数学物理方法-留数定理及其应用.ppt

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第五章留数定理及其应用,第一节留数及留数定理第二节应用留数定理计算实函数的积分,留数的概念,则称f（z）的Laurent级数中（z-z0）-1的系数a-1为f（z）在z0点的留数（也称残数），记为,或,设z0是函数f（z）的孤立奇点，则由Laurent定理知：

在z=z0点的某个去心邻域内f（z）可展开成Laurent级数,第一节留数及留数定理,系数a-1的特殊作用,如何计算留数，或系数a-1,第一节留数及留数定理,留数的计算方法,

（1）一般方法：

利用留数的定义来求留数,

（2）根据孤立奇点的类型来计算留数,（A）可去奇点,（B）m级极点,第一节留数及留数定理,求留数举例,第一节留数及留数定理,留数定理,设函数f（z）在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zN外解析，并且直到边界连续，则有,第一节留数及留数定理,留数定理的应用,设,第一节留数及留数定理,第一节留数及留数定理,Newton-Leibnitz公式,其中函数F（x）是函数f（x）的原函数,困难：

求原函数,问题：

寻找一条新的方法,定积分的计算,第二节应用留数定理计算实函数的积分,设函数f（z）在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,zN外解析，并且直到边界连续，则有,其中,可去奇点：

m级极点：

本性奇点：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,建立定积分与复变函数闭合回路积分的关系,1.利用复值函数建立实参数到复平面中的闭合曲线的变换,例,第二节应用留数定理计算实函数的积分,2.利用实函数到复函数的自然扩张,a,b,a,b,第二节应用留数定理计算实函数的积分,利用留数定理计算实积分的步骤：

将实积分化成闭合回路的复积分,利用留数定理,计算留数,第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型一,其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为0,2,第二节应用留数定理计算实函数的积分,例2：

例1：

其中01,举例：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型二,其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为（-,）,无穷积分的收敛性,柯西主值,第二节应用留数定理计算实函数的积分,成立的前提:

（1）f（z）在上半平面只有有限个奇点

（2）,将实积分化成闭合回路的复积分,利用留数定理,第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明I：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明II：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,奇点z=/2i,3/2i,，周期2i,计算积分,设,第二节应用留数定理计算实函数的积分,问题：

思考：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,类型三,成立的前提:

（1）f（z）在上半平面只有有限个奇点

（2）,其中被积函数f（x）在实轴上无奇点；积分区间为（-,）,m0,第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明I：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,说明II：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,奇点z=/2i,3/2i,，周期2i,计算积分,设,第二节应用留数定理计算实函数的积分,思考：

第二节应用留数定理计算实函数的积分,实轴上有奇点的情况,第二节应用留数定理计算实函数的积分,补充例题,第二节应用留数定理计算实函数的积分,第二节应用留数定理计算实函数的积分,