版新设计一轮复习数学理通用版讲义第一章第一节 集 合.docx

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版新设计一轮复习数学理通用版讲义第一章第一节集合

第一节

集__合

1．集合的相关概念

（1）集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性❶.

（2）元素与集合的两种关系：

属于，记为∈；不属于，记为∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（4）五个特定的集合：

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

2．集合间的基本关系

表示

关系　　

文字语言

符号语言

记法

基本关系

子集

集合A的元素都是集合B的元素

x∈A⇒x∈B

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

A⊆B，且∃x0∈B，

x0∉A

AB或BA

相等

集合A，B的元素完全相同

A⊆B，B⊆A

A＝B

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集

∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B（B≠∅）

3．集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA❹

图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

元素互异性，即集合中不可能出现相同的元素．此性质常用于题目中对参数的取舍．

任何集合是其自身的子集．

（1）注意∅，{0}和{∅}的区别：

∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确．

（2）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能.

（1）求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件．从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

（2）补集∁UA是针对给定的集合A和U（A⊆U）相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同.

[熟记常用结论]

1．A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；AB，BC⇒AC.

2．含有n个元素的集合A＝{a1，a2，…，an}有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

3．A∪∅＝A，A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）．

4．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

5．A∩B＝A∪B⇔A＝B.

6．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔（∁UA）⊇（∁UB）⇔A∩（∁UB）＝∅.

7．（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B），（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）．

8．A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

[小题查验基础]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　　）

（3）任何一个集合都至少有两个子集．（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×

二、选填题

1．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

解析：

选C　A中包含的整数元素有－2，－1,0,1,2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5.

2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．－3∈AB．3∉B

C．A∩B＝BD．A∪B＝B

解析：

选C　由题意知A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}＝B.

3．设全集U＝{1,2,3,4}，集合S＝{1,3}，T＝{4}，则（∁US）∪T＝（　　）

A．{2,4}B．{4}

C．∅D．{1,3,4}

解析：

选A　由补集的定义，得∁US＝{2,4}，从而（∁US）∪T＝{2,4}，故选A.

4．集合{－1,0,1}共有________个子集．

解析：

因为集合有3个元素，所以集合共有23＝8个子集．

答案：

8

5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：

由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.

答案：

－

考点一

[基础自学过关]

集合的含义及表示

[题组练透]

1．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9　　　　　　　　　B．8

C．5D．4

解析：

选A　法一：

将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），

（1,0），（1,1），共有9个．故选A.

法二：

根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.B.

C．0D．0或

解析：

选D　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝.

3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

解析：

选C　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

4．已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，若集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为（　　）

A．（8，＋∞）B．[8，＋∞）

C．（16，＋∞）D．[16，＋∞）

解析：

选C　因为集合A中至少有3个元素，所以log2k>4，所以k>24＝16，故选C.

[名师微点]

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

（2）集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

考点二

[师生共研过关]

集合的基本关系

[典例精析]

（1）设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[解析]　

（1）因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.

（2）∵B⊆A，

∴①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.

②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

[答案]　

（1）C　

（2）（－∞，3]

1．（变条件）在本例

（2）中，若“B⊆A”变为“BA”，其他条件不变，如何求解？

解：

∵BA，

∴①若B＝∅，成立，此时m＜2.

②若B≠∅，则或

解得2≤m≤3.

由①②可得m的取值范围为（－∞，3]．

2．（变条件）在本例

（2）中，若“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，如何求解？

解：

若A⊆B，则即所以m的取值范围为∅.

[解题技法]

1．集合间基本关系的2种判定方法和1个关键

两种方法

（1）化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；

（2）用列举法（或图示法等）表示各个集合，从元素（或图形）中寻找关系

一个关键

关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系，包括相等和真子集两种关系

2．根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．

[过关训练]

1．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个

C．4个D．3个

解析：

选A　由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－，此时B＝，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）．

答案：

[－2,2）

考点三

[师生共研过关]

集合的基本运算

[典例精析]

（1）（2018·天津高考）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0，2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{－1,1}B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{2,3,4}

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－4,3）B．[－3,4]

C．（－3,4）D．（－∞，4]

[解析]　

（1）∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．

（2）集合A＝{x|x＜－3或x>4}，

∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

[答案]　

（1）C　

（2）B

[解题技法]

1．集合基本运算的方法技巧

（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．

（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．

2．集合的交、并、补运算口诀

[过关训练]

1．[口诀第1句]集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝（　　）

A．{（－1，－1），（1，－1）}B．{－1}

C．[－1,0]D．[－，0]

解析：

选D　由y＝－x2，x∈R，得y≤0，所以集合M＝（－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R，得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.

2．[口诀第2句]若集合A＝{x|－1＜x＜1，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∪B＝（　　）

A．[0,1）B．（－1，＋∞）

C．（－1,1）∪[2，＋∞）D．∅

解析：

选C　由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜1或x≥2}．

3．[口诀第3句]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析：

选B　∵x2－x－2>0，

∴（x－2）（x＋1）>0，

∴x>2或x＜－1，即A＝{x|x>2或x＜－1}．

则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.

4．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N≠∅，∴a>－1.

答案：

（－1，＋∞）

考点四

[师生共研过关]

集合的新定义问题

[典例精析]

（1）如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为（　　）

A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}

C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}

（2）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

[解析]　

（1）因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A⊗B＝∁A∪B（A∩B）＝{x|0≤x≤1或x>2}．

（2）①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉（A1∪A2），故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

[答案]　

（1）D　

（2）②

[解题技法]

解决集合新定义问题的2个策略

紧扣新定义

先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在

用好集合的性质

集合的性质（集合中元素的性质、集合的运算性质等）是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质

[过关训练]

1．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为（　　）

A．6B．7

C．8D．9

解析：

选B　由题意知，B＝{0,1,2}，

＝，

则∪B＝，

共有7个元素，故选B.

2．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q＝（　　）

A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}

C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}

解析：

选B　由log2x＜1，得0＜x＜2，

所以P＝{x|0＜x＜2}．

由|x－2|＜1，得1＜x＜3，

所以Q＝{x|1＜x＜3}．

由题意，得P－Q＝{x|0＜x≤1}.

一、题点全面练

1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝（　　）

A．{－2,0,1}　　　　　B．{1}

C．{0}D．∅

解析：

选A　集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.

2．设集合A＝{x|x2－x－2＜0}，集合B＝{x|－1＜x≤1}，则A∩B＝（　　）

A．[－1,1]B．（－1,1]

C．（－1,2）D．[1,2）

解析：

选B　∵A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤1}，∴A∩B＝{x|－1＜x≤1}．故选B.

3．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

解析：

选B　∵集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，∴M⊆N.故选B.

4.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{4}B．{2,4}

C．{4,5}D．{1,3,4}

解析：

选A　图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A∩（∁UB）＝{4}，故选A.

5．（2018·湖北天门等三地3月联考）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选B　a∈{1,2,3}，b∈{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.

二、专项培优练

（一）易错专练——不丢怨枉分

1．已知集合M＝{x|y＝lg（2－x）}，N＝{y|y＝＋}，则（　　）

A．M⊆NB．N⊆M

C．M＝ND．N∈M

解析：

选B　∵集合M＝{x|y＝lg（2－x）}＝（－∞，2），N＝{y|y＝＋}＝{0}，∴N⊆M.故选B.

2．（2019·皖南八校联考）已知集合A＝{（x，y）|x2＝4y}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B的真子集个数为（　　）

A．1B．3

C．5D．7

解析：

选B　由得或

即A∩B＝{（0,0），（4,4）}，

∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.

3．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝（2,3]，则a＋b＝（　　）

A．－5B．5

C．－1D．1

解析：

选A　因为P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝（2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.

4．已知集合M＝，集合N＝，则（　　）

A．M∩N＝∅B．M⊆N

C．N⊆MD．M∪N＝M

解析：

选B　由题意可知，M＝＝，N＝，所以M⊆N，故选B.

5．（2018·安庆二模）已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝（　　）

A．－1B．2

C．－1或2D．1或－1或2

解析：

选C　因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.

①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；

当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．

②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，

此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．

综上，a＝－1或2.故选C.

6．（2018·合肥二模）已知A＝[1，＋∞），B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B.

C．D．（1，＋∞）

解析：

选A　因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.

（二）难点专练——适情自主选

7．已知全集U＝{x∈Z|0＜x＜8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为（　　）

A．M∩（∁UN）B．∁U（M∩N）

C．∁U（M∪N）D．（∁UM）∩N

解析：

选C　由已知得U＝{1,2,3,4,5,6,7}，N＝{2,6}，M∩（∁UN）＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M∩N＝{2}，∁U（M∩N）＝{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，∁U（M∪N）＝{1,4,7}，（∁UM）∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.

8．（2018·日照联考）已知集合M＝，N＝，则M∩N＝（　　）

A．∅B．{（4,0），（3,0）}

C．[－3,3]D．[－4,4]

解析：

选D　由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝[－4,4]．故选D.

9．（2019·河南八市质检）在实数集R上定义运算*：

x*y＝x·（1－y）．若关于x的不等式x*（x－a）>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是（　　）

A．[0,2]B．[－2，－1）∪（－1,0]

C．[0,1）∪（1,2]D．[－2,0]

解析：

选D　依题意可得x（1－x＋a）>0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x（1－x＋a）>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.

10．非空数集A满足：

（1）0∉A；

（2）若∀x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：

①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；

②{x|x2－4x＋1＜0}；

③；

④.

其中“互倒集”的个数是（　　）

A．4B．3

C．2D．1

解析：

选C　对于①，当－2＜a＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x|x2－4x＋1＜0}＝{x|2－＜x＜2＋}，所以＜＜，即2－＜＜2＋，所以②是“互倒集”；对于③，y′＝≥0，故函数y＝是增函数，当x∈时，y∈[－e,0），当x∈（1，e]时，y∈，所以③不是“互倒集”；对于④，y∈∪＝且∈，所以④是“互倒集”．故选C.

11．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．

（1）分别求A∩B，（∁RB）∪A；

（2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．

解：

（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，

∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．

∵log2x>1，即log2x>log22，

∴x>2，∴B＝{x|x>2}．

∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．

∴∁RB＝{x|x≤2}，

∴（∁RB）∪A＝{x|x≤3}．

（2）由

（1）知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.

当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；

当C为非空集合时，可得1＜a≤3.

综上所述，实数a的取值范围是（－∞，3]．