写结论，并说明理由。
若直线AE绕A点旋转到图
⑶位置时（BD>CE）,
其余条件不变
问BD与DE、CE的关系
如何？
写出结论，可不说明理由。
3.直线CD经过
BCA的顶点C,CA=CB.
E、F分别是直线CD上两点，且
BECCFA
（1）若直线CD经过
BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:
①如图1，若BCA90o,
90o，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；
②如图2，若0°BCA180°，若使①中的结论仍然成立，则
与BCA应满足的关系
是;
（2）如图3,若直线CD经过BCA的外部,线段的数量关系，并给予证明.
BCA，请探究EF、与BE、AF三条
图1
图2图3
考点2:
利用角相等证明垂直
1.已知BE,CF是厶ABC的高，且BP=ACCQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
2.如图，在等腰Rt△ABC中，/ACE=90°,D为BC的中点，DELAB垂足为E,过点B作
BF//AC交DE的延长线于点F,连接CF.
（1）求证：
CD=BF
⑵求证：
ADLCF;
⑶连接AF,试判断△ACF的形状.
拓展巩固：
如图9所示，△ABC是等腰直角三角形,
B
ACB=90°,AD是BC边上的中线,
过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：
/ADC=ZBDE.
E图9
（提示：
对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和
联系？
）
3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2,连接AE
和GC.你认为
（1）中的结论是否还成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由
CJ
4.如图1，ABC的边BC在直线l上,ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EFFP
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的
数量关系和位置关系；
（2）将EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接
AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ,你认为
（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由
⑵
等腰三角形（中考重难点之一）
E
A
⑶
Q
考点1等腰三角形性质的应用
1.如图，ABC中，ABAC,BAC90,D是BC中点，EDFD,ED与AB交于
E,FD与AC交于F.求证：
BEAF,AECF.
00"f亠
2.两个全等的含30,60角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M,连结ME,MC.试判断EMC的形状，并说明理由.
压轴题拓展：
（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC,C90,D为AB边的中点，EDF90,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）
于E、F.
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1）,易证SDEFSCEF-SABC.当EDF绕
2
D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，SDEF,SCEF，SABC又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不
需证明.
CFB
图2
图3
提示：
此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3.已知：
如图，△ABC中，/ABC=45°,CD丄AB于D,BE平分/ABC,且BEXAC于E,
与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
⑴BF=AC
（2）CE=1BF
2
⑶CE与BC的大小关系如何。
考点2:
等腰直角三角形（45度的联想）
1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A,B重合），另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F.
⑴如图14—1，当点E在AB边的中点位置时：
1通过测量DE,EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是；
3请证明你的上述两猜想.
⑵如图14—2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
A£BM
014-1
圈14—2
2.在RtMBC中，AC=BC,/ACB=90°D是AC的中点，DG丄AC交AB于点G.
（1）如图1,E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H.
1求证：
DG=DC
2判断FH与FC的数量关系并加以证明.
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，
（1）中的其他条件不变，借
助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在
（1）中得出的结论是否
发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）
同类变式：
（期末考试原题哦）
图
（2）
图
（1）
已知：
△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角
三角尺的一条直角边经过点A,且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合）,
斜边与/ACM的平分线CF交于点F
（1）如图
（1）当点E在BC边得中点位置时
1猜想AE与EF满足的数量关系是.
2连结点E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是
3请证明你的上述猜想;
（2）如图
（2）当点E在EC边得任意位置时，AE和
EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
四、角平分线问题
1.如图：
E在线段CD上，EAEB分别平分/DAB和/CBA,/AEB=90,设AD=X,
BOy，且X,y满足X2y26x8y250
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？
并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？
若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由
2.如图①，0P是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等
三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，/ACB是直角，/B=60°,AD、CE分别是/BAG/BCA
的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果/ACB不是直角，而⑴中的其它条件不变，请问，你
ABCD中，AC平分
3.（北京市中考模拟题）如图，在四边形
BAD，过C作CEAB于E,
、1
并且AE-（ABAD），贝UABC
ADC等于多少?
4.如图，△ABC中，AD平分/BAC
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果
五、中点问题
DGLBC且平分BC,DEIAB于E,
AB=a,AC=b，求AE、BE的长.
DF丄AC于F.
F
1.在厶ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线
BG于点G。
DE
（1）
求证：
BG
GF,并交AB于点E.连结EG.
CF；
（2）
请猜想
BE
CF与EF
的大小关系，并加以证明
2.如右下图，在ABC中，若B2C，AD
AB2DE.
BC,E为BC边的中点.求证:
3.已知ABC中，ABAC,BD为AB的延长线，且BDAB,CE为ABC的AB边上的中线•求证CD2CE（提示：
倍长中线试试）
附加思考题：
（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究）以ABC的两边AB、AC
为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90•连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：
AM与DE的位置关系及数量关系.
⑴如图①
当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是;
线段
AM与DE的数量关
⑵将图①
中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由.
中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转
（0
90）后，如图②所示，⑴问
图①
图②
1.判断与说理
（1）如图11—1,△ADE中，AE=AD且/AED=/ADE,/EAD=90,ECDB分别平分/AED
/ADE,交AD、AE于点CB,连接BC.请你判断ABAC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11—2的位置，AD、BE相交
于0,请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由.
2•某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题:
①如图12-1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O,若/B0N=60°,贝UBM=CN.
②如图12-2,在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O,若/BON=90°,贝UBM=CN.
学习小组成员根据上述两个命题运用类比..的思想又提出了如下的命题：
③如图12-3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CDDE上的点，BM与CN相交于点0,若/B0N=108,贝UBM=CN.
（友情提示：
正多边形的各边相等且各内角也相等）
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个说明理由；
（2）请你继续完成下面的探索：
1如图12-4，在正n边形（n》6中，M、N分别是于点O,问当/BON等于多少度时，结论BM=CN成立？
2如图12-5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是
图12—2
图
12—3
图12—4
CD、DE上的点,
（不要求证明）
DE、AE上的点,
于点O,当/BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
解：
（1）我选.（仅填写①、②、③中的一个）理由如下：
BM与CN相交
D
BM与CN相交
3.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD
的垂线，交AB于点E,交AD于点F。
请你猜想/ADC和/BDE关系，并证明你的猜想。
图9
4.如下几个图形是五角星和它的变形.
A
E
⑶
（1）图⑴中是一个五角星形状，求/
A+ZB+ZC+ZD+ZE=;
CAD+ZB+ZC+ZD+ZE）
（2）图⑴中的点A向下移到BE上时（如图⑵）五个角的和（即Z
有无变化？
说明你的结论的正确性；
（3）把图⑵中的点C向上移动到BD上时（如图⑶），五个角的和（即ZCAD+ZB+ZACE+Z
D+ZE）有无变化？
说明你的结论的正确性.
（4）如图，在ABC中，CDBE分别是ABAC边上的中线，延长CD到F,使FD=CD延长BE到G,使EG=BE那么AF与AG是否相等？
F、AG三点是否在一条直线上？
说说你的理由•
5、
操作实验:
图
（1）
A
图
（2）
图（3）
如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称.
所以△ABD^△ACD,所以ZB=ZC.
归纳结论：
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等.
根据上述内容，回答下列问题：
图⑷
思考验证：
如图（4）,在厶ABC中，AB=AC.试说明ZB=ZC的理由.
探究应用：
如图（5）,CB丄AB,垂足为A,DA丄AB,垂足为B.E为AB的中点，AB=BC,
图（5）
CELBD.
（1）BE与AD是否相等？
为什么？
（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？
说说你的理由。
（3）/DBC与/DCB相等吗？
试说明理由.
6.如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且
AEEF,BE2.
（1）求EC:
CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系,并说明理由；
（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
图13-1
图13-2
7.团体购买某素质拓展训练营”的门票，票价如表（a为正整数）
团体购票人数
1〜50
51〜100
100以上
每人门票价
a元
（a3、元
（a6）元
⑴某中学高一
（1）、高一
（2）班同学准备参加素质拓展训练营”活动，其中高一
（1）班人数不超过50,高一
（2）的人数超过50但不超过80。
当a=48时，若两班分别购票，两班总计应付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452
元。
问这两个班级各有多少人？
⑵某校学生会现有资金4429元用于购票，打算组织本校初三年级团员参加该项活动。
为了让更多的人能参加活动，学生会统一组织购票，购票资金恰好全部用完，且参加
D
人数超过了100人，问共有多少人参加了这一活动？
并求出此时a的值。
8•如下图，在△ABC中，AD平分/BAC,AB+BD=AC则/B：
/C的值为.
9•如左下图，AB//CD,AD//BC,OE=OF则图中全等三角形的组数是（
A.3B.4C.5D.6
10•两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直
线上，连结BD,取BD的中点M，连结ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
11、
（1）不用量角器，只利用刻度尺就能画出一个角的平分线，下面是小明的画法，你认为
。
①利用刻度尺在/AOB的两
他的画法对吗？
请你按照小明的画法，画出图形，说明理由边上分别取OC=OD②连结CD利用刻度尺画出CD的中点E③画射线OE射线OE即为/AOB的角平分线。
（2）请你探索只利用你的三角尺（可以量长度、.画直角、画出一个角的平分线的画法。
（要求：
①画出图形；②简要说明画法；③说明理由。
）
12.（1、如图
（1）,正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE,过点A作AF丄AE交
CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2、如图
（2）,在
（1）的条件下，连结AC,过点A作AM丄AC交CB的延长线于M，观
察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；
（3）解决问题：
1王师傅有一块如图所示的板材余料，其中/A=ZC=90°,AB=AD.王师傅想切一刀后把
它拼成正方形•请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼的示意图；
2王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形
呢？
若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由.
A
B
图1
E
C
13.下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n.
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；
xny1口
（3）若方程组的解是
xmy16
x10，求m、n的值，并判断该方程组是否符合
y9
⑵中
的规律?
14•某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种无盖
的长方体纸盒.（长方形的宽与正方形的边长相等）
（1）现有正方形纸板50张，长方形纸板I00张，若要做竖式纸盒
x个，横式纸盒y个.
鹫式紙盒｛个、
犠式紙蠢（亍》
JL
正方帘览慟「张）
X
検方形凱板〔张）
4
①根据题意，完成以下表格:
②若纸板全部用完，求x、y的值;
礦式凱盒
（2）若有正方形纸板80张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好全部用完.已知
16215.
（1）如图1,图2，图3，在△ABC中，分别以AB,AC为边，向△ABC外作正三
角形，正四边形，正五边形,
BE,CD相交于点O.（说明：
每条边都相等，每个角都相
aHlCa：
c8KJcI
②探究：
如图1,BOCo；如图2,BOCo；如图3,BOCo
（2）如图4，已知：
AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O.
①猜想：
如图4,BOCo（用含n的式子表示）；②根据图4证明你的猜想.
图2
16.按照指定要求画图
（1）如下图1所示，黑粗线把一个由18个小正方形组成的图形分割成两个全等图形，请在图2中，仿图1沿着虚线用四种不同的画法，把每图形分割成两个全等图形.
（2）请将下面由16个小正方形组成的图形，用两种不同的画法沿正方形的网格线用粗线
把它分割成两个全等图形
17.用两个全等的等边三角形△
这个四边形叠合，使三角尺的
尺绕点A按逆时针方向旋转。
iffliii1
ABC和厶ACD拼成四边形ABCD,把一个含60。
角的三角尺与
60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角
（1）当三角尺的两边分别与四边形的两边
BCCD相交于点E、
F时（如图a）,通过观察或测量BECF的长度，你能得出什么结论？
并说明理由；
（2）当三角尺的两边分别与四边形的两边BCCD的延长线相交于点E、F时（如图b），
你在
（1）中得到的结论还成立吗？
简要说明理由。
（本题12分）
18.如图，在下列网格中，"ABC和"DEF全等，且DE与AB是对应线段，则符合条件的F
点的个数为（）.A.1个B.2个C.3个D.4个
26.〔本腕满分井）已知梯形丄胆。
中*府厘米*BC=^
升级会员 