《高等数学微积分学》笔记Word格式.docx

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二、函数：

1、常量&

变量：

常量：

在某一过程中，取固定值的量，g、π等。

变量：

在某一过程当中，可以取不同数值的量，R、t、s等。

2、函数：

有两个变量，且这两个变量之间有依赖关系，当一个变量在某个区间取定一个数值时，另一个变量取相应的值，如下，其中x称为这个函数的自变量，y称为这个函数的因变量；

x的取值范围称为定义域，y的取值范围称为值域。

y=f（x）

【注】：

（1）f表示了一种自变量和因变量的对应规则；

（2）f表示函数，f（x）表示函数值，y=f（x）称作y是x的函数；

（3）函数符号可以用f、g、h……；

（4）函数具有单值性，即一个x只有一个唯一的y与其对应；

（5）函数的定义域非常重要；

，注意有时需要考虑它的物理意义；

（6）y=f（x），含有n个自变量的函数，称为n元函数。

3、函数的表示方法：

（1）解析法（即公式法）：

如y=x3-1。

优点：

可以精确的来研究函数；

缺点：

不直观。

（2）图形法：

在直角坐标系中，把满足y=f（x）的点（x，y）的轨迹，即为该函数的图形。

直观；

不精确。

（3）列表法：

便于查找函数值；

不完整。

4、函数的属性：

（1）有界性：

y=f（x）有界

如果存在M>

0，使得|f（x）|≤M，其中在定义域内的x都成立，则该函数具有有界性。

如正弦函数|sinx|≤1；

相反，为无界函数。

（2）奇偶性（对称性）：

若f（x）=f（-x），则称f（x）为偶函数，如y=x2，几何特点是以y轴对称。

若f（x）=-f（x），则称f（x）为奇函数，如y=x3，几何特点是以原点为中心对称。

如：

f（x）=（ax+a-x）/2为偶函数，g（x）=（ax-a-x）/2为奇函数。

（3）周期性（循环性）：

如果y=f（x），x∈D，若存在T>

0，使得对任意x∈D有x+T∈D且f（x+T）=f（x），则该函数具有周期性。

有些函数存在最小正周期。

（4）单调性：

如果对于任意的两点x1<

x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）<

f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调上升函数（单调增加）。

x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）>

f（x2），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数（单调减小）。

注：

说函数的单调性一定要注明区间。

三、初等函数：

1、基本初等函数：

基本初等函数是指下面这些函数：

（1）常值函数：

y=c

（2）幂函数：

y=xα（α可以取任意实数）

（3）指数函数：

y=ax（其中a>

0且a≠1），如y=ex（其中e=2.718……）

（4）对数函数：

y=logax，如y=logex

（5）三角函数：

主要有y=sinx，y=cosx，y=tgx

（6）反三角函数：

y=arcsinx，yarccosx，y=arctgx

2、函数的运算：

基本运算：

加、减、乘、除；

特殊运算：

符合运算。

如y=lgsinx，则y=lgu，u=sinx。

3、初等函数：

初等函数是指由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除，符合而成的函数。

4、建立函数关系举例：

注意：

第一，根据问题分清变量和常量；

第二，在变量里面分清自变量和因变量；

第三，存在多余变量，要消掉多余变量。

四、小结：

1、注意区间、邻域的概念和表达；

概念、定义域、值域、表达、建立函数关系等。

第二章极限与连续

一、数列的极限：

1、数列和数列极限：

数列是指一列有次序的数，按一定次序排列就构成数列，如X1、X2、X3……Xn。

极限研究的是数列的变化趋势。

数列极限是指对于一个数列，当n趋于无限大时，这个数列无限地接近于某一个常数，就称这个数列是有极限的，而这个常数就称为这个数列的极限。

2、无限接近：

“无限接近”：

|Xn-C|之间的距离。

【定义】设Xn、a，如果对任ε>

0，总存在N使得当n>

N开始，均有|Xn-a|<

ε，则称数列Xn的极限是a，记成。

即：

a-ε<

Xn<

a+ε（数列极限的几何意义）

3、数列极限的性质：

1、唯一性（极限的唯一的）：

2、增加或者删去有限项，不影响数列极限的存在和极限值；

3、有极限的数列，它一定是有界的，即|Xn|<

M；

有极限一定是有界的，有界的不一定存在极限。

4、极限的运算法则：

假设：

存在两个存在极限的数列、，那么：

=

=

=（）

【注】求极限只能用极限的运算法则和极限的性质。

一般地，n-1）==（其中|q|<

1）。

二、函数的极限：

1、当x时函数的极限：

【定义】如果某个函数f（x）在（a，＋）有定义，如果任意给定ε>

0，总存在（）X>

0，使得当x>

X时，总有|f（x）-A|<

ε，则称A是f（x）当x趋于正无穷时的极限，记为。

【定义】假设f（x）在（，a）有定义，且给定ε>

0，使得当x<

-X时，总有|f（x）-A|<

ε，则称A是f（x）当x趋于负无穷时的极限，记为。

如果，且，则。

2、当x→xo时函数的极限：

【定义】假设f（x）在x0的某邻域有定义（不包括x0），且当x无限接近于x0时，f（x）无限接近于A，则称A是f（x）当x趋近于x0时的极限，记为。

如=1，的极限不存在，的极限不存在。

【注】对某个函数f（x），当x从左边趋于x0时的极限为A，则称A为函数的左极限；

当x从右边趋于x0时的极限为B，则称B为函数的右极限。

如果f（x0-0）=f（x0+0）=A.

3、运算法则：

=

【推论】=

【注意】x趋于0和无穷的求极限的方法不同。

三、两个极限存在的定理及应用：

1、夹逼定理：

假设在x0的邻域内，存在g（x）≤f（x）≤h（x），且==A，则=A。

根据夹逼定理，可以推出如下结论：

（1），；

（2），；

（3）=1；

2、单调数列存在定理：

a1≤a2≤a3……，则该数列为单调上升数列；

a1≥a2≥a3……，则该数列为单调下降数列。

单调、有界数列一定存在极限。

考察：

an=（1+）n，特点：

第一，an<

an+1；

第二，an<

3；

第三，=e≈2.718……，=e，所以=e。

幂指函数：

=是初等函数。

=e。

四、无穷小量与无穷大量：

1、无穷小量：

如果一个量有极限，而且它的极限等于0，它就是无穷小量，即极限为0的量就是无穷小量。

一般地，若，则f（x）-A是无穷小量（当x→x0），反之亦然。

无穷小量的性质：

（1）有限个无穷小量之和，仍然是无穷小量；

（2）有限个无穷小量之积，是无穷小量；

（3）常量与无穷小量相乘仍然是无穷小量；

（4）有界量与无穷小量相乘，仍然是无穷小量。

无穷小量的比较：

两个无穷小量相除，若结果也是无穷小量，则称分子是分母的高阶无穷小量，记为f（x）=0（g（x））（注：

小0仅仅表示高阶，而不是真正的等号）；

若结果是一个常数，则称分子和分母是同阶无穷小量（等价无穷小量），记为f（x）∽g（x）。

2、无穷大量：

当x趋于x0时，|f（x）|无限增大，则称f（x）是无穷大量，记为。

五、函数的连续性：

1、函数在一点的连续和间断：

f（x）在点x0及其邻域内有定义，存在，且=f（x0），则称函数f（x）在x0连续。

间断产生的条件：

f（x）在点x0没有定义、不存在、f（x0）。

f（x）在点x0连续的充分必要条件是f（x）在点x0左连续且右连续。

第一类间断点：

左右极限都存在，但x0是间断点；

第二类间断点：

是指不是第一类间断点的间断点。

2、初等函数的连续性：

六类基本初等函数在其定义域内是连续的。

符合运算并不改变函数的连续性。

【定理】如果某个初等函数在一个区间内有定义，则此函数该区间内连续。

3、连续性的作用：

连续性可以被用来求极限。

=f（x0）=f（）

4、闭区间上连续函数的性质：

【定理】设f（x）在[a,b]上连续，则f（x）可以在该区间上达到最大值和最小值。

该定理成立的条件，首先区间是闭区间，其次，函数在该区间上连续。

【定理：

零点定理】如果f（x）在区间[a,b]连续，且f（a）﹒f（b）﹤0，则存在§

属于（a,b），使得f（§

）=0。

（方程根的存在定理，而且也可以用二分法来求方程的根）

第三章导数与微分

一、导数：

1、导数的概念：

设y=f（x）在x0的邻域U内有定义，x0、x0+Δx∈U，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），则Δy/Δx=f（x0+Δx）-f（x0）/Δx。

如果存在，那么就称此极限为f（x）在x0处的导数，记为f’（x0）或y’|x=x0或者|x=x0。

如果f’（x0）存在，则称f（x）在x0处可导。

【注】

（1）给定函数f（x）、点x0，则f’（x0）就随之而定，f’（x0）是一个具体的数值；

（2）在求导数过程中，Δx→0是变量；

（3）如果f（x）在（a，b）内的任一点x0都可导，则称f（x）在这个区间内可导，则f’（x0）是（a，b）内的函数，称为f（x）的导函数。

【常数函数的导数】y’=（c）’=0

【幂函数的导数】y’=（xn）’=nxn-1，则’=

【正余弦函数的导数】y’=（sinx）’=cosx，类似的有（cosx）’=-sinx，（tgx）’=sec2x，（ctgx）’=-csc2x。

注意：

（sinu）’=cosu×

u’（其中u为中间变量）。

其中cosu×

u’即为。

【指数函数的导数】y’=（ex）’=ex

【对数函数的导数】y’=（lg|x|）’=，类似的有y’=’=

2、导数的几何意义：

切线是割线的极限位置。

导数的几何意义：

函数在一点的导数，就相当于在该点处的切线的斜率。

即f’（x）是y=f（x）在（x0，f（x0））点处的切线斜率。

于是y=f（x）在（x0，f（x0））处的切线方程：

y-f（x0）=f’（x0）（x-x0）

y=f（x）在（x0，f（x0））处的法线方程：

y-f（x0）=-（x-x0）

3、可导与连续的关系：

【定理】若y=f（x）在点x0处可导，则y=f（x）在点x0处连续。

即。

若y=f（x）在点x0处连续，则y=f（x）在点x0处不一定可导。

可导的几何意义：

曲线y=f（x）在（x0，f（x0））处的切线存在，而且此切线不垂直于X轴。

4、历史：

（1）关于导数概念：

牛顿（Newton，英国，1642—1727）：

主要从物理角度提出导数的概念。

莱布尼茨（德国，1646—1716）：

主要从几何的角度提出。

（2）可导与连续：

存在：

处处连续、处处不可导的实例。

不可导的四种情况：

第一，函数无定义；

第二，间断点；

第三，尖角（即切线不存在）；

第四，切线垂直于X轴。

二、微分法（求导数的方法）：

1、加减求导法则：

【定理】若u（x）、v（x）在x处可导，则u（x）±

v（x）在x也是可导。

[u±

v]’=u’±

v’

2、乘法求导法则：

【定理】设u（x）、v（x）在x处可导，则u（x）×

v（x）也在x处可导。

即：

[u×

v]’=u’v+uv’

【推论】[c×

v]’=c×

v’。

3、除法求导法则：

【定理】设u（x）、v（x）在x处可导，且v（x）≠0，则u（x）v（x）也在x处可导。

4、隐函数求导法：

y=f（x）的形式为显函数，如y=x+1、y=。

复合函数求导公式：

（适合复合函数求导），即’=f（u）’×

g（x）’。

【反三角函数的导数公式】

（arcsinx）’=（其中x-siny=0）；

（arctgx）’=；

（arccosx）’=；

（arcctgx）’=。

（arcsinx）’+（arccosx）’=（arcsinx+arccosx）’=（）’=0

【牛顿】我不知道世人对我怎样看法，但是在我看来，我只不过是象一个在海滨玩耍的孩子，偶尔高兴地拾到几颗光滑美丽的石子或贝壳，那浩瀚无涯的真理的大海，却还在我的面前未曾被发现。

【牛顿】如果我之所见比笛卡尔等人要远一点，那只是因为我是站在巨人肩上的原故。

【莱布尼茨】我有非常多的思想，如果别人比我更加深入透彻地研究这些思想，并把他们心灵的美好创造和我的劳动结合起来，总有一天会有某些用处的。

5、对数微分法：

y=ax=exlna，则：

y’=axlna（即两边取对数）。

6、初等函数求导：

初等函数是由基本初等函数（即基本公式）通过有限次的加减乘数、符合运算（即运算法则）得到的。

三、微分：

1、微分的概念：

设f（x）在某一点x0可导，假定自变量的改变量Δx，则量f’（x0）×

Δx称为f（x）在x0改变量Δx的微分，记号为

dy=f’（x0）×

Δx（其中dx=Δx）

例如y=x3在x0关于Δx的微分：

dy=3x02Δx。

2、微分的几何意义：

函数在x0的微分，表示函数在x0的切线的纵坐标的改变量dy。

Δy与dy的关系：

Δy-dy=0（Δx），即

=f’（x0）-f’（x0）=0

3、可微的概念：

Δy=dy+0（Δx）=f’（x0）Δx+0（Δx）（其中0（Δx）为高阶无穷小量），其中f’（x0）Δx为线性主部。

若Δy=AΔx+0（Δx），其中A与Δx无关，则称f（x）在x0处可微。

结论：

若f（x）在x0可导，则f（x）在x0可微；

若f（x）在x0可微，则f（x）在x0可导，即可微和可导是等价的。

4、微分用来做近似计算：

Δydy，即f（x0+Δx）f（x0）+f’（x0）Δx

如sin290sin300+cos300（-）=0.484（注：

10=弧度）。

5、微分的公式和运算法则：

对dy=f’（x0）×

Δx，则，

这个导数记号，含义主要有三种：

第一种意义是关于一的导数；

第二种意义是导数是微分之商，有时把导数也称为微商；

第三种意义是隐含着微分形式的不变形。

所以，微分的运算公式为：

d（u+v）=du+dv，

d（uv）=duv+udv

d

6、微分形式不变性：

若y=f（u），u=g（x），则y’=f’（u）g’（x）

dy=f’（u）g’（x）dx=f’（u）du（微分形式不变性）。

如dsinu=cosudu。

7、参数方程表示的函数的导数：

，其中α≤t≤β，如x2+y2=R2（y≥0），则其参数方程为：

（其中0≤t≤）。

则参数方程表示的导数公式：

四、高阶导数：

1、高阶导数：

函数y=f（x）在x0的二阶导数：

（即导数的导数）

2、高阶导数的解法：

类同与一阶导数的求导方法。

一阶导数的写法：

y’=（其中为一个整体，即为y’中的’d的标记）；

二阶导数的写法：

y’’=y’==y；

三阶导数的记法为；

四阶导数以上一般记为：

、、（其中n≥4）。

物理意义：

如路程s=s（t），则v=s’（t），a（t）=v’（t）=s’’（t）。

即速度的二阶导数是加速度。

一般地，对于y=xn，y（n）=n！

（其中n≤10），y（n+1）=0（其中n≥11）；

对于正弦函数y=sinx，则y（n）=sin；

对于y=ln（1+x），则y（n）=（-1）n-1（n-1）！

（1+x）-n。

3、参数方程表示的高阶导数解法：

先求一阶导数，然后再求二阶导数。

4、隐函数的高阶求导：

隐函数的高阶求导和一阶求导相同。

第四章导数的应用

一、中值定理：

1、罗尔定理：

【罗尔定理】设f（x）在[a,b]连续，在（a，b）可导，且f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f‘（ξ）=0。

罗尔定理的几何意义：

即f‘（ξ）=0表示在ξ点的切线的斜率为0。

2、拉格朗日定理：

【拉格朗日定理】设f（x）在[a,b]连续，在（a，b）可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f‘（ξ）。

（也称为中值定理，微分学的中值定理）。

说明：

1、若f（a）=f（b）时，则拉格朗日定理就变为罗尔定理；

2、拉格朗日定理的结论可以改写为：

令a=xo，b=xo+Δx，则

f‘（ξ）；

ξ在xo和xo+Δx之间，令ξ=xo+θΔx（0＜ξ＜1＝，则：

=f‘（xo+θΔx）﹒Δx；

3、对于f‘（ξ）中的ξ，一般地是求不出来的。

【推论1】设f（x）在（a，b）可导，且f‘（x）0，则在f（x）在（a，b）内一定是一个常值函数。

【推论2】设f（x）、g（x）在（a，b）可导，且f‘（x）=g‘（x），x∈（a，b），则f（x）、g（x）相差一个常数C，即f（x）=g（x）+C。

3、柯西定理：

【柯西定理】设f（x）、g（x）在[a,b]连续，在（a，b）可导，且g‘（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得。

表：

罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的比较

名称

内容

条件一

条件二

条件三

罗尔定理

f‘（ξ）=0

f（x）、g（x）在[a,b]连续

f（x）、g（x）在（a，b）可导

f（a）=f（b）

拉格朗日

定理

f‘（ξ）

柯西定理

g‘（x）≠0

二、弧长微分与曲率：

1、弧长函数及其微分：

假设y=f（x）在[a,b]区间，且f’（x）连续，则弧长函数的导数为：

弧长函数的微分方程为：

ds（x）=dx=dx==

2、曲率：

曲率是指曲线的弯曲程度。

圆周的弯曲特征：

（1）圆周的任何一点的弯曲程度都是一样；

（2）半径越大，它的弯曲程度越小；

（3）圆周的弯曲程度的度量：

单位弧长所对应的切线所转动的角度，即||。

函数y=f（x）在x处的曲率定义为：

==||

因为tgα=y’，则α=arctgy’，α’（x）=；

，所以：

对于x2+y2=R2，则其曲率K=1/R。

曲率半径是指曲率的倒数，即ρ=1/K。

【补充】王国维《人间词话》——治学三境界：

1、昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路；

2、衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴；

3、众里寻他千XX，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。

第五章不定积分

一、原函数与不定积分的概念：

1、基本公式：

求导是正运算，而求不定积分是逆运算。

2、两个运算法则：

（1）

（2）

【推论】