期末复习整式的乘除.docx

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期末复习整式的乘除

期末复习-----整式的乘除

一．选择题（共2小题）

1．（2012•镇江）下列运算正确的是（　　）

A．

x2•x4=x8

B．

3x+2y=6xy

C．

（﹣x3）2=x6

D．

y3÷y3=y

2．（2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图

（1），然后拼成一个梯形，如图

（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（　　）

A．

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

B．

（a+b）2=a2+2ab+b2

C．

（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

D．

a2﹣b2=（a﹣b）2

二．填空题（共7小题）

3．（2011•临沂）分解因式：

9a﹣ab2=　_________　．

4．（2009•烟台）设a＞b＞0，a2+b2﹣6ab=0，则

的值等于　_________　．

5．（2007•白银）若x2﹣6x+m是完全平方式，则m=　_________　．

6．（2004•山西）已知x+y=1，则

x2+xy+

y2=　_________　．

7．已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为　_________　．

8．已知：

a是

的小数部分，则代数式

的值为　_________　．

9．已知：

162×43=4x+y，9x÷3y=9，则x=　_________　，y=　_________　．

三．解答题（共21小题）

10．利用分解因式计算：

（1）已知a+b=2，ab=﹣3，求代数式a2b+ab2的值；

（2）若a﹣b=﹣3，ab=4，求

的值．

11．已知a=﹣3，是否存在实数b使等式（a+b）2+2（a+b）+1=0成立？

若存在求出b的值；若不存在请说明理由．

12．先化简，再求值：

5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+3x2y），其中x=﹣2，y=3．

13．动手操作：

如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．

提出问题：

（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；

（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．

问题解决：

根据上述

（2）中得到的等量关系，解决下列问题：

已知：

x+y=6，xy=3．求：

（x﹣y）2的值．

14．因式分解：

（1）a3﹣a

（2）4x2y+4xy2+y3（3）a2﹣b2+4b﹣4（4）（x﹣2）2+x﹣8．

15．因式分解：

①x3﹣25x②x2﹣6xy+9y2﹣1．

16．按下面规则扩充新数：

已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．

①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

②能否通过上述规则扩充得到新数5183？

并说明理由．

17．为了求1+2+22+23+…+22012的值，可令s=1+2+22+23+…+22012，则2s=2+22+23+24…+22013，因此2s﹣s=22013﹣1，所以1+2+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52013的值．

18．先化简，再求值：

（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中

．

19．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．

（1）你得到的等式是　_________　：

（2）借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b2分解因式．

20．计算：

（1）（x﹣8y）（x﹣y）

（2）x（x2﹣x+1）﹣3x（2x﹣5）

（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）2（4）

（用简便方法计算）

21．把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：

①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：

x2﹣11x+24=x2﹣6x+9﹣5x+15=（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）=（x﹣3）2﹣5（x﹣3）=（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]=（x﹣3）（x﹣8）．

②添加一个数

，再减去这个数

，则：

=

．

根据上面的启发，请将多项式x2+4x﹣12分解因式．

22．已知a

，求

（1）

的值；

（2）a3﹣a2﹣5a+2010的值．

23．解方程

（1）3（x﹣3）2﹣12=0

（2）（6x+1）2﹣（6x+5）2=24．

24．观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…

（1）根据上面各式的规律得：

（x﹣1）（xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）=　_________　；（其中n为正整数）；

（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．

25．已知对任意的x，x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C总能成立，试求B，C的值．

26．先化简，再求值：

①

，其中

；

②[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷a，其中b﹣3a﹣2a2=4．

27．

（1）算一算下面两组算式：

（3×5）2与32×52；[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32，每组两个算式的结果是否相同？

（2）想一想，（ab）3等于什么？

（3）猜一猜，当n为正整数时，（ab）n等于什么？

你能利用乘方的意义说明理由吗？

（4）利用上述结论，求（﹣8）2009×（0.125）2010的值．

28．分解因式

（1）20a3x﹣45ay2x

（2）1﹣9x2（3）4x2﹣12x+9（4）4x2y2﹣4xy+1

（5）p2﹣5p﹣36（6）y2﹣7y+12（7）3﹣6x+3x2（8）﹣a+2a2﹣a3

29．已知x2+x+1=0，求x3﹣x2﹣x+7的值．

30．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．

期末复习-----整式的乘除

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（2012•镇江）下列运算正确的是（　　）

A．

x2•x4=x8

B．

3x+2y=6xy

C．

（﹣x3）2=x6

D．

y3÷y3=y

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．283404

专题：

计算题．

分析：

分别根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则对各选项进行逐一计算即可．

解答：

解：

A、x2•x4=x6，故本选项错误；

B、3x与2y不是同类项，不能合并，故本选项错误；

C、（﹣x3）2=x6，故本选项正确；

D、y3÷y3=1，故本选项错误．

故选C．

点评：

本题考查的是同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．

2．（2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图

（1），然后拼成一个梯形，如图

（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（　　）

A．

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

B．

（a+b）2=a2+2ab+b2

C．

（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

D．

a2﹣b2=（a﹣b）2

考点：

平方差公式的几何背景．283404

专题：

计算题．

分析：

（1）中的面积=a2﹣b2，

（2）中梯形的面积=（2a+2b）（a﹣b）÷2=（a+b）（a﹣b），两图形阴影面积相等，据此即可解答．

解答：

解：

由题可得：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故选A．

点评：

本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．

二．填空题（共7小题）

3．（2011•临沂）分解因式：

9a﹣ab2=　a（3+b）（3﹣b）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．283404

专题：

因式分解．

分析：

先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．

解答：

解：

9a﹣ab2=a（9﹣b2）=a（3+b）（3﹣b）．

故答案为：

a（3+b）（3﹣b）．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．

4．（2009•烟台）设a＞b＞0，a2+b2﹣6ab=0，则

的值等于　﹣

　．

考点：

完全平方公式．283404

专题：

压轴题．

分析：

先求出

的平方，再利用完全平方公式化简，得（

）2=2，然后再求平方根．

解答：

解：

由a2+b2﹣6ab=0可得

（b﹣a）2=4ab，﹣﹣﹣﹣①；

（a+b）2=8ab，﹣﹣﹣②；

②÷①得

=2，

由a＞b＞0，可得

＜0，

故

=﹣

．

故答案为：

﹣

．

点评：

本题考查完全平方公式的应用．完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2．

5．（2007•白银）若x2﹣6x+m是完全平方式，则m=　9　．

考点：

完全平方式．283404

分析：

先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可．

解答：

解：

∵6x=2×3•x，

∴这两个数是x和3，

∴m=32=9．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．

6．（2004•山西）已知x+y=1，则

x2+xy+

y2=　

　．

考点：

完全平方公式．283404

专题：

压轴题．

分析：

先提取公因式

后再利用完全平方公式整理即可转化为已知条件的形式，然后平方即可求解．

解答：

解：

∵x+y=1，

∴

x2+xy+

y2，

=

（x2+2xy+y2），

=

（x+y）2，

=

．

点评：

本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．

7．已知10n=3，10m=4，则10n+m的值为　12　．

考点：

同底数幂的乘法．283404

分析：

根据同底数幂的乘法法则把10m+n化成10n×10m，代入求出即可．

解答：

解：

∵10n=3，10m=4，

∴10n+m

=10n×10m

=3×4

=12，

故答案为：

12．

点评：

本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，注意：

am+n=am×an．

8．已知：

a是

的小数部分，则代数式

的值为　1　．

考点：

估算无理数的大小；平方差公式．283404

专题：

计算题．

分析：

求出

的整数部分，进一步求出

的小数部分，代入后根据平方差公式求出即可．

解答：

解：

∵2＜

＜3，

∴

的整数部分是2，

又∵a是

的小数部分，

∴a=

﹣2，

∴a（

+2）=（

﹣2）×（

+2）=5﹣4=1，

故答案为：

1．

点评：

本题考查了平方差公式和估计无理数的大小的应用，关键是确定a的值，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．

9．已知：

162×43=4x+y，9x÷3y=9，则x=　3　，y=　4　．

考点：

同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．283404

分析：

根据幂的乘方和积的乘方得出x+y=7，根据同底数幂的除法得出2x﹣y=2，求出组成的方程组的解即可．

解答：

解：

∵162×43=4x+y，

∴（42）2×43=44+3=4x+y，

∴x+y=7，

∵9x÷3y=9，

∴32x÷3y=32，

∴2x﹣y=2，

即

，

①+②得：

3x=9，x=3，

把x=3代入①y=4，

故答案为：

3，4．

点评：

本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法的应用，题目比较典型，但有一定的难度．

三．解答题（共21小题）

10．利用分解因式计算：

（1）已知a+b=2，ab=﹣3，求代数式a2b+ab2的值；

（2）若a﹣b=﹣3，ab=4，求

的值．

考点：

因式分解的应用．283404

分析：

（1）首先把ab2+a2b利用提取公因式法分解因式，然后代入已知条件即可求解．

（2）将原式首先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解后即可整体代入求值．

解答：

解：

（1）∵ab2+a2b=ab（a+b），

而a+b=2，ab=﹣3，

∴ab2+a2b=﹣3×2=﹣6．

（2）原式=

ab（a2﹣2ab+b2）=

ab（a﹣b）2，

∵a﹣b=﹣3，ab=4，

∴原式=

×4×（﹣3）2=18

点评：

此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是分解因式．

11．已知a=﹣3，是否存在实数b使等式（a+b）2+2（a+b）+1=0成立？

若存在求出b的值；若不存在请说明理由．

考点：

因式分解的应用；非负数的性质：

偶次方．283404

分析：

假设存在这样的整数b使得原式成立，然后将等式的左边因式分解后求得b值即可．

解答：

解：

设存在整数b，使得等式（a+b）2+2（a+b）+1=0成立，

则（a+b+1）2=0，

解得：

a+b+1=0，

即：

b=﹣a﹣1=﹣（﹣3）﹣1=2，

故存在整数2，使得原方程成立．

点评：

本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是把a+b看成一个整体并将方程的左边因式分解．

12．先化简，再求值：

5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣xy2+3x2y），其中x=﹣2，y=3．

考点：

整式的加减—化简求值；合并同类项；多项式乘多项式．283404

专题：

计算题．

分析：

根据单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，把xy的值代入求出即可．

解答：

解：

原式=15x2y﹣5xy2+4xy2﹣12x2y

=3x2y﹣xy2，

当x=﹣2，y=3时，

原式=3×（﹣2）2×3﹣（﹣2）×32

=36+18

=54．

点评：

本题考查了对整式的加减，合并同类项，单项式乘多项式等知识点的理解和掌握，注意展开时不要漏乘，同时要注意结果的符号，代入﹣2时应用括号．

13．动手操作：

如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．

提出问题：

（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；

（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．

问题解决：

根据上述

（2）中得到的等量关系，解决下列问题：

已知：

x+y=6，xy=3．求：

（x﹣y）2的值．

考点：

完全平方公式的几何背景．283404

专题：

几何图形问题．

分析：

（1）第一种方法为：

大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：

阴影部分正方形的面积；

（2）利用（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2可求解．

解答：

提出问题：

解：

（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2

（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2

问题解决：

（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy

∵x+y=6，xy=3．

∴（x﹣y）2=36﹣9=25．

点评：

本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．

14．因式分解：

（1）a3﹣a

（2）4x2y+4xy2+y3

（3）a2﹣b2+4b﹣4

（4）（x﹣2）2+x﹣8．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．283404

分析：

（1）先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解；

（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解；

（3）首先一、三分组，再利用平方差公式分解即可；

（4）先利用整式乘法求解，再利用十字相乘的方法或将（x﹣2）看作一个整体分解因式．

解答：

解：

（1）a3﹣a，

=a（a2﹣1），

=a（a+1）（a﹣1）；

（2）4x2y+4xy2+y3，

=y（4x2+4xy+y2），

=y（2x+y）2；

（3）a2﹣b2+4b﹣4，

=a2﹣（b2﹣4b+4），

=a2﹣（b﹣2）2，

=（a+b﹣2）（a﹣b+2）；

（4）解法1：

（x﹣2）2+x﹣8：

=x2﹣4x+4+x﹣8

=x2﹣3x﹣4

=（x﹣4）（x+1）；

解法2：

（x﹣2）2+x﹣8：

=（x﹣2）2+（x﹣2）﹣6

=（x﹣4）（x+1）．

点评：

此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤，先提公因式，再利用公式分解．

15．因式分解：

①x3﹣25x

②x2﹣6xy+9y2﹣1．

考点：

因式分解-分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．283404

分析：

①先提公因式，再根据平方差公式分解即可；

②先分组，再运用完全平方公式，最后根据平方差公式分解即可．

解答：

解：

①原式=x（x2﹣25）

=x（x+5）（x﹣5）；

②原式=（x2﹣6xy+9y2）﹣1

=（x﹣3y）2﹣1

=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）．

点评：

本题考查了分解因式，注意：

分解因式的步骤是：

有公因式，先提公因式，再看看能否运用公式进行分解，若不能再考虑运用其它方法分解．

16．按下面规则扩充新数：

已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．

①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

②能否通过上述规则扩充得到新数5183？

并说明理由．

考点：

因式分解的应用．283404

分析：

①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；

②找到规律：

设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．

解答：

解：

①∵a=2，b=3，

c1=ab+a+b=6+2+3=11，

∴取3和11，

∴c2=3×11+3+11=47，

取11与47，

∴c3=11×47+11+47=575，

∴扩充的最大新数575；

②5183可以扩充得到．

∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）﹣1，

∴c+1=（a+1）（b+1），

取数a、c可得新数

d=（a+1）（c+1）﹣1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）﹣1=（a+1）2（b+1），

即d+1=（a+1）2（b+1），

同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）﹣1，

∴e+1=（b+1）2（a+1），

设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，

当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，

又∵5183+1=5184=34×43，

故5183可以通过上述规则扩充得到．

点评：

此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．

17．为了求1+2+22+23+…+22012的值，可令s=1+2+22+23+…+22012，则2s=2+22+23+24…+22013，因此2s﹣s=22013﹣1，所以1+2+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52013的值．

考点：

同底数幂的乘法．283404

专题：

整体思想．

分析：

仔细阅读题目中示例，找出其中规律，求解本题．

解答：

解：

根据题中的规律，设S=1+5+52+53+…+52013，

则5S=5+52+53+…+52013+52014，

所以5S﹣S=4S=52014﹣1，

所以S=

．

点评：

主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．

18．先化简，再求值：

（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．283404

专题：

计算题．

分析：

先提取公因式（2x+1）并整理，然后代入数据计算即可．

解答：

解：

（2x+1）2﹣（2x+1）（﹣1+2x），

=（2x+1）（2x+1+1﹣2x），

=2（2x+1），

=4x+2，

当

时，原式=

．

点评：

本题考查的是整式的混合运算﹣﹣化简求值．本题考查了提公因式法分解因式，在化简的过程中，有时利用因式分解可以达到计算更加简便的目的．

19．如图，用一张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片，三张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．

（1）你得到的等式是　（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2　：

（2）借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b2分解因式．

考点：

因式分解的应用．283404

分析：

（1）观察图形发现该长方形的长为a+2b，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论；

（2）类似的可以用一张边长为a的正方形纸片，4张边长为b的正方形纸片，5张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙）；

解答：

解：

（1）拼接的长方形的长为（a+2b），宽为a+b，面积为a2+3ab+2b2，

所以，得到的等式为（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2；

（2）类似的可以将面积为a2+5ab+4b2的长方形看做是由一张边长为a的正方形纸片，4张边长为b的正方形纸片，5张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形，其长为（a+b）和（a+4b），

∴a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）．

点评：

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是弄清长方形的长和宽分别为多少．

20．计算：

（1）（x﹣8y）（x﹣y）

（2）x（x2﹣x+1）﹣3x（2x﹣5）

（3）（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）2（4）

（用简便方法计算）

考点：

整式的混合运算．283404

分析：

（1）根据（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn计算即可；

（2）先算乘法（根据单项式乘多项式法则），再合并同类项即可；

（3）先根据多项式乘多项式和完全平方公式计算，再合并同类项即可；

（4）化成（60+

）（60﹣

）的形式，再根据平方差公式计算即可．

解答：

（1）解：

原式=x2﹣xy﹣8xy+8y2

=x2﹣9xy+8y2；

（2）解：

原式=x3﹣x2+x﹣6x2+15x

=x3﹣7x2+16x；

（3）解：

原式=x2﹣2x+x﹣2﹣x2﹣2x﹣1

=﹣3x﹣3；

（4）解：

原式=（60+