多元函数微分学及其应用归纳总结.docx
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多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章多元函数微分法及其应用
一、多元函数的基本概念
1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念
2、多元函数的极限
limf（x,y）A（或limf（x,y）A）的定义（x,y）（x0,y0）PP0
掌握判定多元函数极限不存在的方法：
（1）令P（x,y）沿ykx趋向P（x0,y0），若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；
（2）找两种不同趋近方式，若limf（x,y）存在，但两者不相等，
（x,y）（x0,y0）
此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，
等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：
例1．用定义证明（x,yli）m（0,0）（x2y2）sinx21y20
x2y2
例2（03年期末考试三、1，5分）当x0,y0时，函数x2yx2（xy2y）2
的极限是否存在？
证明你的结论。
xy22
22,xy0
例3设f（x,y）
x2y2，讨论limf（x,y）是否存在？
（x,y）（0,0）
0, x2y20
例4（07年期末考试一、2，3分）设f（x,y）
0,
2
xy
24
xy
22
x2y20
，讨论
x2y20
（x,yli）m（0,0）f（x,y）是否存在？
例5．求（x,yli）m（0,0）
sin（x2y）
22xy
3、多元函数的连续性（x,y）lim（x,y）f（x,y）f（x0,y0）
（x,y）（x0,y0）
一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含
在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”
x3y3
2
例1．讨论函数f（x,y）x2y
0,
x2y20
在（0，0）处的连续性。
22
x2y20
例2．（06年期末考试十
，4分）试证f（x,y）
2
xy
24
xy
0,
2
x
2
y0在x2y20
点（0,0）不连续，但存在一阶偏导数。
例3．求limxy
（x,y）（1,2）xy
例4．
xy11
lim
（x,y）（0,0）xy
z
xxx0yy0
zxxx0fx（x0,y0）lixm0f（x0x,y0）f（x0,y0）
xx0yy0
yy0
相当于把
y看成常数！
所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
）
4、了解闭区域上商连续函数的性质：
有界性，最值定理，介值定理
二、多元函数的偏导数
1、二元函数zf（x,y）关于x,y的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）
如果极限lixm0
f（x0x,y0）f（x0,y0）存在，则有
如果极限limf（x0,y0y）f（x0,y0）存在，则有
f
zy
xx0y
x0
yy0
yy0
zy
xx0fy（x0,y0）liym0f（x0,y0y）f（x0,y0）
yy0y0
对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求
（x2y2）xy
例1（08年期末考试一、3，4分）已知f（x,y）
0,
22
2y2
22
x2y20
22
xy0
则fx（0,y）
例2（06年期末考试十一，4分）试证f（x,y）
2
xy
x2y
0,
4,xy
x2
0在点（0,0）
2
y20
不连续，但存在一阶偏导数。
例3
设f（x,y）
22
（x2y2）sin
0,
1,x
22,xxy
22
xy0
22
2y20
，求fx（x,y）,fy（x,y）。
例4
设zxy，求zx,zy
例5
03年期末考试，一、2，3分）设ux（y1）arcsinx，则u在（1,2）yx
的值为（）
2、二元函数zf（x,y）关于x,y的高阶偏导数（二元以上类似定义）
xx
fxy（x,y
2
z
2
z2zyxxy
zyy
zxy
2
z
fyy（x,y）y
2
z
fyx（x,yyx
定理：
若两个混合二阶偏导数z,z在区域D内连续，则有z
xyyxxy
2z
yx
例1．设u1,r（xa）2（yb）2（zc）2，其中a,b,c为常数，求：
r
2
2u
x2
2
2u
z2
2
2u
y2
例2．设z（x2y2）ex，求z。
xy
3、zf（x,y）在点P（x,y）偏导数存在zf（x,y）在点P（x,y）连续（07年，04年，02年等）
zf（x,y）
4、偏导数的几何意义：
fx（x0,y0）表示曲线在点P（x0,y0,z0）处的
yy0
切线与x轴正向的夹角。
三、全微分
1、
zf（x,y）在点P（x0,y0）可微分的判定方法
若（x,lyim）（0,0）
zfx（x0,y0）xfy（x0,y0）y0，则可判定zf（x,y）在点
P（x0,y0）可微分。
其中
zf（x0x,y0y）f（x,y）
例1
08年
期末考试
6分）证明函数
f（x,y）
22
（x2y2）sin（xy）sinx2y2
122,xy
0
在（0，0）处可微，但偏导数fx（x,y）
0,
在（0，
0）处不连续
2xy2,x2y20
例2（07年期末考试七、6分）f（x,y）x2y2，证明：
（1）
0, x2y20
函数在（0，0）处偏导数存在；
（2）函数在（0，0）处不可微。
2、全微分的计算方法
若zf（x,y）在P（x0,y0）可微，则有dzfx（x0,y0）dxfy（x0,y0）dy其中fx（x0,y0）,fy（x0,y0）的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。
例1（08年期末考试，一，1，4分）设zx4y32x，则dz（1,2）例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设zarctany（x0）,求dz。
x
2
例3（06年期末考试，二、2，3分）设uxy，则du
例4（03年期末考试，二、2，3分）函数uln（xy2z2）在点（1,0,1）处的全微分为
例5．设zuyarcsinw，uex，wx，求函数：
对变量x,y的全
22
xy
微分dz。
3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）一阶偏导数fx,fy在P（x0,y0）连续zf（x,y）在P（x0,y0）可微zf（x,y）在P（x0,y0）连续zf（x,y）在P（x0,y0）有极限zf（x,y）在P（x0,y0）可微在P（x0,y0）的一阶偏导数fx,fy存在zf（x,y）在P（x0,y0）可微在P（x0,y0）的方向导数fx,fy存在
四、多元复合函数求导法则
法则
1、链式求导法则：
变量树状图
（1）zf（u,v）,u（t）,v（t）
dzzduzdv
dtudtvdt
dzzduzdvz
dtudtvdt
d
dt
（x,y）
zuzuxvx
vzzu
yuyvy
zv
（3）zf（u,x,y）,u（x,y）uxuzxu
zx
y
fufux
例1．
08年期末考试，
七，7分）设zf（x,x），f具有连续二阶偏导数，y
求z
x
2
z
。
xy
例2．
08年期末考试，十一，6
分）设zz（x,y）是由方程
x2y
z（xyz）所确定的函数，其中
（x）可导，求dz。
例3．（07年期末考试，八，7分）设zxf（xy,y），f具有连续二阶偏导x
2数，求z,z。
yyx
例4．（06年期末考试，一、1，3分）设zxyf（y），f（u）可导，则x
zz
xy（）。
xy
例5．（04年期末考试，三、1，8分）设G（u,v）可微，方程G（u,v）0，其
中uxyz,vy2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明
（2y2xz）z（2x2yz）zz24xy.。
xy
例6．（03年期末考试，三、2，5分）设（u,v）具有连续偏导数，证明方程
（xyz,yxz）0所
确定的函数
zf（x,y）满足
例7
记uf（x2t2,t），
x
f具有连续二阶偏导数，求
2u2u
2,
xxt
例8
设zx2lny，而
xu，y3uv，求z和z。
vuv
例9
设ue（yz），而yasinx，zbcosx，则du。
dx
a2b2
例10．设zf（x2y2,exy），又f具有连续的二阶偏导数，
zz求,,
xyxy
2．一阶全微分形式不变性：
设zf（u,v），则不管u,v是自变量还是中间变量，都有dzfu'dufv'dv
du求
dx
通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。
当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。
设uF（x,y,z）,zf（x,y）,y（x）,其中F,f,都可微，
五、隐函数的求导法则
1、F（x,y）0yf（x），求dy
dx
方法1（直接代公式）：
dyFx，其中：
FxFx（x,y），相当于把F看
dxFy
成自变量x，y的函数而对x求偏导数。
方法2：
直接对方程两边同时关于x求偏导（记住yf（x））：
FxFydy0dyFx
xydxdxFy
2（FxxFxydy）FyFx（FyxFyydy）
2xxxyyxyxyy
dydxdxdx2（Fy）2
2．F（x,y,z）0zf（x,y），求xz,yz
方法1（直接代公式）：
zFx
xF
zFy
yFz
方法2：
直接对方程两边同时关于
x（y）求偏导（记住zf（x,y））：
zzFx
FxFz0x
xzdxdxFz
zzFy
，FF0yyz
dydyFz
F（x,y,u,v）0uu（x,y）uuvv
3．,求，,,
G（x,y,u,v）0vv（x,y）xyxy
建议采用直接推导法：
即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数u，v的二元方程组，得到u，v。
同理可求得u,v。
xxxxyy
例1．设f（x,y,z）exyz2，其中zz（x,y）是由xyzxyz0确定的隐函数，求fx（0,1,1）。
例2．设有隐函数F（x,y）0，其中F的偏导数连续，求z,z。
zzxy
例3．（04年期末考试，三、1，8分）设G（u,v）可微，方程G（u,v）0，其中
ux2yz,vy2xz确定了z是x,y的二元可微隐函数，试证明
2z2z2
（2y2xz）（2x2yz）z24xy.
xy
六、多元函数微分学的几何应用
1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线
xx（t）yy（t）zz（t）
xx0
x（t0）
yy0
y'（t0）
zz'''
'0x'（t0）（xx0）y'（t0）（yy0）z'（t0）（zz0）0
z（t0）
切线向量{x'（t0）,y'（t0）,z'（t0）}
xx
yy（x）zz（x）切线向量{1,y'（x0）,z'（x0）}
yy（x）zz（x）
xxyyzz
000
y'（t0）z'（t0）（xx0）y'（t0）（yy0）z'（t0）（zz0）0
xx
切线向量{1,y'（x0）,z'（x0）}
F（x,y,z）0yy（x）
yy（x）
G（x,y,z）0zz（x）
zz（x）
xx0yy0zz0''
10y'（t0）0z'（t00）（xx0）y'（t0）（yy0）z'（t0）（zz0）0
3、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数
Fx（xx0）Fy（yy0）Fz（zz0）0
F（x,y,z）0xx0yy0zz0
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）
法线向量{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
fx（xx0）fy（yy0）（zz0）0
zf（x,y）
xx0yy0zz0
fx（x0,y0）fy（x0,y0）1
法线向量{fx（x0,y0）,fy（x0,y0）,1}，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z
fy
fy,cosfx2fy2
xy
fx2fy2
xy
轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：
cosfx,cos
cos1fx2fy2,cos
xacost
例1（08年期末考试，一、2，4分）曲线yasint在点（a,0,0）的切线方程zct
例2（08年期末考试，十、7分）在曲面z2x21y2上求出切平面，使得切
2
平面与平面4x2y2z10.平行。
例3（07年期末考试，二、5，3分）曲面zez2xy3在点（1,2,0）处的法线方程。
222例4（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭圆x2y2z21的切平a2b2c2面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例5（06年期末考试，二、3，3分）曲面3xyzz3a3在点（0,a,-a）处的切平面方程。
例6（04年期末考试，三、3，7分）在球面x2y2z29上求一点，使得过该点的切平面与已知平面2xy2z0平行。
例7.在曲线xt，y2t2，z3t3上求点，使该点处曲线的切线平行平面8x7y4z1。
例8设f（x,y）具有一阶连续偏导数，且fx2fy20，对任意实数t有f（tx,ty）tf（x,y），试证明曲面zf（x,y）上任意一点（x0,y0,z0）处的法线与直线xyz相垂直。
x0y0z0
例9由曲线3x22y212绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，3,2）处z0
指向外侧的单位法向量，
七、方向导数与梯度
1、方向导数的概念和计算公式
zf（x,y）在P（x,y）沿l方向的方向导数为：
①设P'（xx,yy）为l上一点，则
ff（P'）f（P）f（xx,yy）f（x,y）
llim0lim0
②设l的方向余弦为：
l{cos,cos}，则
fff
coscos
lxy
可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系
2、梯度的概念和计算公式
zf（x,y）在P（x,y沿）什么方向的方向导数最大？
沿梯度方向G{f,f}
xyP
的方向导数最大，
最大值为梯度的模
|G|
（fx）2（fy）
xy
例1．求函数f（x,y,z）x2
y2z2在点P0（3,4,5）沿曲线
222
2x22y2z225
222
xyz
在点P0处的切线方向的方向导数。
例2．求函数f（x,y）x2y3在点（2，1）沿方向lij的方向导数
例3．设函数zf（x,y）xey，
（1）求出f在点P（2，0）处沿P到Q（1/2，2）方向的变化率；
（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少？
例4（08年期末考试，一、4，4分）函数zx2y2在点P0（1,2）处沿从P0（1,2）到点P1（2,23）方向的方向导数。
例5（07年期末考试，二、4，3分）函数zx2xyy2在点（1,1）处沿方向l{2,1}的方向导数。
例6（06年期末考试，四、7分）函数ux2y2z23z在点M0（1,1,2）处的梯度及沿梯度方向的方向导数。
八、多元函数的极值及其求法
1、掌握极值的必要条件、充分条件
2、掌握求极值的一般步骤
3、掌握求条件极值的一般方法——拉格朗日乘数法
例1．求函数f（x,y）x3y33x23y29x的极值。
例2（04年期末考试，三、3，6分）．设长方体过同一顶点的三条棱长之和为
3a，问这三条棱长各取什么值时，长方体的表面积最大？
例3．求旋转抛物面zx2y2与平面xy2z2之间的最短距离。
例4（08年期末考试，六、7分）求ux2y2z在约束x2y2z21下的最大值和最小值。
222例5（07年期末考试，十、8分）在第一卦限内作椭球x2y2z21的切平a2b2c2
面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。
例6（06年期末考试，五、8分）做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？
例7（03年期末考试，八、10分）求曲线x2xyy22x2y120上距原点最近和最远的点。
x2y2
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