一元二次方程特训.docx
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一元二次方程特训
一元二次方程
一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
1．（3分）（2011•南通）若3是关于方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．
﹣2
B．
2
C．
﹣5
D．
5
二、解答题（共1小题，满分0分）
2．（2011•武汉）解方程：
x2+3x+1=0．
三、解答题（共2小题，满分0分）
3．（2011•成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（ ）
A．
n2﹣4mk＜0
B．
n2﹣4mk=0
C．
n2﹣4mk＞0
D．
n2﹣4mk≥0
4．（2011•武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．
4
B．
3
C．
﹣4
D．
﹣3
四、解答题（共1小题，满分0分）
5．（2011•义乌市）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 _________ 件，每件商品盈利 _________ 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
五、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
6．（3分）（2012•河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．
（x+2）2=3
B．
（x﹣2）2=3
C．
（x﹣2）2=5
D．
（x+2）2=5
7．（3分）（2012•南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
D．
﹣
8．（3分）（2012•株洲）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ）
A．
b=﹣1，c=2
B．
b=1，c=﹣2
C．
b=1，c=2
D．
b=﹣1，c=﹣2
9．（3分）（2012•成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．
100（1+x）=121
B．
100（1﹣x）=121
C．
100（1+x）2=121
D．
100（1﹣x）2=121
六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）
10．（3分）（2012•铜仁地区）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是 _________ ．
七、解答题（共1小题，满分0分）
11．（2012•绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？
如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
八、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
12．（3分）关于x的方程（k2﹣2）x2+（k+2）x+3=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．
k≠2
B．
k≠±2
C．
k≠
D．
k≠
13．（3分）（2011•兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．
（x+1）2=6
B．
（x+2）2=9
C．
（x﹣1）2=6
D．
（x﹣2）2=9
14．（3分）（2012•广安）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．
a＞2
B．
a＜2
C．
a＜2且a≠l
D．
a＜﹣2
15．（3分）（2007•广州）关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数，则（ ）
A．
p＞0且q＞0
B．
p＞0且q＜0
C．
p＜0且q＞0
D．
p＜0且q＜0
九、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）
16．（3分）（2011•滨州）若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为 _________ ．
17．（3分）（2011•株洲）孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为 _________ ．
18．（3分）（2011•宜宾）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则
的值是 _________ ．
十、解答题（共2小题，满分0分）
19．（2011•聊城）解方程：
x（x﹣2）+x﹣2=0．
20．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：
打九折销售；
方案二：
不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
十一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
21．（3分）（2011•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
ax2+bx+c=0
C．
（x﹣1）（x+2）=1
D．
3x2﹣2xy﹣5y2=0
十二、解答题（共1小题，满分0分）
22．（2013•漳州）解方程：
x2﹣4x+1=0．
十三、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
23．（3分）（2011•威海）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．
0
B．
8
C．
4±2
D．
0或8
十四、解答题（共2小题，满分0分）
24．（2011•孝感）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
25．（2011•襄阳）汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增如．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011的年产量为多少万辆？
参考答案与试题解析
一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
1．（3分）（2011•南通）若3是关于方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A．
﹣2
B．
2
C．
﹣5
D．
5
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．
解答：
解：
由根与系数的关系，设另一个根为x，
则3+x=5，
即x=2．
故选B．
点评：
本题考查了根与系数的关系，从两根之和为
出发计算得．
二、解答题（共1小题，满分0分）
2．（2011•武汉）解方程：
x2+3x+1=0．
考点：
解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．
解答：
解：
a=1，b=3，c=1
∴x=
=
．
∴x1=
，x2=
．
点评：
本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x=
．
三、解答题（共2小题，满分0分）
3．（2011•成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（ ）
A．
n2﹣4mk＜0
B．
n2﹣4mk=0
C．
n2﹣4mk＞0
D．
n2﹣4mk≥0
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac直接得到答案．
解答：
解：
∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，
∴△=n2﹣4mk≥0，
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：
当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
4．（2011•武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．
4
B．
3
C．
﹣4
D．
﹣3
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
方程思想．
分析：
根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=
解答并作出选择．
解答：
解：
∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，
∴x1•x2=
=3．
故选B．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=
中的a与c的意义．
四、解答题（共1小题，满分0分）
5．（2011•义乌市）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
销售问题．
分析：
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：
每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
解答：
解：
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，故答案为2x；50﹣x；
（2）由题意得：
（50﹣x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）
化简得：
x2﹣35x+300=0，即（x﹣15）（x﹣20）=0，
解得：
x1=15，x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：
每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
点评：
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
五、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
6．（3分）（2012•河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．
（x+2）2=3
B．
（x﹣2）2=3
C．
（x﹣2）2=5
D．
（x+2）2=5
考点：
解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．
解答：
解：
方程移项得：
x2+4x=﹣1，
配方得：
x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．
故选A．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
7．（3分）（2012•南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
D．
﹣
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．
解答：
解：
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4a=0，
解得a=﹣1．
故选B．
点评：
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
8．（3分）（2012•株洲）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ）
A．
b=﹣1，c=2
B．
b=1，c=﹣2
C．
b=1，c=2
D．
b=﹣1，c=﹣2
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，利用根与系数的关系，即可求得b与c的值．
解答：
解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2，
∴b=﹣1，c=﹣2．
故选D．
点评：
此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，则x1+x2=﹣p，x1x2=q．
9．（3分）（2012•成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．
100（1+x）=121
B．
100（1﹣x）=121
C．
100（1+x）2=121
D．
100（1﹣x）2=121
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
增长率问题；压轴题．
分析：
设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．
解答：
解：
设平均每次提价的百分率为x，
根据题意得：
100（1+x）2=121，
故选C．
点评：
此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．
六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）
10．（3分）（2012•铜仁地区）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是 x1=3，x2=﹣1 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据方程的解x1x2=﹣3，x1+x2=2可将方程进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
解答：
解：
原方程可化为：
（x﹣3）（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=﹣1．
点评：
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
七、解答题（共1小题，满分0分）
11．（2012•绍兴）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？
如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
考点：
二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40﹣2x）2=484，求出即可；
②假设剪掉的正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：
y=4（40﹣2a）a，利用二次函数最值求出即可；
（2）假设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可．
解答：
解：
（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（40﹣2x）2=484，
即40﹣2x=±22，
解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，
∴剪掉的正方形的边长为9cm．
②侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与a的函数关系为：
y=4（40﹣2a）a，
即y=﹣8a2+160a，
即y=﹣8（a﹣10）2+800，
∴a=10时，y最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．
（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为tcm．
2（40﹣2t）（20﹣t）+2x（20﹣t）+2x（40﹣2t）=550，
解得：
t1=﹣35（不合题意，舍去），t2=15．
∴剪掉的长方形盒子的高为15cm．
40﹣2×15=10（cm），
20﹣15=5（cm），
此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键．
八、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
12．（3分）关于x的方程（k2﹣2）x2+（k+2）x+3=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．
k≠2
B．
k≠±2
C．
k≠
D．
k≠
考点：
一元二次方程的定义．菁优网版权所有
分析：
一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．根据二次项系数不能为0，所以k2﹣2≠0，求出即可．
解答：
解：
依题意有k2﹣2≠0，
解得k≠±
．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的定义，利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．（3分）（2011•兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．
（x+1）2=6
B．
（x+2）2=9
C．
（x﹣1）2=6
D．
（x﹣2）2=9
考点：
解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
专题：
方程思想．
分析：
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：
解：
由原方程移项，得
x2﹣2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1=6
∴（x﹣1）2=6．
故选：
C．
点评：
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
14．（3分）（2012•广安）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．
a＞2
B．
a＜2
C．
a＜2且a≠l
D．
a＜﹣2
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
解答：
解：
△=4﹣4（a﹣1）
=8﹣4a＞0
得：
a＜2．
又a﹣1≠0
∴a＜2且a≠1．
故选C．
点评：
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
15．（3分）（2007•广州）关于x的方程x2+px+q=0的两根同为负数，则（ ）
A．
p＞0且q＞0
B．
p＞0且q＜0
C．
p＜0且q＞0
D．
p＜0且q＜0
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由于只有方程△≥0、两根之积＞零、两根之和＜零时，方程x2+px+q=0的两根才同为负数，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围．
解答：
解：
设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2=﹣p，x1x2=q
∴﹣p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0．
故选A．
点评：
本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．
九、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）
16．（3分）（2011•滨州）若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为 ±
．
考点：
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