土木工程专业翻译平衡方程.docx

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土木工程专业翻译平衡方程

外文原文

7.2EquilibriumEquations

7.2.1EquilibriumEquationandVirtualWorkEquation

ForanyvolumeVofamaterialbodyhavingAassurfacearea,asshowninFigure7.2,ithasthefollowingconditionsofequilibrium:

FIGURE7.2Derivationofequationsofequilibrium.

Atsurfacepoints

Atinternalpoints

Wherenirepresentsthecomponentsofunitnormalvectornofthesurface;Tiisthestressvectoratthepointassociatedwithn；σji,jrepresentsthefirstderivativeofσijwithrespecttoxj；andFiisthebodyforceintensity.Anysetofstressesσij,bodyforcesFi,andexternalsurfaceforcesTithatsatisfiesEqs.（7.1a-c）isastaticallyadmissibleset.

Equations（7.1bandc）maybewrittenin（x,y,z）notationas

and

Whereσx,σy,andσzarethenormalstressin（x,y,z）directionrespectively;τxy,τyz,andsoon,arethecorrespondingshearstressesin（x,y,z）notation;andFx,Fy,andFzardthebodyforcesin（x,y,z,）direction,respe-

ctively.

Theprincipleofvirtualworkhasprovedaverypowerfultechniqueofsolvingproblemsandprovidingproofsforgeneraltheoremsinsolidmechanics.Theequationofvirtualworkusestwoindependentsetsofequilibriumandcompatible（seeFigure7.3,whereAuandATrepresentdisplacementandstressboundary）,asfollows:

compatibleset

equilibriumset

or

whichstatesthattheexternalvirtualwork（δWext）equalstheinternalvirtualwork（δWint）.

HeretheintegrationisoverthewholeareaA,orvoluneV,ofthebody.

Thestressfieldδij,bodyforcesFi,andexternalsurfaceforcesTiareastaticallyadmissiblesetthatsatisfiesEqs.（7.1a–c）.Similarly,thestrainfieldεij﹡andthedisplacementui﹡areacompatiblekinematics

setthatsatisfiesdisplacementboundaryconditionsandEq.（7.16）（seeSection7.3.1）.Thismeanstheprincipleofvirtualworkappliesonlytosmallstrainorsmalldeformation.

Theimportantpointtokeepinmindisthat,neithertheadmissibleequilibriumsetδij,Fi,andTi（Figure7.3a）northecompatiblesetεij﹡andui﹡（Figure7.3b）needbetheactualstate,norneedtheequilibriumandcompatiblesetsberelatedtoeachotherinanyway.Intheotherwords,thesetwosetsarecompletelyindependentofeachother.

7.2.2EquilibriumEquationforElements

Foraninfinitesimalmaterialelement,equilibriumequationshavebeensummarizedinSection7.2.1,whichwilltransferintospecificexpressionsindifferentmethods.AsinordinaryFEMorthedisplacementmethod,itwillresultinthefollowingelementequilibriumequations:

FIGURE7.4Planetrussmember–endforcesanddisplacements.（Source:

Meyers,

V.J.,MatrixAnalysisofStructures,NewYork:

Harper&Row,1983.Withpermission.）

Where{

}eand{

}earetheelementnodalforcevectoranddisplacementvector,respectively,while{

}eiselementstiffnessmatrix;theoverbarheremeansinlocalcoordinatesystem.

Intheforcemethodofstructuralanalysis,whichalsoadoptstheideaofdiscretization,itisprovedpossibletoidentifyabasicsetofindependentforcesassociatedwitheachmember,inthatnotonlyaretheseforcesindependentofoneanother,butalsoallotherforcesinthatmemberaredirectlydependentonthisset.Thus,thissetofforcesconstitutestheminimumsetthatiscapableofcompletelydefiningthestressedstateofthemember.Therelationshipbetweenbasicandlocalforcesmaybeobtainedbyenforcingoverallequilibriumononemember,whichgives

Where[L]=theelementforcetransformationmatrixand{P}e=theelementprimaryforcesvector.ItisimportanttoemphasizethatthephysicalbasisofEq.（7.5）ismemberoverallequilibrium.

Takeaconventionalplanetrussmemberforexemplification（seeFigure7.4）,onehas

FIGURE7.5Coordinatetransformation.

and

whereEA/l=axialstiffnessofthetrussmemberandP=axialforceofthetrussmember.

7.2.3CoordinateTransformation

ThevaluesofthecomponentsofvectorV,designatedbyv1,v2,andv3orsimply,areassociatedwiththechosensetcoordinateaxes.OftenitisnecessarytoreorientthereferenceaxesandevaluatenewvaluesforthecomponentsofVinthenewcoordinatesystem.AssumingthatVhascomponentsviandvi′intwosetsofright-handedCartesiancoordinatesystemsxi（old）andxi′（new）havingthesameorigin（seeFigure7.5）,and

aretheunitvectorsofxiandxi′,respectively.Then

Where

thatis,thecosinesoftheanglesbetweenxi′andxjaxesforiandjrangingfrom1to3;and[α]=（lij）3×3iscalledcoordinatetransformationmatrixfromtheoldsystemtothenewsystem.

Itshouldbenotedthattheelementsoflijormatrix[α]arenotsymmetrical,lij≠lji.Forexample,l12isthecosineofanglefromx1′tox2andl21isthatfromx2′tox1（seeFigure7.5）.Theangleisassumedtobemeasuredfromtheprimedsystemtotheunprimedsystem.

Foraplanetrussmember（seeFigure7.4）,thetransformationmatrixfromlocalcoordinatesystemtoglobalcoordinatesystemmaybeexpressedas

whereαistheinclinedangleofthetrussmemberwhichisassumedtobemeasuredfromtheglobaltothelocalcoordinatesystem.

7.2.4EquilibriumEquationforStructures

Fordiscretizedstructure,theequilibriumofthewholestructureisessentiallytheequilibriumofeachjoint.Afterassemblage,

ForordinaryFEMordisplacementmethod

Forforcemethod

where{F}=nodalloadingvector;[K]=totalstiffnessmatrix;{D}=nodaldisplacementvector;[A]=totalforcestransformationmatrix;{P}=totalprimaryinternalforcesvector.

Itshouldbenotedthatthecoordinatetransformationforeachelementfromlocalcoordinatestotheglobalcoordinatesystemmustbedonebeforeassembly.

Intheforcemethod,Eq.（7.11）willbeadoptedtosolveforinternalforcesofastaticallydeterminatestructure.Thenumberofbasicunknownforcesisequaltothenumberofequilibriumequationsavailabletosolveforthemandtheequationsarelinearlyindependent.Forstatically

unstablestructures,analysismustconsidertheirdynamicbehavior.Whenthenumberofbasicunknownforcesexceedsthenumberofequilibriumequations,thestructureissaidtobestaticallyindeterminate.Inthiscase,someofthebasicunknownforcesarenotrequiredtomaintainstructuralequilibrium.Theseare“extra”or“redundant”forces.Toobtainasolutionforthefullsetofbasicunknownforces,itisnecessarytoaugmentthesetofindependentequilibriumequationswithelastic

behaviorofthestructure,namely,theforce–displacementrelationsofthestructure.Havingsolvedforthefullsetofbasicforces,wecandeterminethedisplacementsbybacksubstitution.

7.2.5InfluenceLinesandSurfaces

Inthedesignandanalysisofbridgestructures,itisnecessarytostudytheeffectsintriguedbyloadsplacedinvariouspositions.Thiscanbedoneconvenientlybymeansofdiagramsshowingtheeffectofmovingaunitloadacrossthestructures.Suchdiagramsarecommonlycalledinfluencelines（forframedstructures）orinfluencesurfaces（forplates）.Observethatwhereasamomentorsheardiagramshowsthevariationinmomentorshearalongthestructureduetosomeparticularpositionofload,aninfluencelineorsurfaceformomentorshearshowsthevariationofmomentorshearataparticularsectionduetoaunitloadplacedanywherealongthestructure.

Exactinfluencelinesforstaticallydeterminatestructurescanbeobtainedanalyticallybystaticsalone.FromEq.（7.11）,thetotalprimaryinternalforcesvector{P}canbeexpressedas

bywhichgivenaunitloadatonenode,theexcitedinternalforcesofallmemberswillbeobtained,andthusEq.（7.12）givestheanalyticalexpressionofinfluencelinesofallmemberinternalforcesfordiscretizedstructuressubjectedtomovingnodalloads.

Forstaticallyindeterminatestructures,influencevaluescanbedetermineddirectlyfromaconsiderationofthegeometryofthedeflectedloadlineresultingfromimposingaunitdeformationcorrespondingtothefunctionunderstudy,basedontheprincipleofvirtualwork.Thismaybetterbedemonstratedbyatwo-spancontinuousbeamshowninFigure7.6,wheretheinfluencelineofinternalbendingmomentatsectionMBisrequired.

FIGURE7.6Influencelineofatwo-spancontinuousbeam.

FIGURE7.7DeformationofalineelementforLagrangianandEluerianvariables.

CuttingsectionBtoMBexposeandgiveitaunitrelativerotationδ=1（seeFigure7.6）andemployingtheprincipleofvirtualworkgives

Therefore,

whichmeanstheinfluencevalueofMBequalstothedeflectionv（x）ofthebeamsubjectedtoaunitrotationatjointB（representedbydashedlineinFigure7.6b）.Solvingforv（x）canbecarriedouteasilyreferringtomaterialmechanics.

中文译文

7.2平衡方程

7.2.1平衡方程和虚功方程

对于任何有一定体积的材料都有一个表面积，如图7.2所示，它具有以下平衡条件：

在表面的点：

图7.2平衡方程的推导

在内部的点

其中，ni表示n表面的单位法向量；Ti表示与n相关的向量点应力；σji,j表示σij关于xj的一阶导数；而Fi表示体积力。

任何一系列满足方程（7.1a）-（7.1c）的应力σij、体积力Fi、表面力Ti都是一个静态的容许集。

方程（7.1b和7.1c）可以写成如下所示（x,y,z）的形式，

和

其中，σx,σy,和σz分别是（x,y,z）方向的正应力，τxy和τy等表示（x,y,z）中的剪应力；Fx,Fy和Fz分别表示（x,y,z）方向的体积力

虚功原理被证明是一个解决问题的非常有效的方法，它在固体力学领域为一般性定理提供了证明。

虚功方程采用两套独立的平衡集和兼容集（见图7.3，其中Au和AT分别表示位移边界和应力边界），如下所示：

图7.3虚功方程的两独立集

相容集

平衡集

或是

它表明外力虚功（δWext）等于内力虚功（δWint）。

这个集成包括了物体的整个面积或体积。

应力场δij，体积力Fi和外部表面力Ti是一个满足方程（7.1a-7.1c）的静态容许集。

相似的，应变场εij﹡和位移ui﹡是一个满足位移边界条件和方程（7.16）（见7.3.1节）的兼容的运动学集。

这意味着虚功原理仅适用于小应变或变形小的情况。

需要注意的重要一点是，无论容许均衡集δij,Fi,和Ti（图7.3a），还是兼容集εij﹡和ui﹡都不需要明确的状态，也不需要平衡集和兼容集以任何方式彼此相关。

换句话说，这两个集合是完全相互独立的。

7.2.2单元的平衡方程

对于一个无穷小单元，平衡方程已经在7.2.1节中总结，这可以转化成不同方法中的具体表达式。

正如在普通有限元法、位移法中，它可以导出以下单元平衡方程：

图7.4平面桁架端承力和位移（来源：

Meyers,V.J.，《结构矩阵分析》，1983年纽约Harper&Row出版授权社出版）

其中，{

}e和{

}e分别表示单元节点力向量和位移向量，而{

}e表示单元刚度矩阵；这里的上划线表示局部坐标系。

在力法的结构分析中采用了离散化的方法，这被证明可以用来确定一套与各构件相关联的基本独立的力，在其中不仅这些力彼此之间相互独立，而且构件中的所有其他的力直接依赖于本集。

因此，这些力构成的最小集能够完全定义构件的受力状态。

基本力与局部力的关系可以通过乘以整体平衡的一个构件来获得，

如下所示：

其中，[L]表示单元力的变换矩阵，{P}e表示单元基本的向量力。

需要强调的是，物理基本方程（7.5）是所有平衡的组成