇔f（x）在[a,b]上下凸。
反之则为上凸。
2
*推论：
f（x）在[a,b]上下凸⇔∀x，x，...，x
∈[a,b]，f（x1+x2+...+xn）≤
f（x1）+f（x2）+...+f（xn）.
12nnn
7、用二阶导数判断凸性：
仍然注意≥与≤的等号不能少。
另外，拐点是点而不是
x的值。
8、拐点的实质：
两侧邻域内凸性相反的点。
可以二阶不可导，但一旦二阶可导则二阶导数等于0。
9、函数草图的描画步骤
（1）确定函数f（x）的定义域。
如果有奇偶性、周期性，也需指出；
（2）计算f’（x），找出所有驻点与不可导点，确定f（x）的单调区间与极值（表格）；
（3）计算f’（x），确定f（x）的凸性区间与拐点（表格）；
（4）讨论曲线的渐近线；
（5）将极值点、拐点处的函数值求出，如需要增加图像的准确性，可以再取几个特殊点。
（6）最终图像效果的衡量：
单调性、凸性是否正确，渐近线是否正确并画全，关键点处函数值是否正确。
*五、用Newton切线法求方程的近似解
1、基本原理：
在f（x）零点ξ所在小区间[a,b]的端点处作切线，此切线与x轴交于（x1,0）；再作（x1,f（x1））处的切线，此切线与x轴交于（x2,0）；以此类推，数列{xn}将收敛于ξ。
x=x
-
f（xn）.
n
2、数列{xn}的递推式：
n+1
nf'（x）
3、误差估计：
|xn+1
-ξ|≤
M|x
2mn
-ξ|2
其中M是|f’（x）|在[a,b]上的最大值，m是
|f’（x）|在[a,b]上的最小值。
第三章一元函数积分学
（本章重难点在于不定积分和非初等定积分，其余的部分稍微简略一些）一、定积分的概念
n
1、Riemann和：
对闭区间[a,b]做分割a=x0Riemann和σ=∑f（ξi）∆xi.其中△xi=xi-xi-1，ξi∈[xi,xi-1]（i=1,2,...n）。
i=1
2、可积：
即在n→∞（本质上是max{Δxi}→0）时Riemann和收敛，并且此极限与分割点和ξi的选取无关。
闭区间上有有限个间断点的有界函数可积；闭区间上的连续函数必定可积。
3、定积分的几何意义：
曲边梯形的面积（注意函数图像在y轴下方时的情况）
4、定积分的基本性质
a
（1）⎰af（x）dx=0；
a
b
（2）⎰f（x）dx=-⎰f（x）dx；
ab
（3）
b
c
b
⎰f（x）dx=⎰f（x）dx+⎰f（x）dx；
aac
bbb
（4）⎰[αf（x）+βg（x）]dx=α⎰f（x）dx+β⎰
g（x）dx；
aaa
bb
（5）f（x）≤g（x）⇒⎰af（x）dx≤⎰ag（x）dx；
b
b
（6）|⎰af（x）dx|≤⎰a|f（x）|dx；
b
（7）∀x∈[a,b]，f（x）≥0⇒⎰af（x）dx≥0；
b
（8）（积分中值定理）若f（x）在[a,b]上连续，则存在ξ∈（a,b），使得⎰a
x
x
5、原函数与微积分基本定理
f（x）dx=f（ξ）（b-a）.
（1）对于[a,b]上的连续函数f（x），有d
dx
⎰af（t）dt=
f（x），即⎰af（t）dt是f（x）的一个原函数。
d
*推论：
dx
ϕ（x）
⎰
ψ（x）
f（t）dt=
f（ϕ（x））ϕ'（x）-f（ψ（x））ψ'（x）.
（2）微积分基本定理——Newton-Leibniz公式：
对于[a,b]上的连续函数f（x），若F（x）是其原函数之一，则bf（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）|b
⎰aa
二、不定积分
1、不定积分的性质
（1）[⎰f（x）dx]'=f（x），即d⎰f（x）dx=f（x）dx；
（2）⎰F'（x）dx=F（x）+C，即⎰dF（x）=F（x）+C
（3）⎰[αf（x）+βg（x）]dx=α⎰f（x）dx+β⎰g（x）dx.
☆2、基本不定积分公式（规定所有公式中a>0）
1）⎰x
αdx
=xα+1+
α+1
C（α≠
-1）；
2）⎰
1dx=ln
x
|x|+C；
xaxxx
3）⎰a
dx=
lna
+
C（a
>0，a
≠1），⎰e
dx=e
+
C；
4）⎰sin
xdx=
-
cos
x+C；
5）⎰cos
xdx
=sin
x+C；
6）⎰
1dx=
cos2x
⎰sec
2xdx=
tan
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