空间中的平行与垂直教案.docx

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空间中的平行与垂直教案

直线与平面的平行与垂直教案

高级中学数学组肖蕾

教材分析

本节选自2011新课标高考总复习，属于人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2的内容。

本节课主要复习直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定、性质定理及其简单应用。

线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。

同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。

学情分析

本节课是12月下旬上，学生越临近高考越患得患失，太注重结果，忽视过程，心态急躁，急功近利，毛手毛脚，不知所措，并且由于我所任课班级学生是非重点校的学生，生源弱，基本功差，学生已经学习了直线、平面垂直的判定及其性质，复习了直线、平面平行的判定及其性质，对空间概念有一定的基础。

但是，在考试中真拿满分的只有几个人，具体暴露的问题挺多，绝大多数的同学都出现“会而不对，对而不全”解题不规范的情况，另外改卷过程中发现各种不同书写错误，引发教师进一步探究，但评讲试卷时要全盘考虑不便展开，同时学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，转化意识还有待加强

考纲分析

《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲的说明》中要求：

了解空间直线和平面的位置关系，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理；了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

同时，考纲指出：

能以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

高考命题分析

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。

客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。

复习时多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定作为重点。

在新课标教材中立体几何的要求有所降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展。

教学目标

知识与技能目标

（1）在了解直线与平面的位置关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系）的基础上，掌握有关平行及垂直的判定依据（定义、公理和定理）、判定方法及有关性质定理；

（2）在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；

（3）在有关问题的分析与解决的过程中提高推理能力、运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．

过程与方法目标

（1）学生自主复习直线、平面平行及垂直的判定和性质。

。

“线线平行、线面平行、面面平行”和“线线垂直、线面垂直、面面垂直”转化的数学思想。

（2）准确运用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义和定理进行准确表述和合理转换．加强对定理的理解。

通过练习，使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系。

情感与态度目标

培养学生严谨的语言表述能力和“言之有理”的逻辑思维的习惯、提高思维品质。

养成严谨、求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．

高考命题分析

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。

客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。

复习时多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判定作为重点。

在新课标教材中立体几何的要求有所降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，知识深化和拓展。

重点难点

重点:

直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质定理，会利用上述知识论证和解决有关问题。

难点：

线线平行、线面平行、面面平行的转化和应用。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和应用。

教学策略

采用启发式、引导式、参与式以及讲练结合的教学方法。

通过层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的复习，独立思考和探究。

注重学生的认知发展规律，加强学生空间观念的培养。

学法指导

引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式；引导学生进行“问题式学习”，培养学生分析和解决问题能力。

在提出问题后鼓励学生去主动尝试、探索，让学生体验问题解决的思维过程。

在学生遇到困难时，教师适时进行指导、讲解，帮助学生突破难点。

教学手段

计算机多媒体教学

教学过程

一、平行

复习定理

解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：

1.

直线与平面平行的判定

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行．

☺简称：

线线平行，线面平行.

2.直线与平面平行的性质

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

☺简称：

线面平行，线线平行.

3.平面与平面平行的判定与性质

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

☺简称：

线线平行，线面平行.

4.平面与平面平行的判定与性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

☺简称：

面面平行，线线平行.

5.平面与平面平行的判定与性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

☺简称：

面面平行，线线平行.

定理应用

方法一）：

构造平行四边形

方法二）：

构造平行平面

构造平行四边形

构造平行平面

二、垂直

解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：

复习定理

1．直线与平面垂直判定

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.

☺简称：

线线垂直，线面垂直.

2．直线与平面垂直性质

如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.

☺简称：

线面垂直，线线垂直.

3．平面与平面垂直判定

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

☺简称：

线面垂直，面面垂直.

4．平面与平面垂直性质

性质：

如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.

☺简称：

面面垂直，线面垂直.

定理应用

1.如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=3，AC=5，BC=4.

1）在四面体ABCD中有几个直角三角形？

2）有几组平面垂直？

3）你能找出A点在面BCD上的射影吗？

3、如图，四棱锥

中，底面

为平行四边形。

底面

，证明：

归纳小结

1．垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

巩固提高

练习：

下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；

③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.

正确的命题是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以

是相交直线或异面直线.故②③错，选C.

例1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．

（1）求证：

BC1∥平面CA1D；

（2）求证：

平面CA1D⊥平面AA1B1B.

证明：

（1）连结AC1交A1C于E，连结DE．

∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．

又D是AB的中点，

∴在△ABC1中，DE∥BC1.

又DE⊂平面CA1D，

BC1⊄平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

证明：

（2）∵AC＝BC，

D为AB的中点，

∴在△ABC中，AB⊥CD.

又AA1⊥平面ABC，

CD⊂平面ABC，

∴AA1⊥CD.

又AA1∩AB＝A，

∴CD⊥平面AA1B1B.

又CD⊂平面CA1D，

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.

例2.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，

四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝

，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．

（1）求证：

DE∥平面PAB；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PBC；

（1）分析：

（1）证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；

（2）证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线.

（1）方法一（构造平行平面）

证明　如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.

在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，

∴EF∥PB.

在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，

∴BF＝

BC＝1.

又∵AD∥BC，且AD＝1，

∴AD

BF.

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴FD∥AB.

又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，

∴平面EFD∥平面PAB.

又∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面PAB.

方法二：

（构造平行四边形）

证明：

如图所示，取线段PB的中点H，连接

EH、ＡＨ.

在△PBC中，E、Ｈ和分别为PC、PB的中点，

∴EH

BC.

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，且AD＝1，BC＝２

∴AD

BC.

∴AD

EH.

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴ＥD∥AH.

又∵ＡＨ⊂平面PAB，且ＥD

平面PAB

∴DE∥平面PAB.

（2）证明　在直角梯形中，CB⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，

且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴CB⊥平面PAB.

∵CB⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAB.

巩固提高

1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．

在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系．

2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易

忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明．