椭圆及其标准方程教案1.docx

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椭圆及其标准方程教案1

椭圆及其标准方程　

一、教学目标

（一）知识目标

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

（二）能力目标

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

（三）学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：

椭圆的定义和椭圆的标准方程．

（解决办法：

用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．）

2．难点：

椭圆的标准方程的推导．

（解决办法：

推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．）

3．疑点：

椭圆的定义中常数加以限制的原因．

（解决办法：

分三种情况说明动点的轨迹．）

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

（一）椭圆概念的引入问题：

圆的几何特征是什么？

你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：

“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？

这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：

“椭圆，在哪些地方见过？

”有的同学说：

“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：

“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：

“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？

教师边演示边提示学生注意：

若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：

“此常数大于|F1F2|”．

（二）椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？

根据求曲线方程的一般步骤，可分：

（1）建系设点；

（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）．设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-1，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

（3）代数方程

（4）化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

（a＞b＞0）．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）．这里c2=a2-b2．

2．两种标准方程的比较（引导学生归纳）

0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2；

-c）、F2（0，c），这里c2=a2+b2，只须将

（1）方程的x、y互换即可得到．

教师指出：

在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

（三）例题与练习

例题　平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：

先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：

这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2　下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是　　　　　　　　　　　　　[　　　]

由学生口答，答案为D．

（四）小结

1．定义：

椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．

3．图形如图2-15、2-16．

4．焦点：

F1（-c，0），F2（c，0）．F1（0，-c），F2（0，c）．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2

F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．

作业答案：

（二）能力目标

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

（三）学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：

椭圆的定义和椭圆的标准方程．

（解决办法：

用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．）

2．难点：

椭圆的标准方程的推导．

（解决办法：

推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．）

3．疑点：

椭圆的定义中常数加以限制的原因．

（解决办法：

分三种情况说明动点的轨迹．）

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

（一）椭圆概念的引入问题：

圆的几何特征是什么？

你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：

“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？

这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：

“椭圆，在哪些地方见过？

”有的同学说：

“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：

“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：

“在平面内”．

（2）这里的常数有什么限制吗？

教师边演示边提示学生注意：

若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：

“此常数大于|F1F2|”．

（二）椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？

根据求曲线方程的一般步骤，可分：

（1）建系设点；

（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．

（1）建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）．设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-1，0），F2（c，0）．

（2）点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

（3）代数方程

（4）化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

（a＞b＞0）．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）．这里c2=a2-b2．

2．两种标准方程的比较（引导学生归纳）

0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2；

-c）、F2（0，c），这里c2=a2+b2，只须将

（1）方程的x、y互换即可得到．

教师指出：

在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

（三）例题与练习

例题　平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：

先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：

这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2　下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是　　　　　　　　　　　　　[　　　]

由学生口答，答案为D．

（四）小结

1．定义：

椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．

3．图形如图2-15、2-16．

4．焦点：

F1（-c，0），F2（c，0）．F1（0，-c），F2（0，c）．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2

F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长．

作业答案：