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知识讲解离散型随机变量理基础110

离散型随机变量及其分布列

【学习目标】

1•了解离散型随机变量的概念.

2•理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.

3•掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题.

4.理解两个特殊的分布列：

两点分布”和超几何分布”。

【要点梳理】要点一、随机变量和离散型随机变量

1.随机试验”的概念

一般地，一个试验如果满足下列条件：

a.试验可以在相同的情形下重复进行.

B.试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个.

c.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.

2.随机变量的定义

一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.

通常用大写拉丁字母X,Y,Z（或小写希腊字母EnZ）等表示。

要点诠释：

（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。

例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它，比如，我们用E来表示这个随机试验中出现正面向上的次数，贝UE=0

表示试验结果为反面向上，E=1表示试验结果为正面向上。

（2）随机变量实质是将随机试验的结果数量化。

3.离散型随机变量的定义

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数X是一个离散型随机变量，它的所

有可能取值为0,1,…，10;某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2,….

4.随机变量的分类

随机变量有以下两种：

（1）离散型随机变量：

（2）连续型随机变量：

如果随机变量可以取其一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

要点诠释:

离散型随机变量和连续型随机变量的区别：

离散型随机变量，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出•

连续性随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.

例如，抛掷一枚骰子，可能出现的点数就是一个离散型随机变量；某人早晨在出租车站等出租车的时间（单位：

秒）就不是一个离散型随机变量.

5.若•是随机变量，b,其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、

连续型）。

要点二、离散性随机变量的分布列

设离散型随机变量'所有可能取得的值为Xi,q,…郡…x,若'取每一个值Xi（i=1,2,，•-n）的概率为

P（二人）二P，则称表

为随机变量'的概率分布，简称'的分布列.

要点诠释：

离散型随机变量的分布列，不仅清楚地反映离散型随机变量所取的一切可能的值，而且能清楚地看到

每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究离散型随机试验的数量特征的基础。

2.分布列的性质

离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

（1）0,i=1,2…，n；

（2）Pi+P2+・TPn=1

要点诠释：

1.离散型随机变量分布列的两条性质是检验某事件的概率或者一个分布列是否正确的重要依据。

2.特别提醒：

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即

P（_Xk）二P（二Xk）P（二Xk1）III

3.离散型随机变量函数及其分布列

一般地，若E是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则f（E）也是随机变量，也就是说，随机变量的

某些函数也是随机变量。

已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数「f（）的分布列：

1E与n对应时，E的每个取值的概率就对应着n的每个取值的概率；

2如果E有多个取值对应一个n的值，那么这个n值的概率就是这多个E值的概率的和。

要点诠释：

已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数=f（）的分布列，关键是弄清楚E取每一个

值时对应的n所取的值。

要点三、离散性随机变量的分布列的求法

1.求随机变量的概率分布有以下几步：

（1）要确定随机变量的可能取值有哪些•明确取每个值所表示的意义；

（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不

放回抽样）；

（3）列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证

要点诠释：

随机变量的概率分布的求解要注意以下几点：

①搞清楚随机变量每个取值对应的基本随机事件；

2计算必须准确无误；

3注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确.

2•常见的分布列的求法：

（1）取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算•所用方法主要有化归法、数形结合法、

对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样

⑵对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含

义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解

要点四、两类特殊的分布列

1.两点分布

随机变量X的分布列是

1-P

像上面这样的分布列称为两点分布列.

要点诠释：

（1）若随机变量X的分布列为两点分布，则称X服从两点分布而称P（X=1）为成功率•

（2）两点分布又称为0-1分布或伯努利分布

（3）两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究

2.超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则则事件{X=k}发生的概

kn_k

•••

c0Cn-Q

CMCNdM

***

*••

cmcns

CMCN

率为P（X=k）工MN血，k=0,1,2」l）,m,其中m=min{M,n}，且n空N,M乞N,n,M,NN.

称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布

【典型例题】

类型一、离散型随机变量的取值及其实际意义.

例1•写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果

（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数E

（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数n

【思路点拨】要根据随机变量的定义考虑所有情况.

【解析】⑴可取3,4,5.

E=3表示取出的

3个球的编号为

；

E=4表示取出的

3个球的编号为

或

4或2,

4；

E=5表示取出的

3个球的编号为

或

5或1,

5或2,3或3,4,

（2）n可取0,

1,…,n

n=j表示被呼叫

i次，其中i=0,1

2中…

，jj

【总结升华】随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，且有特定的含义，因此,

可以是R中的任意值•但这并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值。

举一反三：

【变式1】

1.投掷均匀硬币一次，随机变量为（

）•

出现正面的次数

出现正面或反面的次数

掷硬币的次数

出现正、

反面次数之和

【答案】

A。

因为B、C、D中所指的量均非变量，根据随机变量定义，故选A.

【变式2】

抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为三试问：

“E4”表示

的试验结果是什么？

>4”

【答案】因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得-5WE0也就是说“E

就是“E=所以，“E＞表示第一枚为6点，第二枚为1点.

【变式3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：

（1）袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为E;

（2）抛掷两个骰子，所得点数之和为三所得点数之和是偶数为n

【答案】

（1）E的所有可能取值为0,1,2,3,4。

E=1表示取出的4个球中，有k个红球，4—k个白球（k=0,1,2,3,4）。

（2）E的所有可能取值为2,3,4,•••,12。

若以（i,j）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，

贝UE=2表示（1,1）;

E=3表示（2,1）,（1,2）;

E=4表示（1,3）,（2,2）,（3,1）;

E=12表示（6,6）。

n的可能取值为2,4,6,•-,12。

类型二、求离散型随机变量的分布列

例2.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数X的分布列。

【思路点拨】根据已知条件，弄清试验的所有可能结果，然后一一列举出来，更重要的是弄清基本事件及其总数。

【解析】将一颗骰子连掷两次共出现6X6=36种等可能基本事件,

其最大点数X可能取的值为1,2,3,4,5,6。

设（x,y）表示第一枚骰子点数为x,第二枚骰子点数为y。

P（X=4）,P（X二5）,P（X=6）

364

•••X的分布列为

【总结升华】确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键，本题求概率采用的是古典概型中的列举法。

举一反三：

【变式】掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量E：

（1）求E的分布列；

（2）求P（3vM7）。

【答案】

（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示

掷第二次所得点數

•••E的取值为2,3,4,…，10,11,12。

P（=2）=P（=12厂

21P（=3）屮=11^

3618

P（=4）=P（=10）=

3612

k卫41

P（=5）=P（=10）=

369

P（=6）=PC=8）三,

•E的分布列为:

"、芦芦丄芦亠戸1丄1丄5121

（2）P（3：

：

7）=P（=4）P（=5）P（=6厂

12936363

例3.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分•求所得分数X的概率分布.

【思路点拨】注意题中的X指的是得分数，情况要考虑全面.【解析】得分X的取值为—3,-2,—1,0,1,2,3.

X=0时表示取得

C3+c1C1C155

3个黑球或1个红球、1个黑球和1个白球，•P（X=0）5335：

165

X=1时表示取得

C1C2+C2C139

1个白球和2个黑球，或2个白球和1个红球，•P（X=1）35333:

C；165

X=2时表示取得

C2c115

2个白球和1个黑球，•P（X=2）335：

C；165

X=3时表示取得

C331

3个白球，••P（X=3）3

C；165

•••所得分数X的概率分布为

—3

—2

—1

165

【总结升华】类似取球一类的问题，求各个情况的概率一般用组合数公式计算。

举一反三：

【变式】袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用.表示分数，求'的概率分布

【答案】'可能取的值为

0,1,2,3,4，从袋中随机地取2个球，包含的基本事件总数为C；

.随机变量'的分布列为

例4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件,

求：

不放回抽样时，抽到次品数E的分布列；

【思路点拨】因为是不放回抽样，所以随机变量E可以只可能取0,1,2。

【解析】由题意，E可能取值为0,1,2。

则

p（e=o）=C^=—,p（e=i）Cio15

所以E的分布列为

【总结升华】不放回地抽取，E可能的取值为有限的数值，然后分别求出相应的概率即可.

举一反三：

【变式】一批零件中有九个合格品，三个废品•安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数E的分布列.

【答案】由题意知E可知0,1,2,3,则

P（=0）冒

C12

P（-3）

c3Ec9_1

C2c11G1。

c9一220

E的分布列如下:

220

类型三、离散型随机变量的分布列的性质

例5.设离散型随机变量X的概率分布如下:

则

p的值为（

）

—B.—C.

D.-

【思路点拨】由离散型随机变量的性质解题。

【解析】

由离散型随机变量分布列的性质，知P（E=1）+P（E=2）+P（E=3）+P（E=4）=1

【总结升华】离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:

（1）Pi>0,i=1,2,n;

（2）p1+p2+n+p=1

举一反三:

-1

1-2q

【变式1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q的值为（）

A.1

【答案】D

212

由分布列性质得1—2q亠0,q_0,（1-2q）•q=1,

【变式2】已知随机变量X的所有取值为1,2,3,4,5，且取这些值的概率为a,2a,3a,4a,5a,则常数a的值为

【答案】—

151

由分布列性质，有a+2a+3a+4a+5a=1，解得a=一。

【变式3】某一射手射击所得的环数E的分布列如下：

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

求此射手射击一次命中环数>7'的概率.

【解析】射击一次命中环数>7是指互斥事件“=7”，“=8”，“=9”，“=10”的和，根据互斥事件的

概率加法公式，有：

类型四、两类特殊的分布列

例6.一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球。

「0,摸出白球

（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X二，求X的分

11,摸出红球

布列；

（2）从中任意摸出两个球，用“X=0表示两个球全是白球，用“X=1表示两个球不全是白球，求X的

分布列。

【思路点拨】

（1）从任意摸一球，只有两种结果，或是红球，或不是红球（即白球）

，符合两点分

布。

（2）从中任意摸两个球，要么全是白球”，要么不全是白球”，只有这两种结果，故符合两点分布。

【解析】

（1）X的分布列如下表：

（2）X的分布列如下表:

C；1

—

C27

【总结升华】

（1）两点分布是一种常见的分布，它的特点是：

X的取值只有两种可能;

（2）列两点分布列时要注意：

保证其概率和为1。

举一反三：

【变式1】若离散型随机变量X的概率分布为

9n2—n

3—8n

试求出常数n,并写出X的概率分布。

”（9n2-n）+（3-8n）=1

【答案】由题意得1_9n-n_0，解得n，从而X的概率分布为

1_3-8n_0

例7.鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同•捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算:

（1）其中有1条鲤鱼的概率；

2）其中有2条鲤鱼的概率；

（3）其中有3条鲤鱼的概率；

（4）4条都是鲤鱼的概率；

【思路点拨】从100条鱼中打捞上来4条鱼，有。

爲中不同的等可能结果，这是元素的总数•用X表示被

打捞的4条鱼中的鲤鱼数•因为每条鱼被打捞的可能性相同，所以X服从超几何分布

由题意：

X服从超几何分布，即XLIH（100,80,4）所以

P（X=3）二^0^0=0.4191.

C100

•通过结论，我们可以看出打捞到多条鲤鱼的概

【总结升华】本题主要体现了超几何分布的概念及其应用率要大一些，原因是鲤鱼的数目多于草鱼的数目

举一反三:

【变式1】在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求:

（1）取到的次品数X的分布列；

（2）至少取到1件次品的概率.

【答案】

（1）由于从100件产品中任取3件的结果数为C10，从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的结果数为C：

C5上，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为

C3_k

P（X二k）二-CCJk=0,1,2,3。

C100

所以随机变量X的分布列是

C0厂3

C5C95

c；c95

C；C；5

C3q0

C5C95

"C^

W00

C100

（2）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率

P（X>1）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）

〜0.13806+0.00588+0.00006

=0.14400.

【变式2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球

除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.

N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率

【答案】设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布，其中

P（X>3）=P（X=3）+P（X=4十P（X=5）

类型五、离散型随机变量函数及其分布列

例8.已知随机变量的分布列如下:

-2

-1

分别求出随机变量r=1•-；,2二$的分布列。

【思路点拨】先分析随机变量函数的取值范围，再列出分布列。

1,2二2都是关于E的函数,

1,2的可能取值

而函数关系可先用表格的形式表示出来，然后再写出分布列。

在所得到的分布列中,

无重复出现，从而得到第二行的概率和为1。

【解析】列出一个表格（不是分布列，而是一张预备表）

—2

—1

„1.

—尹

—1

—

—=匕2

二1=—的分布列为:

”1£

—1

—

2二2的分布列为:

一=©2

【总结升华】已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量函数二f（）的分布列的关键是弄清

楚E取每一个值时对应的n所取的值，E与n对应时，E的每个取值的概率就对应着n的每个取值的

概率，如果E有多个取值对应一个n的值，那么这个n值的概率就是这多个E值的概率的和。

举一反三：

【变式】某公司为促销某种新产品进行促销活动：

规定购买该产品一件者，可掷两枚骰子一次，若两枚骰子向上面的点数之和为X,则可得奖金100（X—7）2-500元，并且若100（X—7）2-500<0则不得奖金,

试写出购买者获得奖金数Y的分布列。

列出一个表格如下:

2000

1100

400

1100

2000

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