高三理科数学高考模拟检测卷及答案.docx
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高三理科数学高考模拟检测卷及答案
届山东省德州市高三第一次练兵（理数）
1.i是虚数单位,占匚二（）
『（i+l）
（A）-l（B）l（O-i（D）i
2.已知｛勺｝是等差数列,%+%=4,%+%=28，则该数列前10项和九等于（）
A.64B.100C.110D.120
log）x,x>0,1
3.已知函数/（x）=〈-若/（〃）=—,则。
=（）
2\x<0.2
♦
A.-1B.y/2C.-1或&
D.1或-V1
4.统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如
右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数
与优秀率分别为
A80020%B
98020%
C98010%D
80010%
5.命题p：
若a,beR,则IaI+1〃1>1是I〃1>1的充分不必要条件：
命题q：
函数y=Jlx-11-2定义域是（一8,-1）d[3,+s）,则（）
A.“p且q”为假B.“〃或q”为真C.p真q假D.p假q真
6.已知正四棱锥S-ABCD的三视图如下，若E是SB的中点，则AE、SD所成角的余弦值为（）
2
/八1/n\y/33
（A）一（B）——（0——（D）--33311
7.若实数x,），满足lx-ll-ln«L=O,则y关于x的函数的图象大致是（）.y
③若机J>a,机〃/7,则。
_1/7；④若〃?
〃“"2ua,则用〃a.
其中真命题的序号是
9.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=Y和曲线y=J7围成一
个叶形图（阴影部分），向正方形A03C内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）
（A）-2
（C）-4
10.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为〃。
〃必此e{°，*，=°』，2）,传输信息为%），%出“2%，其中%=品㊉=儿㊉。
2，㊉运算规则为。
㊉0=0,0㊉1=1]㊉0=1,1㊉1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,传输信息在传输过程中受到干扰可能
导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（）
（A）11010（B）01100（010111（D）00011
22
11.已知点尸是双曲线二-二=1（。
>0/>0）的左焦点，点方是该双曲线的右顶点，过尸且垂直于X轴的直线与双cr卜
曲线交于从5两点，若NU国是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）
A.（1,+8）B.（1,2）C.（1,1+、历）D.（2,1+V2）
12.令a=tanO.b=sinB,c=cos8,8=<例一三v£<艺且0且8W工则8W工
4442
如图所示的算法中，给e一个值，输出的为sine,则。
的范围是（）
二、填空题
y>0,
13
.实数满足不等式组（x-yNO,
2x-y-2>0,
14.若回尸=G；6,则（4一）“展开式中的常数项是
15.设M是445C内一点且获AC=26sAe=30。
定必（M）=（叽，i,p）,
其中〃】、〃、p分别是4Mbe的面积，若〃M）=（Lx,y）则上+3
2xy
的最小值是.
16.己知AA5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AH为BC边上的高，给出以下结论:
①AC・-=csinB；②4。
（AC-A4）=b2+c2-2bcosA；
\AH\
③丽.（瓦+就）=丽・瓦④丽•就=加.
其中正确的是（写出所有你认为正确结论的序号）
三、解答题
17.（本小题满分12分）
AAAA、/
在AABC中，b,c分别为内角B,C的对边长，设向量而=（cos—「sin—）,方=（cos—,sin—）,且有历•亓=.22222
（1）求角A的大小；
（2）若4=7可，求三角形面积的最大值.
18.（本小题满分12分）
某休闲会馆拟举行‘'五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动.抽奖活动规则是：
从一个装有分值分别为1，2,3,4,5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：
若抽得两球的分值和为12分，则获得价值为，〃元的礼品；若抽得两球的分值和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值和低于10分，则不获奖.
（1）求每位会员获奖的概率；
（2）假设会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱，则，〃应为多少元？
19.（本题满分12分）如图，平而ABCDJ_平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是2
EF的中点.
（1）求证平面AGCJ_平面BGC：
（2）求GB与平面AGC所成角正弦值：
（3）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值，
20.（本小题满分12分）
设Sn是数列｛4｝的前〃项和,且工=2an-25eN）.
（1）求数列｛““｝的通项公式；
<2）设数列也｝使“也+地+…+。
也=（2n-l）2n+,+2（〃eN）,求也｝的通项公式；
（3）设的=——（heN*）,且数列｛。
力的前〃项和为7；“试比较与■!
■的大小.
（1+5）24
21.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=--aInx在（1,2］是增函数，8。
）=%-“«在（0,1）为减函数.
（1）求/（力、g（x）的表达式;
（2）求证：
当X〉。
时，方程/（x）=#（x）+2有唯一解：
（3）当〃>一1时，若f（x）N次-，在x£（0,1］内恒成立,求b的取值范围.
尸
22.（本小题满分14分）
过点丁（2,0）的直线/:
x=〃?
y+2交抛物线y'4x于A、B两点.
（1）若直线/交y轴于点M,且/加=4近加&=43元当机变化时，求4+4的值：
（2）设A、8在直线g:
x=〃上的射影为。
、E,连结AE、8。
相交于一点M则当/〃变化时，点N为定点的充要条件是，=-2.
参考答案
［一；,“.-8018©©③④
17.（本小题满分12分）
AAAA
在A45C中，b,c分别为内角B,C的对边长，设向量丽=（cos^Lsin—）,万=（cosJ,sin—）,且有所♦亓=".
22222
（1）求角A的大小；
（2）若〃=石，求三角形面积的最大值.
22222
因为A€（0,n）,所以A=35分
4
17^解：
（1）由而•日得：
cos22-sin?
2=YZ；即cosA
（2）由a2=/?
2+c?
-2Z?
ccosA
得：
b-c?
-亚bc=57分
XZ?
2+c2>2bc
：
.5<（2-物be
12分
18.（本小题满分12分）
某休闲会馆拟举行''五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动.抽奖活动规则是：
从一个装有分值分别为1，2,3,4,5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：
若抽得两球的分值和为12分，则获得价值为〃?
元的礼品；若抽得两球的分值和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值和低于10分，则不获奖.
（1）求每位会员获奖的概率：
（2）假设会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱，则m应为多少元？
18.解：
（1）两次抽取的球的分值构成的有序数对共有36对，其中分值和为12的有1对，分值和为11的有两对，分值和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为
1+2+31
p==-5
366
（2）设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量，，则
P也=30-〃2）=』，〃侑=-70）=三广=,3ojo3o
〃（4=30）=1-=-70）-p您=30-m）=8分
6
则宾馆获利的期望为£
=--（30-/h）+—x（-70）+-x30=58。
3636636
12分
若会馆这次活动打算既不赔钱也不赚钱，则E；=0,所以，〃?
=580・1
19,（本题满分12分）如图，平而ABCDJ_平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形，且=G是2
D..C
/V/f/
EF的中点.
（1）求证平而AGC_1_平面BGC：
<2）求GB与平面AGC所成角正弦值：
（3）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值.
19.解法一（几何法）
（1）证明：
正方形ABCD=>CB1AB•/而ABCDJ"而ABEF且交于AB,
，CB_L而ABEFVAG,GBu而ABEF,，CB_LAG,CB1BG
又AD=〃，AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点，
，AG=BG=历，AB=2a,AB-AG2+BG2,AAG1BGVCGABG=G,
，AG_L平而CBG面AGu而AGC,故平而AGC_L平面BGC.…4分
（2）解：
如图，由（【）知而AGC_L而BGC,
且交于GC,在平面BGC内作BH_LGC,
垂足为H,则BH_L平而AGC,
JZBGH是GB与平面AGC所成的角
ARtACBG中BH="丝=产收=空“
CGyiBC2+BG23
又BG=42a,，sinZBGH=色^=—8分
BG3
（3）由（H）知，814，面人0€,作BO_LAC,垂足为O,连结HO,
则HO_LAC,，NBOH为二而角B—AC—G的平面角在RtZ\ABC中，BO=瓜1
在RtZ\BOH中，sin/BOH="=灭
BO3
即二而角B-AC-G的平面角的正弦值为……12分
3
［方法二］（向量法）
解法：
以A为原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴建立直角坐标系,则A（0,0,0）,B（0,2，，0）,C（0,2”，2。
），G（小。
，0）,F（〃，0,0）
（1）证明:
略.
（2）由题意可得=（d4,0）,抚=（0,2a,2a）,
AGnl=0
AC^=0
sin8=
（3）因〃;=（西,）［』）是平面AGC的法向量，又AF_L平面ABCD,
.,•二而角B-AC-G的的平而角的正弦值为如
3
设Sn是数列｛4｝的前〃项和,且S.=24—2（/1eN）.
（1）求数列｛q｝的通项公式;
（2）设数列他｝使他+a2b2+…+abn=（2〃-1）2"'+2（〃eN.）,求也｝的通项公式:
（3）设如=一二
（1+b）
（»eN-）,且数列｛cj的前〃项和为〃，试比较了“与3的大小.
解：
（1）VS=26/-2（neN0）,:
・S=2a-2,
于是出什i=S/i—S〃=（2tznM-2）—（2a〃-2）,即2分
乂“i=S】=2"i—2,得“i=2.1分
・••｛””｝是首项和公比都是2的等比数列，故〃“=2”.1分
（2）由。
也=（2X1-1）X21"+2=6及川=2得bi=3.1分
当〃N2时，（21）2、+2=岫+a2b2+…+〃也
二[2（n-1）-1]2«1川+2+abix=（2n-3）2〃+2+abn,
Aab=（2〃-1）2"“一（2〃-3）2"=（2n+1）2\2分
wn
\・%=2〃，：
.bn=2n+\（h>2）.1分
：
.b=《=2〃+l（〃eN）.1分
〃[2〃+L（n>2）
（l+/?
n）2（2〃+2『4（〃+l）24n（n+1）4\/?
?
?
+l
2分
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x2-aIna-在（1,2］是增函数，g（x）=x-“正在（0,1）为减函数.
（1）求/（%）、g（x）的表达式；
（2）求证：
当x〉0时，方程〃x）=g（x）+2有唯一解：
（3）当〃>—1时，若f（x）22bx-」在x£（0.1］内恒成立,求b的取值范围.尸
21.解：
（1）/'（X）=2x-二依题意ff（x）>0^e（1,2］，即a<2x2,ae（L2］.x
•••上式恒成立，，aK2①1分
又/（x）=l--,依题意<（x）277,xe（OA）.2y/X
V上式恒成立，，67>2.②2分
由©®得4=2.3分
/.f（X）=a2-21nX,g（x）=x-2yfx.4分
（2）由
（1）可知,方程/（x）=g（x）+2,即『-2Inx-x+14x-2=0.
2i
设/?
（x）=x2-21nx-x+2y[x-2,则力'（x）=2x-二一1+.
xJx
令〃'（x）>0,并由x>0,得（五一l）（2x五+2x+4x+2）>0,解知X>1.5分令hf（x）v0,由x>0,解得0列表分析:
X
（0,1）
1
（1,-00）
h\x）
—
0
+
h（x）
递减
0
递增
可知h（x）在x=1处有一个最小值0,7分
当x〉0且时，/?
（x）>0,
・•.〃。
）=0在（0,+QO）上只有一个解.即当x>0时,方程/（x）=g（x）+2有唯一解.8分
（3）
122
设。
（幻=/-2lnx-2Z?
x+—则Q（x）=2x___2Z?
_y<0,9分
厂x第
.,.。
（.0在（0,1]为减函数「.夕（'）1^=。
（1）=1-2〃+120又b>-111分
所以：
一1<601为所求范围.12分
22.（本小题满分14分）
过点7（2,0）的直线/:
x=my+2交抛物线卜心以于A、8两点.
（1）若直线/交y轴于点M，且/加=4k,=大当机变化时，求4+4的值：
（2）设A、8在直线g:
x=〃上的射影为。
、E,连结AE、BO相交于一点M则当/〃变化时，点N为定点的充要条件是n=-2.
22.解：
（1）设A（X[,%）,3（々，为）
.
x=my+2）
由'得>广_4〃少_8=0.
厂=4x
・・.x+y2=46,%y2=-8・2分
2—►―►?
又M（（）,__）,•.•MA=4A7，即（内，M+—）=4（2—.，一弘）,nm
—=一4乃，得4=一]——.
mmy}
——►—►?
同理，由加8=487.得人=一1一——4分
■■,明
。
。
.2/11、-2（y+）\）-8/?
7,，八
・二4+4=-2——
（1）=—2—-=—2+—=—16分
，〃乃乃，四为
（2）方法一：
首先，=一2时，则。
（—2,yi）,A（叩1+2,%）,E（-2,7）,仅冲2+2,丫2）,
fEA:
y-%=―—=（x+2）②8
myx+4
①一②得y2一>]=（x+2）（%一M）（---7+—乃丰）'】，my2+4冲1+4
.X=]_2="/必当+〃厅“'2=8〃?
-8〃7=0
[+]my2+4/ny2+4
/ny2+4rnyt+4
N（0,0）为定点.10分
反之，若N为定点，设此时£）（〃,〉[）,石（〃,乃），
则ND=（n,yJ,NB=（my2+2,为）.
由。
、N、8三点共线，，政[乃+2y-=0・③
同理E、N、A三点共线，，可斐+2%一孙=。
・④12分
③+④得2殁［为+2（M+y2）-〃（凶+y2）=°，
即-16m+Sm—47n=0,（〃+2）=0.故对任意的m都有n=-2.14分
方法二：
当机=0时，A（2,2、纭），B（2,-^2）,D（〃，2&）,E（〃，一2、伤）.
••,A8EO为矩形，，直线AE、8。
的交点N的坐标为（上20）.8分
2
当m¥Ofl寸,DQi,弘）,E（n,y2）,vAN=-x,-y1）,NE=（以二,y2），
rllln+2、7/-2〃+2〜n-2
则（一^-一匹）乃+—^―M=（―5――"叫一2）%+—^―乃乙4乙乙
n—2
=—^―（乃+）'i）一1％=2机（〃.2）+8用
=2〃z（2+〃）（*）
同理，对丽、而进行类似计算也得（*）式.12分
即〃二-2时，N为定点（0,0）.
反之，当N为定点，则由（*）式等于0,得〃=-2.14分
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