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151分式概念及性质

第十五章分式

单元要点分析

教材内容

本单元教学的主要内容：

本单元主要内容是分式的概念、基本性质、分式运算以及分式方程的应用．

本单元知识结构图．

本单元教材分析：

本单元是继整式之后对代数式的进一步研究，主要从三个方面展开讨论：

1．密切分式与现实生活的联系，突出分式、分式方程的模型作用，分式也是表示具体问题情境中数量关系的工具；分式方程则是将具体问题“数学化”的重要模型．本单元首先通过从分数到分式，以适移的手法引入分式概念，在分式的运算中安排了丰富的实际问题，让学生在这些实际问题中，学习法则、应用法则，感受分式运算的意义，理解算理．在学习分式方程时，教材设置了现实中的速度问题、工程问题等，让学生经历“建立分式方程模型”这一数学化的过程，体会分式方程的意义与使用，培养抽象、概括能力．在分式方程应用方面，力求使应用问题贴近学生生活实际，增强学生解决问题的能力，激发学生的学习兴趣．

2．注意数学思想方法的应用，突出培养学生的合情推理能力．教材十分重视观察、类比、归纳、猜想等思维方法的应用．在分式基本性质的探索过程中，采用观察、类比的方法，让学生在讨论、交流中获得结论，在分式加减乘除运算法则的探索中，与分数进行类比，得到有关结论；分式方程的概念也是通过抽象、概括获得的．这样，既渗透了常用的数学思维方法，又培养了学生的合情推理能力．

3．适当降低分式运算的难度，注重对算理的理解、分式的化简、求值、运算，是代数运算的基础，但它与分数非常类似．因此，适当控制难度、注意对算理的理解是本单元的特点．在分式运算方面，教材的例、习题难度都不大，运算步骤不多，注意一题多解，对分式方程，注重对解的合理性的讨论．

三维目标

1．知识与技能

（1）熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除混合运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个），会检验分式方程的根．

（2）能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．

2．过程与方法

（1）经历用字母表示现实情境数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感．

（2）经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程；发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．

3．情感、态度与价值观

通过学习，获取代数知识的常用方法，感受代数学习的实际应用价值．

重难点、关键

1．重点：

分式的混合运算以及分式方程的应用．

2．难点：

异分母的分式的通分，特别是分母是多项式的分式的通分，另一个是分式方程的“建模”问题．

3．关键：

把握分式的基本性质，在通分中的充分应用．抓住最简公分母的寻找方法是解决通分这一难点的关键．

课时划分

15．1分式3课时

15．2分式的运算6课时

15．3分式方程2课时

数学活动1课时

复习与交流1课时

质量检测1课时

15.1.1从分数到分式

教学内容

本节课主要学习分式的概念以及分式的意义，明确整式与分式的区别．

教学目标

1．知识与技能

能用分式表示实际问题中的数量关系，感悟分式的模型思想；了解分式的概念，明确整式与分式的区别．

2．过程与方法

经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，进一步发展符号感；在此基础上，掌握分式中字母取值范围的方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生观察、类比、讨论、交流的能力，体会分式的内涵以及应用价值．

重难点、关键

1．重点：

理解并掌握分式的概念，体会其内涵．

2．难点：

对分式中字母取值范围的认识．

3．关键：

利用分数的思想类比分式，分数中的分母不为零的思想来理解分式中的分母不为零的问题，从中掌握求解分式意义的方法．

教学准备

教师准备：

将本节课中的“思考”、“观察”、“归纳”、“练习”制成投影卡片；补充引入材料并制成投影片．

学生准备：

复习整式的概念，预习本节课内容．

学法解析

1．认知起点：

本节课是在学习了小学的分数以及中学的整式的基础上学习的．

2．知识线索：

3．学习方式：

本节课可以在复习分数、整式的基础上采用类比、观察、讨论的方式进行学习．

教学过程

一、回顾交流，情境导入

【显示投影片1】

1．5÷3可以写成分数的形式是______．

2．17÷29写成分数的形式是_____，A÷B可以写成_______．

3．在小学数学中，我们还学习了哪些数？

4．在中学数学中，我们已学了代数式中的哪些形式呢？

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，提出上述问题，引导学生温故，采用先讨论再个别提问的方法．

学生活动：

回顾分数的知识，代数式的概念，在与同伴交流的基础上，举手发言：

1．可以写成

，

；3．在小学我们学习了整数；4．在中学我们学习了整式．（单项式，多项式）

【设计意图】

帮助学生回顾旧知识分数、整式，为本节课的迁移伏笔．

二、创设情境，观察类比

【显示投影片2】

1．展示我国某地区土地沙漠化的严重现象的几幅图片（3幅）旁白：

面对日益严重的土地沙漠化问题，该地区决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务．如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要________个月．实际完成一期工程用了_____个月．

2．课本P127“思考”题

（1），

（2）．

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，展示“沙漠化”图片，并渗透国土资源教育，提高学生的环保意识，提出投影片2中的问题，引导学生思考．

学生活动：

通过观察“沙漠化”图片，对所提出的问题进行思考，然后举手回答．（1．

）

教师活动：

引导学生继续探索课本P127中的“思考”

（1）

（2），然后再提出下面问题，

（1）投影片2中的结论

，

有哪些共同的特征？

（2）它们与

等分数有哪些异同点？

学生活动：

分四人小组，思考、交流，得出课本P127“思考”题

（1）

（2）的结论依次是

．然后通过类比弄清教师所提出的问题

（1）

（2）．实际上，通过观察可以发现：

，

与分数一样，都表现为

的形式，但是与分数不同的是这些式子中的A、B都是整式，并且B中都含有字母．

形成概念：

分式定义：

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

叫做分式．

教师讲解：

定义中的

表示分式，其中A叫做分子，B叫做分母，由于代数式中的字母可以表示不同的数．因此，与整式类似，分式同样比分数更具有一般性．如

仅表示7÷8的高，但是分式

即可以表示

也可以表示

，12÷（-7）等．

教师提问：

上面问题中出现了分式

，

等，它们与整式有什么区别呢？



是分式还是整式？

学生回答：

整式和分式的区别就在于分式的分母含有字母，而整式如果存在分母，它必定是数（非零），如

是整式．

练习　下列式子中，哪些是分式？

哪些是整式？

两类式子的区别是什么？

【设计意图】

通过补充实际问题情境，渗透代数式的模型意识以及德育．结合课本P128“思考”题，丰富学生的想象力，对弄清分式概念和区分整式与分式的概念起着积极作用．

三、问题牵引，发展认知

1．分式的分母应满足什么条件？

2．填空：

（1）当m______时，分式

有意义；

（2）当x______时，分式

有意义；

（3）当m______时，分式

有意义；

（4）当x______时，分式

有意义；

（5）当x______时，分式

有意义；

（6）当a、b满足关系_____时，分式

有意义．

教师活动：

操作投影仪，指导学生解决问题，先让学生回答问题1，然后再做问题2，采取提问和上讲台演示的方法．

学生活动：

经过思考，回答：

分数中分母不为零，同样在分式中，分母也不能为零，即B≠0时，分式

有意义．解决完问题1后，学生先独立完成问题2填空．并踊跃上台演示．

思路点拨：

设分式分母等于零，相应求出字母的值，则字母只要不取这个值，分式就有意义，对于问题2中（4）的分式的分母x2+1，由于x2+1不论x取何值都大于0，因此x可取任何实数．（5）中分式的分母x2，由于x2≥0，因此，只要x≠0即可．

（答案：

2．

（1）m≠0

（2）x≠-7（3）m≠

（4）x取任何实数（5）x≠0（6）a≠-2b）

师生共识：

对解决分式是否有意义的问题，主要是抓住分式的分母不为零的特征，结合解方程的思想来解决．

【设计意图】

这是本节课的难点问题，用迁移的手法，让学生体会到要使分式有意义，必须分母不为零，而现在的分式中分母有单项式也有多项式．因此，需要用到解方程的方法．在设计中，让学生自己阅读课本P5例1，然后再练习，以问题解决的手法解决分式意义的题目，培养互动交流意识．

例1　下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

四、随堂练习，巩固深化

1．课本P128“练习”第1，2，3题．

练习2　下列分式中的x满足什么条件时，分式的值为零？

五、课堂总结，发展潜能

1．提问：

（1）什么叫分式？

（2）分式和整式的区别在哪里？

（由学生归纳后再提问个别学生）

2．点评：

形如

的式子（B中含有字母）叫做分式，其中A、B是整式，这里必须弄清两点：

（1）分式是两个整式相除的商，那么分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号．

（2）分数的分子可以含字母，也可以不含字母且分母不能为零；但分式的分母一定要含有字母，另外，分式的分母的值不为零，这是分式有意义的必要条件．

六、布置作业，专题突破

1．课本P133“习题15．1”第1，2，3，9，13题．

2．选用课时作业设计．

七、课后反思

____________________________________________________

第一课时作业设计

【驻足“双基”】

1．在代数式-7x，

中属于整式集合的有_______，属于分式集合的有______．

2．要使分式

有意义，x的值应取_________．

3．分式

，当m______时，其值为0；当m______时，分式无意义．

4．当x________时，

有意义．

5．要使分式

的值为负数，x的取值范围是________．

6．若分式

有意义，则x=_______．

7．有两块棉田，第一块a公顷，收棉花m千克，第二块b公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？

【聚集“中考”】

8．若代数式

的值为零，则x的取值应为（）．

A．x=2或x=-1B．x=-1C．x=±1D．x=2

9．如果分式

无意义，那么x=_____．

10．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）．

A．

答案:

1．-7x，

2．x≠

3．0，±2

4．任意实数5．x<-

8．D9．210．C

15.1.2分式的基本性质

（一）

教学内容

本节课主要学习分式的基本性质和约分这两个内容．（课本P129～P131）

教学目标

1．知识与技能

理解和掌握分式的基本性质，会化简分式．

2．过程与方法

经历探索分式的基本性质的过程，应用于分式的约分，从而掌握分式的化简方法．

3．情感、态度与价值观

培养学生观察、迁移、交流的意识，体会知识的内在价值．

重难点、关键

1．重点：

理解并掌握分式的基本性质．

2．难点：

分式的约分，特别是分子、分母均为多项式的分式的约分．

3．关键：

以分式的基本性质为基础，以因式分解为手段，对分式进行化简．注意的是分子、分母因式分解要彻底，这样约分才彻底．

教学准备

教师准备：

投影仪，将本节有关内容制作成投影片，如“思考”、“例题”等，并制作补充材料的投影片．

学生准备：

复习旧知识，预习本节课内容．

学法解析

1．认知起点：

本节课学生在已学过分数的基本性质、分式的概念的基础上学习的，对分式的意义有了初步的认识．

2．知识线索：

3．学习方式：

采用自主探究的方式，通过类比、联想、迁移来完成本节课的学习．

教学过程

一、情境展示，激发兴趣

【显示投影片1】

1．请同学们回顾分数有哪些基本性质？

2．观看图片“代数式庄园”，庄园中有草地、房屋以及绿树，有些树上标有整式，有些数上标有分式等．

问题

（1），请你判别树上所挂的

六个代数式中，哪些是整式？

哪些是分式？

问题

（2），

相等吗？

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，提出思考题，组织学生观察，回答问题．

学生活动：

（1）回顾分数的基本性质是：

分数的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变．（举手发言）

（2）观看“代数式庄园”的图片，思考后回答教师的提问，

（1）树上挂着

x2，0是整式，挂着

是分式，整式和分式统属于代数式．

（2）

．（a≠0时）

【设计意图】

本节情境设计目的是形成知识迁移，同时“代数式庄园”的设计，让学生感受到分式与整式一样也是表现现实情境中数量关系的工具，是解决问题的一种模型，激发求知欲．

二、观察探讨，研究新知

【教师板书】

1．如果c≠0

吗？

依据是什么？

2．如果c≠0

吗？

依据又是什么？

【活动方略】

教师活动：

提出问题，引导学生思考，然后再引入本节课内容：

分式的基本性质．

学生活动：

与同伴交流后，回答问题，依据分数的基本性质．

教师活动：

先归纳分数的基本性质，一般地，对于任意一个分数有

（c≠0）其中a、b、c是数，再提出下面的问题，类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？

学生活动：

学生经过类比之后回答出分式的基本性质是：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

教师活动：

请两位学生上台将分式基本性质用字母表示．（大写）

学生活动：

踊跃举手，上讲台“板演”

（C≠0），其中A、B、C是整式．

教师提问：

前面

（a≠0）依据是什么呢？

学生回答：

分式的基本性质，左边分式的分子、分母都除以a得到右边式子．

【设计意图】

利用分数的基本性质这个旧知识迁移到分式的基本性质比较自然，适合于学生的认知发展．

三、范例点击，领悟新知

【显示投影片2】

例2填空：

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，启发引导学生共同参与例2的学习．

学生活动：

先不看书中解法，参与教师讲例，领悟其方法．

思路点拨：

（1）

的分母ab乘a才能出现a2b，但又为了保证分式的值不变，分子也必须乘以a，填a2+ab．同理，另一括号内应填2ab-b2；

（2）由于

的分式x2+xy除以x才能出现x+y，因此，分母也应除以x，括号内填x，另一括号内填1．

【设计意图】

通过例题的学习，既掌握了分式的基本性质而且又对分式的约分起着积极的启发作用，让师生互动，形成良好的民主意识．

练习1　下列变形是否正确？

如果正确，说出是如何变形的？

如果不正确，说明理由.

练习2　不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：

四、问题牵引，继续探究

【显示投影片3】

1．根据分数的约分，在“（）”内填上一个适当的数，使“＝”成立．

2．联想分数的约分，再联想例2，你能想出怎样对分式进行约分吗？

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，引导学生思考，然后提问个别学生．

学生活动：

思考后填入1，6．然后联想，分式的约分与分数的约分类似，“把一个分式的分子与分母的所有公因式约去叫做约分”．

五、以练促思，讨论交流

【显示投影片4】

约分：

．

你能概括出分式的约分方法吗？

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，巡视、引导，并提问学生．

学生活动：

先独立思考，完成练习，再与同伴交流，归纳出约分的方法是

（1）找出分式中分子分母的最大公因式；

（2）然后类似于分数约分，约去分子、分母的公因式．（踊跃发言）

设问提高：

（1）分式约分的理论根据是什么？

（2）分式约分与分数约分的区别在哪里？

思路点拨：

（1）根据分式的基本性质；

（2）分数约分只对数而言，它是约去分子与分母的公因数，如果分数的分子与分母设有除1以外的公约数，这样的分数叫做既约分数；分式约分是对式而言，它是约去分子与分母的公因式，如果一个分式的分子与分母没有公因式，这样的分式叫做最简分式，也叫做既约分式．分式的约分包含有分数的约分．

感悟理解：

（教师板书）

指出下列分式分子与分母的公因式：

．

（1）

六、指导阅读，融治贯通

阅读课本中例3，然后回答下列问题：

1．分式的约分可做怎样的分类？

2．分式约分的步骤是什么？

思路点拨：

1．大致可分为三类：

（1）分子或分母其中一个为单项式，

（2）分子与分母都为单项式，（3）分子与分母都为多项式；

2．分式约分的步骤是：

（1）把分式的分子与分母分解因式．

（2）约去分子与分母的公因式．

七、随堂练习，巩固深化

1．课本P132“练习”第1题．

2．【探研时空】

先化简下列①②两式，然后比较它们的不同点．

（1）（x2+1）（2x+1）=（x2+1）（x+3）

（2）

[

（1）是等式化简，它的依据是等式基本性质，等式两边同除以（x2+1）；

（2）是分式约分，它的依据是分式基本性质，分子分母同除以（x2+1）]

八、课堂总结，发展潜能

提问：

1．分式的基本性质是什么？

它与分数基本性质有何区别？

2．分式的约分的依据是什么？

步骤是什么？

大致可以分成几类？

九、布置作业，专题突破

1．课本P133“习题15．1”第4，5，6，8题．

2．选用课时作业设计．

十、课后反思:

__________________________________________

第二课时作业设计

【驻足“双基”】

1．判断下列各式的约分是否正确．

2．约分．

3．化简

4．先化简，后求值．

（1）

，其中x=1，y=-2；

（2）

，其中a=-1，b=2．

【聚集“中考”】

5．化简

的结果是（）．

A．

6．下列各式中，运算正确的是（）．

A．a2·a3=a6B．（-a+2b）2=（a-2b）2

C．

7．化简

得_________．

答案:

1．

（1）×

（2）×（3）∨（4）×

2．

（1）

4．

（1）

5．B6．B7．

.

15.1.2分式的基本性质

（二）

教学内容

本节课主要学习分式的通分，见课本P131～P132．

教学目标

1．知识与技能

理解通分与最简公分母的意义．

2．过程与方法

经历分式的基本性质的理解过程，以此为基础，掌握通分的基本方法，会将几个分母不同的分式通分．

3．情感、态度与价值观

培养学生观察、类比、交流的意识，体会分式在现实生活中的实际应用价值．

重难点、关键

1．重点：

确定分式的最简公分母．

2．难点：

分母是多项式的分式的通分．

3．关键：

正确寻找分式的最简公分母，首先是要弄清各分式的分母分解因式彻底了吗？

然后才能找出最简公分母．

教学准备

教师准备：

投影仪，将本节课有关内容制作成投影片，并制作补充材料的投影片．

学生准备：

复习上一节内容，预习本节课内容．

学法解析

1．认知起点：

本节课是在学生学习了分数通分，分解因式、分式基本性质以及约分的基础上学习的，有一定的认识基础．

2．知识线索：

3．学习方式：

应用类比的方法进行知识迁移，练中感悟，交流中贯通．

教学过程

一、回顾交流，情境导入

【显示投影片1】

1．把下列分式约分成最简分式．

（1）

2．观察：

（1）上面三个分式约分前有什么共同点？

（同分母分式）

（2）约分后所得分式还是同分母分式吗？

（不是）

3．提问：

你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？

这就是我们今天要探讨的问题．（板书课题）

二、合作交流，构建方法

【显示投影片2】

1．异分母的分数

，

，

是如何化成同分母分数的？

（通分）

2．什么是分数的通分？

其根据和关键是什么？

3．分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？

根据是什么？

4．你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？

5．

，

，

的公分母是如何确定的？

6．你能确定分数

的公分母吗？

7．若把上面分数中的3，5用x，y来代替，即分式

又如何确定公分母吗？

【活动方略】

教师活动：

操作投影仪，以问题解决的方式引导学生认知，激发求知欲．

学生活动：

分四人小组，讨论上述七个问题，逐题分析，充分利用新旧知识的迁移，来理解和概括出分式通分的方法．

【设计意图】

为了达到重点解决和难点突破，采用问题串的形式，通过学生小组合作交流，来拓展旧知识，学习新知识，体现师生平等交流．

三、体验琢磨，感悟内涵

【显示投影片3】

1．指出下列各组分式的最简公分母．

（1）

．

2．如何确定最简公分母？

【活动方略】

教师活动：

再次引导学生分析，归纳问题，并请一些学生上台解答上面问题．

学生活动：

先独立完成上面的练习，再上讲台演示，学生间再相互纠正，共同总结．

【设计意图】

再次通过练习，归纳确定最简公分母的方法，以练促思．

四、学会运用，品尝乐趣

【师生共识】

最简公分母确定一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．

【指导阅读】

学生活动：

阅读课本P132例4，然后回答下列问题．

通分：

．

启发：

（1）怎样确定它们的最简公分母？

最简公分母是多少？

（2）第三个分式中分母的负号是如何处理？

教师提问：

你能归纳分式通分的步骤吗？

【设计意图】

培养学生自主学习的思想，再通过问题的解决，观察其成效．

练习巩固通分：

五、随堂练习，巩固深化

1．课本P132“练习”第2题．

2．【探研时空】

（1）指出下列分式的最简公分母．

①

②

③

（2）问题思考：

①上面三组分式有何内在联系？

②当分母是多项式时，如何确定其最简公分母？

③你能将上面三组分式通分吗？

六、课堂总结，发展潜能

提问：

1．本节课我们学习了分式的通分，什么是分式的通分？

其关键是什么？

2．如何寻找分式的最简公分母？

3．分式的分母是多项式时如何通分？

七、布置作业，专题突破

1．课本P133“习题15．1”第7，10，11，12题．

2．选用课时作业设计．

八、课后反思

第三课时作业设计

【驻足“双基”】

1．将

，

，

通分的结果是__________．

2．分式

的最简公分母是_________．

3．约分

=________．

4．当x_______时，

有意义．

5．如果把分式