数值分析复习题及答案0829181216.docx
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数值分析复习题及答案0829181216
数值分析复习题
3.通过点xo，yo
Xl，yi的拉格朗日插值基函数
lox,hx满足（
、选择题
1.3.142和3.141分别作为
的近似
、数具有（）
和
（）位有效数字•
A.4和3
B.3和2
C.
3和4
D.4和4
2
1
2
1
fxdx
-f
1
Af（：
）
f
（2）
2.已知求积公式
1
6
3
6
，则A=（）
1
1
1
2
A.6B
.3c.
2
D.
3
A.loX=0,
l1为0
B.
1。
X。
=0,
hX
1
C.loXo=1,
l1为1
D.
l0X0=1
I1X1
1
fx
4.设求方程
0的根的牛顿法收敛，
则它具有（
）
敛速。
A.超线性B.平方C.线性
D.三次
为2x2x30
2x12x23x33
5.用列主元消元法解线性方程组
x（3x22
作第一次消元后得到的第
3个方程（
X2X32
2x21.5x33.5
C.
2x2X3
3DX20.5X3
1.5
、填空
1.设x2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值x=
2•设一阶差商
则二阶差商
X1,X2
fX1,X2,X3
X2
X1
X2,X3
X3
X2
3.设X（2,3,
1）T,则Mik
||X||
4.
2
求方程xx
1-250的近似根，用迭代公式
x■x1.25，取初始值沧1，那么X1
5.
解初始值问题
y'f（x,y）
y（xo）Yo近似解的梯形公式是
Yk1
6、
，则A的谱半径；打=
2
7、
f（X）3x5,xkkh,k0,1,2,…,则fXn,xn1,Xn2
Xn，人1,xn2,xn3
若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都
9、
解常微分方程初值问题的欧拉（
Euler）方法的局部截断误差为
y10—
10、为了使计算x1
_2
（xJ?
（x的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写
11•设X（2,3,4）[则
IIX11
I|X||2
12•—阶均差fx0,x1
13.已知n3时，科茨系数
C。
3
1，C13
C/3，那么
C33
14.因为方程
2x
0在区间
1,2上满足
，所以
X0在区间内有根。
15.取步长h0-1，用欧拉法解初值问题
的计算公式
16.设X2.40315是真值X2.40194
的近似值,
位有效数字。
17.对f（X）x
3x1,差商f[Q1,2,3]
）。
18•设X（2,3,7）T,则||X|1
n
ili（x）
i0（）.
22.
设f（x）可微，则求方程xf（x）的牛顿迭代格式是（
）.
23.
（k1）（k）
迭代公式入BX
收敛的充要条件是
24.
解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式
9x1x28
组x15X24，解此方程组的雅可比迭代格式为（
X（k1）
Bx（k）
中的B称为（
）.给定方程
n
Ckn）
19•牛顿一柯特斯求积公式的系数和k0
20.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有（）位有效数字•
2i.lo（x）,h（x）,,ln（x）是以0,1,,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则
25、数值计算中主要研究的误差有
26、设lj（X）（j0,1,2Ln）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
Ij（Xi）
（i,j
0,1,2Ln）；
n
lj（x）
j0
27、设lj（x）（j0,1,2Ln）是区间⑻可上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为
n
Aj
Aj
型求积公式中求积系数Aj；且j0。
28、辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式为。
2
29、f（x）x1,则f[1,2,3],f[1,2,3,4]。
30、设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值，则x*有位有效数字。
31设f（x）x3x1,则差商（均差）f[0,1,2,3]f[0,1,2,3,4]
32.求方程xf（x）根的牛顿迭代格式是
33•已知
12
34则州
三、计算题
3
f（x）x,x°
1•设
1彳9
x1x2
44
1
9
（1）试求fX在4
1
4上的三次Hermite插值多项式
x使满足
34.方程求根的二分法的局限性是
H（Xj）f（Xj）,j0,1,2,…H（xjf（xd
（2）写出余项R（x）f（x）H（x）的表达式
以升幕形式给出。
2.已知
鈕右-3<1
眼E满足八'，试问如何利用
八"构造一个收敛的简单迭代函数
-0,1…收敛?
Yn1yn1-（yn14yn『n1）
3.推导常微分方程的初值问题
y'f（x,y）
yd。
）y。
的数值解公式:
（提示：
利用Simpson求积公式。
）
X1
2x2
3x3
14
2为
5x2
2X3
18
4.利用矩阵的LU分解法解方程组3X1
X2
5X3
20
1
盖i
0
1
2
2
1X的一组数据：
y
1
15
C.2
y
5.已知函数
求分段线性插值函数，并计算f匸5的近似值.
10x-|x22x37.2
x-i10x22x38.3
6.已知线性方程组
x-ix25x34.2
（1）写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；（
于初始值
1
X（保留小数点后五位数字）
8.写出梯形公式和辛卜生公式,
并用来分别计算积分
1丄dx
01X
9•用二次拉格朗日插值多项式
L2（x）计算sin0.34
的值。
插值节点和相应的函数值是（
0，0），
（0.30，0.2955）,（0.40，0.3894）。
10.用二分法求方程f（x）X
0在HO1.5］区间内的一个根，误差限
102。
11.用高斯-塞德尔方法解方程组
4x1
2x2
X3
11
X1
4x2
2x3
18
2x1
X2
5X3
22
（°）/ccc\T
，取x（0,0,0），迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。
12求系数A,A2和A3,使求积公式
1
1f（x）dx
A1f
（1）
1
A2f（3）
1
AJ（丄）对于次数
3
2的一切多项式都精确成立
3x1
2X2
10X3
15
10X1
4X2
X3
5
13.
对方程组
2X1
10X2
4X3
8试建立一种收敛的
Seidel迭代公式，说明理由
1
f（x）dx
Af（0.5）Bf（x1）
Cf（0.5）宀
14.
确疋求积公式
1
的待定参数，使其代数精度尽量高,
数精度.
y
3x
2y
0X1
15.设初值问题
并确定其代
.
（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;
y（o）1
（2）写出用改进的
Euler法（梯形法）、步长
h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2,保留两位小数。
16.取节点X。
0,X10・5,x21，求函数y
eX在区间［°,1］上的二次插值多项式P2（X），并估计误差。
17、已知函数yf（x）的相关数据
i
0
1
2
3
0
1
2
3n
1
3
9
27
屈P（-）
由牛顿插值公式求三次插值多项式^（刈，并计算2的近似值。
x（0,0.6）
。
yyx1,
18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h°」,y（°）1.
19.确定求积公式
h
hf（x）dx
A°f（h）Af（0）AJ（h）
o
1
2
3
4
5
4
45
6
8
S.5
中待定参数A的值（i°，1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度
24、用Gauss消去法求解
2%
3x2
4X3
6,
3为
5x2
2x3
5,
求它的拟合曲线（直线）。
用列主元消去法解线性方程组
4为
3x2
30x3
32
22.已知
20、已知一组试验数据如下
-1
2
4
5
4
5
1
（1）用拉格朗日插法求f（x）的三次插值多项式；
（2）求X,使f（x）0
确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度
轨-h）+珈（可）
1
+評
1
亠評
11
•试求x1，X2使求积公式1f（x）3[f（
1）
2f（xJ3仏）]
的代数精度尽量高，并求其代数精度。
•取步长
h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题
2x5y
y
（1）1
y'
（1x2）
12x13x2
18为3x23%
.用列主元消去法求解方程组
并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
x-!
x2x；36
用牛顿（切线）法求，3的近似值。
取Xo=l.7，计算三次，保留五位小数。
29、已知数据如
2
1
1.4
1.8
22
2.6
0.931
0,473
0.297
0.224
0168
1
求形如ya—bx拟合函数。
30、用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin°.34。
插值节点和相应的函数值如下表。
00
mo
0.4&
K=畑
0.0
02955
0.3894
31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h0.2
yyx,
y（0）1.
x（0,0.8）
。
32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。
其中
302
A021
212
简述题：
叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么?
数值分析复习题答案
、选择题1.A2.D3.D4.C5.B
、填空1、2.3150
2、
fX2,X3
fX1,X2
5
3
2
11
X3
X1
41
6
f冷冷乂彳
3、6和144、1.5
yk
5、
Xk』k
fXk1,yk1
6、
（A）
.6
7、
23,f
y10
（x1）
fx0fx1
1
11.
9和29;12.怡X1
13.8
收
8、
Xn,Xn1,Xn
0；
Xn,人1,Xn2,Xn3
0.1
yk1
yk1.1-
2
1
0.1k
一f1f20
y01
14.
15.
Xnf（Xn）
Xn1Xn
21.x；22.
1f（Xn）；
23.（B）
1;24、
敛9、
10、
b
k0,1,2L
;16、3
；17、1；
18、7;19、
1;20.3
k1
X1
£（8x2k））
k1
X2
£（4xH
迭代矩阵，
5
;25.相对误差
绝对误差
1,ij,
26.0,ij1；27.至少是n
lk（x）dx
b-a
；28.3
ba
180
（b
f（4）（
）,
（a,b）
；29.10；30、
Xn1
4；31、1，0；32、
Xnf（Xn）
1fg；33、
7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。
143
263
2233
1
XX
X
X
—
1.解：
（1）
225
450
450
25
19
21
9
19
Rx
2（X-）（x
1）2（x
-）,
（x）
（―,—）
（2）4!
16
4
4
44
二、计算题
2.解：
由X
（X），可得X3x
（x）
3x
1
-（（X）3x）
2
（x）
因（x）
1'
2（（x）3）'故
（X）
（X）-3
故xk1
1
仇）1（Xk）3xk
k=0,1，•…收敛
数值积分方法构造该数值解公式：
对方程
f（X）在区间人1,Xn1上积分,
Xn1
y（Xn1）得
y（Xn1）
Xn1
f（x,y（x））dx
，记步长为h,
对积分
Xn1
f（x,y（x））dx
*1用Simpson求积公式得
Xn1
f（x,y（x））dx
Xn1
2h
百f（Xn1）
4f（Xn）f（Xni）
h'
3（yn1
4ynyn1）
所以得数值解公式:
yn1
yn
h''
1-（yn14yn
yn1）
4•解
ALU
24
令Lyb得y
（14,
10,
72）t,
Uxy得x
（1,2,3）t.
5.解X0,1
%X
x0
0.5
10
10.5x
x1,2%x
0.5
0.20.3x0.8
所以分段线性插值函数为
%x
10.5xx0,1
0.80.3xx1,2
%1.5
0.80.31.50.35
6.解：
原方程组同解变形为
X
0.1x2
0.2X3
0.72
X2
0.1x1
0.2X3
0.83
X3
0.2x1
0.2x2
0.84
雅可比迭代公式为
m1
X
0.1x2m
0.2x3m
0.72
m1
X2
0.1x1m
0.2x3m
0.83
m1
m
m
X3
0.2x1
0.2X2
0.84（m0,1...）
高斯-塞德尔迭代法公式
m1
X1
0.1x2m
0.2x3m
0.72
m1
X2
0.1x1m1
0.2x3m
0.83
m1
X3
0.2x1m1
0.2x2m
10.84
（m0,1...）
用雅可比迭代公式得
x1
0.72000,0.83000,0.84000
用高斯-塞德尔迭代公式得
x1
0.72000,0.90200,1.16440
_fx
7.解：
x3
3x
fx3x2
12x
24
0，故取
X2作初始值
迭代公式为
Xn
Xn1
Xn1
Xn
3
xn1
Xn1
3x
3xn1
X1
2x^11
3Xn1
1）
n1,2,…
X0
233
3221
1.88889
21.888893:
1.888892
1.87945
X3
方程的根
0.009440.0001
1.8794531
1.879452
1.87939
X3
X2
0.00006
0.0001
1.87939
8.解梯形公式
dx
应用梯形公式得
01
—dx
x
0.75
辛卜生公式为
4f（专）f
2
应用辛卜生公式得
1丄dx
01X
04咛）
9.解
（xxj（xX2）
L2（x）
（X0Xj（X0
=0.333336
X2）
10.用二分法求方程
f（x）
Xi
X4
1.25X2
1.34375x5
fo
（x
1]
25
36
Xo）（xx2）
f1
（X1X°）（X1X2）
x3
1.375
1.328125
（xXo）（xXi）
（X2
x10在[1.0,1.5]
X31.3125
x61.3203125
xo）（X2Xi）
区间内的一个根，误差限
102。
X1（k
1）
1（11
4
2x2k）
x3k））
x2k
1）
〔（18
4
X1（k1）
2x3k））
x3k
1）
1（22
2x1k1）
x2k1）
迭代公式
11.解
k
疔）
a
0
C'
Q
1
2.75
12125
2.5375
2
0.20938
3.1789
P3.68051
3
024043
2.5537
3.1339
12.解:
11
1
1
2
AAA32
A-A.-Ab
33
0AA2
9
9A3
3
1
3
A2
A0
A3
2
13.解：
调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
10务4x2x35
2xi10x24x38
3为2x210x315
故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛•迭代格式为
（k1）
Xi
1
衩
4x2k）
（k）
X3
5）
x2k一）
1
2x；k一）
4x3k）
8）
（ki）
一0（
3才一）
2x2k
i）
15）
10
取x（°）（0,0,0）T经7步迭代可得.X*x（7）（0.999991459,0.999950326,1.000010）T
14.4.解
3.假设公式对f（x）1,x,x2,x3精确成立则有
A
B
C2
0.5A
Bx1
0.5C
0
2
2
0.25A
Bx一
0.25C
—
3
0.125A
Bx；
0.125C
0
解此方程组得AC4,B2
33
求积公式为
1i
f（x）dx[4f（0.5）2f（0）4f（0.5）],当f（x）x4时，
i3
2i
左边一右边一左边右边代数精度为3o
56
15•解⑴yn1
yn0.1（3Xn
2yn）
0.3xn
1.2yn
0.2
⑵yni
yn
2
-（3Xn2yn）
3（Xn
0.2）
2yni
=yn
0.1（6Xn
2yn2yn一
0.6）
3
3
3
yni
yn
—
Xn
2
4
40
3
3
3
633
3
迭达得
yi
1.575,y一-
2.585
2
40
2
404
0.240
16.解：
1
0.5
e
e
e1
0.5‘
0
e1
1
0.5
0.50,c、,小l、
P2（X）
e
（X
0）
（x0）（x0.5）
0.50
10
0.5
1+2（e
1）x
2（e12e
0.51）x（x0.5）
xM
maxy
x0,1
1,exP2（x）
「x0.5）（x1）
1P2（x）3!
-|x（x0.5）（x1）
17、解：
差商表
/［心吗J
产［亦和“无+?
］
a
0
i
1
1
3
2
2
2
D
6
2
3
3
27
8
6
由牛顿插值公式:
P3（x）N3（
43
x）x
3
2x
8
x
3
1,
3p3（）
仙
2（}
8
（丄）
12
2
32
2
3
2
18、解:
f（x,y）
yx1,
y。
1,h
0.1,
yn1yn
0.1（Xn1
yn）,
（n
0,1
l,2,3,L）
y°1,
yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;
AA缶，A-h
33
1.056100;1.090490;1.131441.
f（x）X°时公式不成立，从而精度为
5a15b31
20、解：
设『abx则可得15a55b105・5
于是a2.45,b1.25，即y2.451.25x。
解:
2
3
4
6
4
330
32
4330
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