平行四边形中位线专题培优训练.docx
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平行四边形中位线专题培优训练
四边形--平行四边形专题培优训练
1.选择题（共6小题）
1.（2011?
孝感）如图，在厶ABC中，BD、CE是厶ABC的中线，BD与CE相交于点0，点F、G分别是BO、CO
的中点，连接AO.若A0=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）
B
A.1
4cm
B.
18cm
C.
24cm
D.
28cm
2.（2011黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P,作EF//BC,HG//A若四边形
AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2,则S1与S?
的大小关系为（）
A.S1=S2
B.
S1>S2
C.
S1VS2
D.
不能确定
3.已知四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:
2,则较大边的长度是（）
A.f
Jcm
B.
10cm
C.
12cm
D.
14cm
4.下列说法中错误的是（）
A.平行四边形的对角线互相平分
B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
5.如图，△ABC中，/ABC=/BACD是AB的中点，EC//AB,DE//BCC与DE交于点O.下列结论中，不一
6.如图AB//FD,GE//AC,EF//DG,GF/点BC为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）
A.■
3个
B.
4个
C.
5个
D.
6个
2.填空题（共6小题）
7.
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，/A=60。
巳F分别是AB,CD的中点，且EF=1cm,那么对角线
BD=cm.
8.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，/PEF=18则,/PFE
度.
的度数是
9.如图所示,?
ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将厶ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F,若
△FDE的周长为8,AFCB的周长为22，贝UFC的长为__
10.（2011黔西南州）如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形AAiBiCi,算出了正AAiBiCi的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形△A2B2C2,算出第2个正△A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3,算出第3个正△A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正
12.（2011?
黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC丄BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1、B「
D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此
类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为.
3.解答题（共16小题）
13.如图所示.D,E分别在AB,AC上，BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,
Q.求证：
AP=AQ.
A
BC
14.如图：
AD是厶ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点
（1）求证:
ME=DN;
（2）若BC=AD=12,AC=13,求四边形DEMN的面积.
15.如图，已知：
四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相
交于G、H.求证：
/AHF2BGF
16.（2011厦门）如图，在四边形ABCD中，/BAC=/ACD=90。
，/B=/D.
（1）求证：
四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm,BC=5cm,AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC~CD~DA运动至A点停止，则
3
从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？
DF//AB延长FD至点G,使DG=FD,连接
17.已知：
如图，D,E,F分别是△ABC各边上的点，且DE//AC,
AG.
求证：
ED和AG互相平分.
（1）试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由;
（2）如图2,将点P为底边BC上任意一点”改为点P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论
还成立吗？
如果不成立，你能得出什么结论？
请说明你的理由
19.如图，△ABC中,AD为中线，E为边BC上一点，过E作EF//A交AC于F,交AD于M,EG//A交AB于
（1）如图1,若E与D重合，写出图中所有与FG相等的线段，并选取一条给出证明
（2）
FG相等的线段，并给出证明
如图纸，若E与D不重合，在
（1）中与FG相等的线段中找出一条仍然与
（3）
如图3,若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），FG=
20.在厶ABC中，AB=AC，点PABC所在平面内的一点，过点P分别作PE//A（交AB于点E,PF//A交BC于点D,交AC于点F.
（1）如图1,若点P在BC边上，//此时PD=O，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2,当点P在厶ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想;
（3）如图3,当点P在厶ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系.（不用说明理由）
21.平行四边形ABCD中，AB=2cm,BC=12cm，/B=45。
点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒
2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm,连接PQ,设运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；
（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，请用含有t的代数式表示y的值；
（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是？
ABCD面积的四分之三？
22.如图a、b在平行四边形ABCD中，/BAD，/AB平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F,G,AF与BG相交于点E.
（1）在图a中，求证：
AF丄BG,DF=CG;
（2）在图b中，仍有
（1）中的AF丄BG,DF=CG成立.请解答下面问题：
1若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长;
2是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？
若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由.
23.如图
（1）,BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF丄BD,AG丄CE垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG，与直线BC相交于M、N.
（1）试说明：
FG=（AB+BC+AC）;
2
（2）①如图
（2）,BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3）,BDABC的内角平分线,ABC的外角平分线.
则在图
（2）、图（3）两种情况下，线段FG与厶ABC三边又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由
24.小杰遇到这样一个问题：
如图1,在？
ABCD中，AE丄B（于点E,AF丄CD于点F,连接EF,AAEF勺三条高线交于点H,如果AC=4,EF=3,求AH的长.
小杰是这样思考的：
要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形
中.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置（如图2）,可以解决这个问题.
请你参考小杰同学的思路回答：
（1）图2中AH的长等于.
（2）如果AC=a,EF=b,那么AH的长等于.
图1图2
25.已知在口ABCD中，AE丄B（于E,DF平分/ADC交线段AE于F.
（1）如图1,若AE=AD，/ADC=60。
请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系;
（2）
如图2，若AE=AD，你在
（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；
（1）在图1中证明CE=CF;
（2）若/ABC=90°6是EF的中点（如图2）,直接写出/BDG勺度数;
（3）若/ABC=120°,FG//FG=CE,分别连接DB、DG（如图3），求/BDG勺度数.
27.（2011北京）如图，在厶ABC中，/ACB=90°D，是BC的中点，DE丄BC,CE//A带AC=2,CE=4,求四
边形ACEB的周长.
E
28.已知：
如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到
D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q
参考答案与试题解析
一.选择题（共6小题）
1.（2011?
孝感）如图，在厶ABC中，BD、CE是厶ABC的中线，BD与CE相交于点0，点F、G分别是BO、CO
的中点，连接AO.若A0=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）
BC
A.14cmB.18cmC.24cmD.28cm
考点：
平行四边形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理.
专题：
计算题.
分析：
主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF//AOFG//BC且都等于边
长BC的一半.分析到此，此题便可解答.
解答：
解：
TBDCE是厶ABC的中线，
•••ED//B且ED=%C,
2
•••F是BO的中点，G是CO的中点，
•FG//B且FG=丄BC,
2
•ED=FG=rBC=4cm,
2
同理GD=EF=lAO=3cm,
2
•••四边形EFDG的周长为3+4+3+4=14（cm）.
故选A.
点评：
本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平
行提供了依据.
2.（2011黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P,作EF//BC,HG//A若四边形
AEPH和四边形CFPG的面积分另为Si和S2,则Si与S?
的大小关系为（）
A.Si=S?
B.
Si>S2
C.
SivS2
D.
不能确定
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.
分析：
根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、HPFD,证厶ABD◎△CDB得出△ABD和厶CDB的
面积相等;同理得出△BEP和厶PGB的面积相等，△HPD和厶FDP的面积相等，相减即可求出答案.
解答：
解：
•••四边形ABCD是平行四边形，EF//BCHGIAB
•••AD=BC,AB=CD,AB//GH//CD,AD//EF//BC,
•••四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
••在△ABD和厶CDB中
rAB=CD
-BD二BD,
lad=bc
•••△ABEmCDB,
即厶ABD和厶CDB的面积相等;
同理△BEP和厶PGB的面积相等，△HPD和厶FDP的面积相等，
•••四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，
即S1=S2.
故选A.
点评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和
△CDB的面积相等，△BEP^APGB的面积相等，△HPMH△FDP的面积相等，注意：
如果两三角形全
等，那么这两个三角形的面积相等
3.已知四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:
2,则较大边的长度是（）
A.f
3cm
B.
10cm
C.
12cm
D.
14cm
考点：
平行四边形的判定与性质；解一元一次方程.
专题：
计算题.
分析：
由AB//CDAB=CD得到平行四边形ABCD，根据平行四边形的性质推出AD=BC，设平行四边形ABCD的两邻边是3x,2x,得到方程2（3x+2x）=40,解方程求出x,即可求出最大边.
解答：
解：
TAB//CDAB=CD,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•••AD=BC,
设平行四边形ABCD的两邻边是3x,2x,
••平行四边形ABCD的周长是40,
•23x+2x）=40,
解得：
x=4,
•••较大边的长度是3X4=12.
故选C.
点评：
本题主要考查了平行四边形的性质，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据题意列出方程.
4.下列说法中错误的是（）
A.平行四边形的对角线互相平分
B.有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
考点：
平行四边形的判定与性质；平行线的性质•
专题：
推理填空题•
分析：
根据平行四边形的性质即可判断A;根据图形和已知不能推出另一组对边也平行，即可判断B;根据平行
四边形的判定判断即可；根据平行线性质和已知推出AD//BC根据平行四边形的判定判断即可•
解答：
解：
A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；
/A+/D=180。
同时/B+/C=180只能推出AB//CD,不一定是平行四边形，故本选项正确;
C、AC于BD交于O,0A=0C,0B=0D,•••四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误;
D、•••AB//CD,
•••/B+/C=180°,
•••/B=/D,
•••/C+/D=180°,
•AD/BC,
•••四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误;
故选B.
点评：
本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用性质进行说理是解此题
的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目.
5.如图，△ABC中，/ABC=/BACD是AB的中点，EC//AB,DE//BCC与DE交于点0.下列结论中，不一定成立的是（）
A./
XC=DE
B.
AB=AC
C.
AD=EC
D.
OA=OE
B
C
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质•
分析：
由已知可得四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，/B=ZE,又因为/ABCMBACD是AB的中点可证
△AODBAEOC,还可证明BC=AC,OA=OD,OE=OC,二AC=DEAD=EC,OA=OE•
解答:
解：
TEC//ABDE//BC
•••四边形BDEC是平行四边形，
•••BD=CE，/B=ME,
又•••/ABCMBAC
•MCEO=MDAO,
又D是AB的中点，
•AD=BD,
•AD=CE,
•△AOD^^EOC,
•AD=CE,OA=OE,
•/BC=DE,BC=AC,
•AC=DE•
而AB=AC无法证得.
故选B.
点评：
此题综合性比较强，考查了平行四边形的性质和判定，还综合利用了全等三角形的判定，等角对等边.
6.如图AB//FD,GE//AC,EF//DG,GF/点BC为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）
A.■
3个
B.
4个
C.
5个
D.
6个
考点：
平行四边形的判定•
分析：
此题意在考查平行四边形的判定，根据题中给出的条件，依据两条对边分别平行的四边形为平行四边形
则不难求解•
解答：
解：
因为AB//FD,GE/ACEF//DGGF//BC
所以GFBD,GFEC,EFDG,AGOF均为平行四边形，
所以，共有四个平行四边形•
故选B.
点评：
本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理是解题的关键
填空题（共6小题）
7.
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD,/A=60°E,F分别是AB,CD的中点，且EF=1cm,那么对角线
BD=*cm.
考点：
平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.
分析：
过D作DMLAB于M,得出平行四边形AEFD,求出AD=EF=1cm,求出/ADM求出AM,DM,求出
AB,求出BM,根据勾股定理求出BD即可.
解答：
解：
过D作DMLAB于M,
•••AD=2AM,
••四边形ABCD是平行四边形，
•DC=AB,DC//AB,
•••F为DC中点，E为AB中点，
•DF=AE,DF//AE,
••四边形AEFD是平行四边形，•AD=EF=1cm,
AM=—cm,
2
•/AB=2AD,
13
•AB=2cm,BM=2cm-cm=cm,
22
在Rt△ADM中，由勾股定理得
DM=—:
cm,
2
BD='
评：
本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，关键是构造直角三角
形，题目比较好，但是有一定的难度.
8.
如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，/PEF=18则,/PFE的度数是18度.
考点：
三角形中位线定理•
分析：
根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形•
解答：
解：
•••在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，
•••FP,PE分别是△CDB与厶DAB的中位线，
•••PF=BC,PE）AD,
22
•/AD=BC,
•PF=PE,
故厶EPF是等腰三角形.
•••/PEF=18°,
•••/PEF=/PFE=18°.
故答案为18.
点评：
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识
9.如图所示,?
ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将厶ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F,若
△FDE的周长为8,AFCB勺周长为22,贝UFC的长为7
考点：
翻折变换（折叠问题）
分析：
由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE=EF,AB=BF,结合两个三角形的周长，通过列方程可求得
FC的长，本题可解.
解答:
解：
设DF=x,FC=y,
•••?
ABCD,
•••AD=BC,CD=AB,
•••B助折痕,
•AE=EF,B=BF,
•/△FD的周长为8,△FCB勺周长为22,
•BC=AD=8-x,AB=CD=x+y,
•y+x+y+8-x=22,
解得y=7.
故答案为7.
点评：
本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列
出方程求得答案.
10.（2011黔西南州）如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形AAiBiCi,算出了正AAiBiCi的面积，然后分别取AA^〔6三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形△A2B2C2,算出第2个正△A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3,算出第3个正△A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正
△AnBnCn的面积是-_.
考点：
三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质专题：
计算题；规律型•
分析：
过Ai作AiD丄BiCi于D,求出高AiD,求出△AiBiCi的面积，根据三角形的中位线求出B2C2=BiCi,
2
同理
A2B2^^AiBi,A2C2^rAiCi,推出△A2B2C2^^AiBiCi，得出Saar厂=丄SaiFt厂
22AA2B2C24AA1B1C1
△A3B3C3^^A2b2c2,推出■:
..?
z-=..「i.得出规律J上「=；」三匚，代入
□3d10illnnjill
求出即可•
解答:
解：
过Ai作AiD丄BiCi于D,
•••等边三角形AiBiCi,
--BiD=,i:
由勾股定理得：
AiD=：
2
-△AiBiCi的面积是lxi还=』2,
224
•••C、B2、A2分别是AiBi、AiCi、BiCi的中点,
-B2C2=BiCi，A2B2=：
AiBi,A2C2=:
AiCi,
即咚2=A風二AR2=]
•••△A2B2C2sAAiBiCi,且面积比是i:
4,b匚="^S△也Qc
同理皿3B3C3SAA2B2C2,且面积比是i：
4-=.
二=,「「宀门=产X4=:
评：
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结
果得出规律「.二宀―，题目比较典型，但有一定的难度•
a>»4111
11.在梯形ABCD中，AB//CD,M,N分别为上底CD,下底AB的中点，则MNV（AD+BC）.（填
2
考点：
三角形中位线定理；三角形三边关系；梯形.
分析：
由中点，联想到构建中位线，利用三角形的两边之和大于第三边即可得出结论
解答：
解：
如图，连接BD,作BD的中点，连接ME、NE,
则可以知道ME、NE分别为中位线，
•••ME」BC、NE=丄AD,
22
•ME+NE=1（AD+BC）,
2
•/MNVME+NE,
MNv*（AD+BC）.
故答案为：
v.
点评：
本题考查了梯形的性质.比较线段的长度可以通过构造三角形，利用三角形的性质求解
12.（2011黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC丄BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为Ai、Bi、Ci、
Di，顺次连接得到四边形AiBiCiDi，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此
类推，这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积
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