整式的乘除.docx
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整式的乘除
整式的乘除拓展训练
考点1同底数幂的乘法
1．下列各项中的两个幂，其中是同底数幂的是（ ）
A．-a与（-a）B．a与（-a）C．-a与aD．（a-b）与（b-a）
2．m为偶数，则（a-b）m•（b-a）n与（b-a）m+n的结果是（ ）
A．相等B．互为相反数C．不相等D．以上说法都不对
3.已知2a•5b=2c•5d=10，求证：
（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
考点2幂的乘方与积的乘方
1．已知25x=2000，80y=2000，则
+
等于（ ）
A．2B．1C．
D．
2．若ax=by=1994z（其中a，b是自然数），且有
+
=
，则2a+b的一切可能的取值是（ ）
A．1001B．1001,3989C．1001,1996D．1001,19996,3989
3．小明是一位刻苦学习，勤于思考的同学，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，x2=-1，这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=-1，那么方程x2=-1可以变成x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
i1=i，i2=-1，i3=i2•i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（-1）3=-1，i7=i6•i=-i，i8=（i4）2=1，…
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
i4n+1=______，i4n+2=______，i4n+3=______，i4n+4=______（n为自然数）．
4．已知x=3-q，y-1=21-p，z=4p•27-q，用x，y表示z的代数式．
7．
（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；
（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．
8．阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24=______，log216=______，log264=______．
（2）观察
（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由
（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN=______；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：
an•am=an+m以及对数的含义证明上述结论．
考点3零指数幂
1．等式（x+4）0=1成立的条件是（ ）
A．x为有理数B．x≠0C．x≠4D．x≠-4
2．已知（x−1）x2−1＝1，则x的值为（ ）
A．±1B．-1和2C．1和2D．0和-1
3．方程（x2+x-1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．
+π0=；4101×0.2599=．
5．如果（x-1）x+4=1成立，那么满足它的所有整数x的值是．
6．若（x-1）x+1=1，则x=．
7．小丽在学习了“除零以外的任何数的零次幂的值为1”后，遇到这样一道题：
“如果（x-2）x+3=1，求x的值”，她解答出来的结果为x=-3．老师说她考虑的问题不够全面，你能帮助小丽解答这个问题吗？
8．在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：
已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN．
例如：
求log28，因为23=8，所以log28=3；又比如∵2−3＝
，∴log2
＝−3．
（1）根据定义计算：
①log381=______；②log101=______；③如果logx16=4，那么x=______．
（2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
logaM1M2M3…Mn=______．
（其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）．
（3）请你猜想：
loga
=______（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．
考点4：
负整数指数幂
1．下列运算不正确的是（ ）
A．a-3=
B．-x3÷（-x）2=-xC．若x+x-1=0，则x2-x-2=0D．
•x-1=
2．下列计算正确的是（ ）
A．[2+（-2）]0=1B．10-4•104=1C．（104）2=1016D．（3×10）3=9×103
3．若a=（-
）-2，b=（-1）-1，c=（-
）0，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
4．下列计算中，正确的是（ ）
A．2a2•3b3=6a5B．（-2a）2=-4a2C．（a5）2=a7D．x−2＝
5．下列计算正确的是（ ）
A．2a2•a3=2a6B．（3a2）3=9a6C．a6÷a2=a3D．（a-2）3=a-6
6．下列各式中，正确的是（ ）
A．（
）−2=9B．a2•a3=a6C．（-3a2）3=-9a6D．a5+a3=
7．已知：
S=1+2-1+2-2+2-3+…+2-2005，请你计算右边的算式求出S的值．
考点5整式的乘法
1．代数式a2b2，a+b，1+
+
相乘，其积是一个多项式，它的次数是（ ）
A．3B．5C．6D．2
2．如果（x2+px+q）（x2-5x+7）的展开式中不含x2与x3项，那么p与q的值是（ ）
A．p=5，q=18B．p=-5，q=18C．p=-5，q=-18D．p=5，q=-18
3．把（x2-x+1）6展开后得a12x12+a11x11+…a2x2+a1x1+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=．
4．（2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5）（3x5-3x3+2x2+3x-8）展开式中x8的系数是．
5．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：
（1）请你写出图3所表示的一个等式：
______．
（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：
（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．
6.对任意有理数x、y定义运算如下：
x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值．
考点6平方差公式
1．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2B．（2R+4）cm2C．（4R+4）cm2D．以上都不对
2．给出下列关系式：
（1）（-a2）3=-a5；
（2）−2−2＝
；（3）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（4）（0.5）2007×22008=2．其中一定成立的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=．
4．某校象棋决赛阶段共有八名选手参赛，赛制实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1；二号选手胜a2局，输b2局；…，八号选手胜a8局，输b8局．试比较a12+a22+…+a82与b12+b22+…b82的大小，并叙述理由．
5．请先观察下列算式，再填空：
32-12=8×1，52-32=8×2．
①72-52=8×______；
②92-（______）2=8×4；
③（______）2-92=8×5；
④132-（______）2=8×______；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？
请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
6．计算：
（1）1+
+
+…+
；
（2）19492-19502+19512-19522+…+19972-19982+19992；
（3）5+52+53+…十52002．
7．探索：
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1
…
（1）试求26+25+24+23+22+2+1的值．
（2）判断22008+22007+22006+…+22+2+1的值的个位数是几？
8．根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2-∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由
（1）、
（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：
4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？
为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？
为什么？
考点7完全平方公式
1．若a+b=3，则2a2+4ab+2b2-4的值为（ ）
A．16B．14C．12D．10
2．已知：
a=2000x+2001，b=2000x+2002，c=2000x+2003．则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（ ）
A．0B．2003C．2002D．3
3．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005B．2006C．2007D．2008
4．如果a-b=2，a-c=
，那么a2+b2+c2-ab-ac-bc等于（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
5．若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）
A．零B．负数C．正数D．整数
A．4B．3C．2D．1
6．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2B．总不小于7C．可为如何实数D．可能为负数
7．已知2n+2-n=k（n为正整数），则4n+4-n=．（用含k的代数式表示）
8．若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3=．
9．已知实数x，y满足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1）=
，则x+y=．
10．已知a-b=b-c=
，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于．
11．阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：
（x-1）2+3、（x-2）2+2x、（
x-2）2+
x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2-4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，求a+b+c的值．
12．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？
并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
13．已知a+b+c=1，a2+b2+c2=2，a3+b3+c3=3，求
（1）abc的值：
（2）a4+b4+c4的值．
14．已知：
x+
＝2，求：
①x2+
的值；②x3+
的值；③对任意正整数n，猜想：
xn+
的值？
（不须说明理由）
考点8完全平方公式的几何背景
1.有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+bB．2a+bC．3a+bD．a+2b
2．如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：
（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
根据以上结论解决下列问题：
（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=______；
（2）从-4，-2，-1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．
3．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为b，宽为a的矩形．C型是边长为b的正方形．
（1）请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式的图形（要求三种型号的卡片都用上），这个乘法公式是______；
（2）现有A型卡片1个，B型卡片6个，C型卡片10个，从这17个卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都是哪些情况？
请你通过运算说明理由．
考点9完全平方式
1．要使多项式（x-1）（x+3）（x-4）（x-8）+m为一个完全平方式，则m等于（ ）
A．12B．24C．98D．196
2．若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．5个
3．（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成（ ）
A．a＜b＜cB．（a-b）2+（b-c）2=0C．c＜a＜bD．a=b≠c
4．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（ ）
A．6B．12C．±6D．±12
5．若x2-16x+m2是一个完全平方式，则m=；若m-
=9，则m2+
=．
6．a2x2-4x+b2是一个完全平方式，则ab=．
7．是否存在一个三位数
（a，b，c取从1到9的自然数），使得
+
+
为完全平方数？
考点10整式的除法
1．多项式x12-x6+1除以x2-1的余式是（ ）
A．1B．-1C．x-1D．x+1
2．（a4-16b4）÷（a2+4b2）÷（2b-a）等于（ ）
A．a-2bB．a+2bC．-a-2bD．-a+2b
3．已知多项式ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，则a+b=．
4．已知x2+2x+5是x4+px2+5q的一个因式，那么p+q的值等于．
5．已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x-4整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．
6．阅读下面一段话，解决后面的问题．
观察下面一列数：
1，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比．
（1）等比数列5，-15，45，…的第四项是______．
（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
＝q，
＝q，
=，…所以a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q=a1q3，…，an=______（用含a1与q的代数式表示）．
（3）一个等比数列的第二项是10，第三项是20，则它的第一项是______，第四项是______．
考点：
整式的混合运算
1．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a=
bB．a=3bC．a=
bD．a=4b
2．若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：
①（a-b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中为完全对称式的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．已知
（=（a-b）（c-a）且a≠0，则
=．
4．若代数式x（x+1）（x+2）（x+3）+p恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1且一次项系数相同），则p的最大值是．
5．将3x3-10x2+13表示成a（x-2）3+b（x-2）2+c（x-2）+d的形式，那么a=，b=，c=，d=．
6．两个电脑仓库供应三所学校所用的电脑，甲仓库有12台，乙仓库有20台．A校需9台，B校需15台，C校需8台．已知甲仓库到A、B、C三校的距离依次为10千米、5千米、6千米；乙仓库到A、B、C三校的距离依次为4千米、8千米、15千米．若每台每千米的运费为常数a元，则甲仓库供应给A校台，B校台，C校台，使总运费最省．
7．定义一种对正整数n的“F运算”：
①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为
（其中k是使
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n=26，则：
若n=449，则第449次“F运算”的结果是．
8．已知α+β=1，αβ=-1．设S1=α+β，S2=α2+β2，S3=α3+β3，…，Sn=αn+βn
（1）计算：
S1=______，S2=______，S3=______，S4=______；
（2）试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系；
（3）根据以上得出结论计算：
α7+β7．
9．探究应用：
（1）计算（a-2）（a2+2a+4）=______；（2x-y）（4x2+2xy+y2）=______．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：
______（请用含a．b的字母表示）．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A．（a-3）（a2-3a+9）B．（2m-n）（2m2+2mn+n2）
C．（4-x）（16+4x+x2）D．（m-n）（m2+2mn+n2）
（4）直接用公式计算：
（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=______；（2m-3）（4m2+6m+9）=______．
10．现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张．请你把它拼成一个长方形，并写出你的拼图思路．
11．若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，证明：
2y=x+z．
12．求出所有的正整数n，使得12+22+32+42+…+n2-（n+1）2-（n+2）2-（n+3）2-…-（2n-1）2-（2n）2=-10115
（参考公式：
1+2+3+4+…+n=
）
考点：
化简求值
1．已知x=1999，则|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7=．
2．已知正数a，b，c，满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=99，则（a+1）（b+1）（c+1）=．
3．已知，a+b=4n+2，ab=1，若19a2+147ab+19b2的值为2009，则n=．
4．化简求值：
（2x-y+3z）（-2x-y-3z）-（x+2y-3z）2，其中x=1，y=-1，z=1．
5．已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求a15+b15+c15的值．
6．求证多项式（a−x）6−3a（a−x）5+
a2（a−x）4−
a4（a−x）2当0＜x＜a时，只取负值．
7．
（1）设x+2z=3y，试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．
（2）已知x2-2x=2，将下式先化简，再求值：
（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）．
综合：
1．若x2-3x+1=0，则x2+
的值是（ ）
A．8B．7C．3±
D．7±
2．设x、y、z是三个实数，且有
，则
的值是（ ）
A．1B．
C．
D．
3．已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
4．若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（ ）
A．零B．负数C．正数D．整数
5．已知（x+y+z）2≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为．
6．已知实数x、y满足x2+
y=
，y2+
x=
，且x≠y，则：
+
的值是．
7.满足（x2+x-1）x+3=1的所有x的个数有个．
8．若实数a满足a3
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