二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法归纳
含参数一元二次不等式求解步骤
（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；
（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；
（3）当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3 解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0.
解析：
原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
（1）当a<0时，有aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（2）当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；
（3）当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；
（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
→
→
→
题型四 一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x（百台），其总成本为g（x）万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入r（x）满足r（x）＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？
【解析】
（1）依题意得g（x）＝x＋3，设利润函数为f（x），则
f（x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝
要使工厂有盈利，则有f（x）>0，因为f（x）>0⇒
或
⇒
或
⇒
或
则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内．
（2）当3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4.5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.
（1）求利润函数f（x）⇒解不等式f（x）>0⇒回答实际问题．
（2）根据第
（1）题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
（1）审：
认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
（2）设：
引进数学符号，用不等式表示不等关系．
（3）求：
解不等式．
（4）答：
回答实际问题．
特别提醒：
确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析：
（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%
＝
a（100＋2x）（10－x）（0（2）原计划税收为200a·10%＝20a（万元）．
依题意得，
a（100＋2x）（10－x）≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划
降税后
价格（元/担）
200
200
税率
10%
（10－x）%（0收购量（万担）
a
a（1＋2x%）
收购总金额（万元）
200a
200·a（1＋2x%）
税收y（万元）
200a·10%
200·a（1＋2x%）（10－x）%
一、选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为（ ）
A.
B.
C．∅D．R
解析：
因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案：
D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}D．{x|－m解析：
不等式（m－x）（n＋x）>0可化为（x－m）（x＋n）<0，方程（x－m）（x＋n）＝0的两根为x1＝m，x2＝－n.由m＋n>0，得m>－n，则不等式（x－m）（x＋n）<0的解集是{x|－n答案：
B
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为
，则a，c的值分别为（ ）
A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6
解析：
由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝
，x2＝
，由根与系数的关系得x1＋x2＝
＋
＝－
，x1·x2＝
×
＝
.解得a＝－6，c＝－1.
答案：
B
4．若不等式x2＋mx＋
>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）
解析：
由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×
<0，即m2－2m<0，解得0答案：
D
二、填空题
5．不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为________．
解析：
方程（2x－5）（x＋3）＝0的两根为x1＝
，x2＝－3，函数y＝（2x－5）（x＋3）的图象与x轴的交点坐标为（－3,0）和
，所以不等式（2x－5）（x＋3）<0的解集为
.
答案：
6．不等式
<0的解集为________．
解析：
原不等式可以化为（2x－1）（2x＋1）<0，
即
<0，
故原不等式的解集为
.
答案：
7．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？
若“能”，当长＝________m，宽＝________m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：
设矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m,0600，即x2－50x＋600<0，解得20答案：
25 25
三、解答题
8．解下列不等式：
（1）x2＋2x－15>0；
（2）x2－3x＋5>0；
（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．
解析：
（1）x2＋2x－15>0⇔（x＋5）（x－3）>0⇔x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R.
（3）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝
.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为
.
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为
，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：
由题意知
所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得
ax2＋
ax＋a>0（a<0）．
即
x2＋
x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3[尖子生题库]
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解析：
方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.
（1）若a>0，则－a（2）若a<0，则2a（3）若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅.
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a当a<0时，{x|2a当a＝0时，∅.
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