学案导学高中数学人教版A版选修21配套练习第一章 单元检测A卷含答案解析.docx

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学案导学高中数学人教版A版选修21配套练习第一章单元检测A卷含答案解析

第一章　常用逻辑用语（A）

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．下列语句中是命题的是（　　）

A．梯形是四边形B．作直线AB

C．x是整数D．今天会下雪吗？

2．设原命题：

若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（　　）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

3．给出命题：

若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．有下列命题：

①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．在△ABC中，“A>30°”是“sinA>

”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7．若p：

a∈R，|a|<1，q：

x的二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．已知条件p：

|x＋1|>2，条件q：

5x－6>x2，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

9．已知实数a>1，命题p：

函数y＝log

（x2＋2x＋a）的定义域为R，命题q：

|x|<1是x

A．“p或q”为真命题

B．“p且q”为假命题

C．“綈p且q”为真命题

D．“綈p或綈q”为真命题

10．“a和b都不是偶数”的否定形式是（　　）

A．a和b至少有一个是偶数

B．a和b至多有一个是偶数

C．a是偶数，b不是偶数

D．a和b都是偶数

11．不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是（　　）

A．（－2,2）B．（－2,2]

C．（－∞，2]D．（－∞，－2）

12．已知命题p：

存在x∈R，使tanx＝

，命题q：

x2－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是（　　）

A．②③B．①②④

C．①③④D．①②③④

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答　案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：

a与b无公共点；命题q：

α∥β，则p是q的__________条件．

14．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

15．若p：

“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为________________．

16．下列四个命题中

①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；

②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋（a－1）y＝a－7相互垂直”的充要条件；

③函数y＝

的最小值为2.

其中是假命题的为________（将你认为是假命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

（1）正方形是矩形又是菱形；

（2）同弧所对的圆周角不相等；

（3）方程x2－x＋1＝0有两个实根．

18．（12分）判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

19.（12分）已知p：

≤2；q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>0），若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．

20．（12分）已知方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

21.（12分）p：

对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：

关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知下列三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．

单元检测卷答案解析

第一章　常用逻辑用语（A）

1．A

2．A　[因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：

“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]

3．C

4．A　[“x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．]

5．C　[①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]

6．B　[当A＝170°时，sin170°＝sin10°<

，所以“过不去”；但是在△ABC中，sinA>

⇒30°30°，即“回得来”．]

7．A　[a∈R，|a|<1⇒a－2<0，充分成立，反之不成立．]

8．A　[綈p：

|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：

5x－6≤x2，

即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.

∴綈p⇒綈q，但綈q

綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]

9．A　[命题p：

当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log

（x2＋2x＋a）的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：

当a>1时，由|x|<1，得－1

10．A　[对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．]

11．B　[注意二次项系数为零也可以．]

12．D　[∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]

13．必要不充分

解析　q⇒p，p

q.

14．[－3,0]

解析　ax2－2ax－3≤0恒成立，

当a＝0时，－3≤0成立；

当a≠0时，

得－3≤a<0；

∴－3≤a≤0.

15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形

解析　本题考查复合命题“非p”的形式，p：

“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？

若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．

第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．

16．①②③

解析　①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos2kx，T＝

＝π，k＝±1.

②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋（a－1）y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝

；

③函数y＝

＝

＝

＋

，令

＝t，t≥

，ymin＝

＋

＝

.

17．解　

（1）若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．

（2）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．

（3）如果一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．

18．解　方法一　（直接法）

逆否命题：

已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集．

判断如下：

二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2图象的开口向上，

判别式Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

∵a<1，∴4a－7<0.

即二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2与x轴无交点，

∴关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．

方法二　（先判断原命题的真假）

∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

，

∵a≥

>1，∴原命题为真．

又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．

方法三　（利用集合的包含关系求解）

命题p：

关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0有非空解集．

命题q：

a≥1.

∴p：

A＝{a|关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0}＝

，

q：

B＝{a|a≥1}．

∵A⊆B，∴“若p，则q”为真，

∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．

即原命题的逆否命题为真．

19．解　綈p：

>2，解得x<－2，或x>10，

A＝{x|x<－2，或x>10}．

綈q：

x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m，或x>1＋m，

B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．

∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴B

A，

即

且等号不能同时成立⇒m≥9，

∴m≥9.

20．解　令f（x）＝x2＋（2k－1）x＋k2，方程有两个大于1的实数根⇔

，

即k<－2.

所以其充要条件为k<－2.

21．解　对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或

⇔0≤a<4；

关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0

⇔a≤

；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>

，

∴

且a≤

，∴a<0.

综上，实数a的取值范围为（－∞，0）∪

.

22．解　假设三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，

x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则

，

即

得－

∴所求实数a的范围是a≤－

或a≥－1.