2.2.1椭圆及其标准方程.ppt
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2.1.1椭圆及其标准方程,天体的运行,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆,一.课题引入：
椭圆的画法,椭圆及其标准方程,F1,F2,一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，,这两个定点叫做椭圆的焦点，,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.,问题1：
当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
问题2：
当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
线段F1F2,轨迹不存在,1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
几点说明：
1、F1、F2是两个不同的定点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？
）；,4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,下面我们来求椭圆的标准方程.,
（2）动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为不小于8，则P点的轨迹为（）A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定,课堂练习1,
（1）动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）A、椭圆B、线段F1F2C、直线F1F2D、不能确定,B,探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,2.求椭圆的方程：
原则：
尽可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.）,（对称、“简洁”）,O,X,Y,F1,F2,M,如图所示：
F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c）的动点M的轨迹方程。
解：
以F1F2所在直线为X轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为（-c,0）、（c,0）。
（-c,0）,（c,0）,（x,y）,设M（x,y）为所求轨迹上的任意一点，,则:
|MF1|+|MF2|=2a,O,X,Y,F1,F2,M,（-c,0）,（c,0）,（x,y）,两边平方得：
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：
（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）,因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得：
（ab0）,这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。
a,A1,y,O,F1,F2,x,B2,B1,A2,c,b,三、椭圆方程的几何意义：
如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1（o,-c）、F2（0,c）方程是怎样呢？
椭圆的第二种形式：
图形,方程,焦点,F（c，0）在轴上,F（0，c）在轴上,a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c0）,定义,四、两类标准方程的对照表：
注:
哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！
Y,椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：
左边是两个分式的平方和，右边是1,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
例写出适合下列条件的椭圆的标准方程,
（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
（2）a=4，b=1，焦点在坐标轴上；,或,五、数学应用：
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
（2）两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。
（1）两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：
因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：
2a=10，2c=8,即a=5，c=4,故b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为：
（2）两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。
解：
因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：
由椭圆的定义可知：
又因c=2，,所以椭圆的标准方程为：
故b2=a2-c2=10-22=6,课堂练习2：
1.口答：
下列方程哪些表示椭圆？
若是,则判定其焦点在何轴？
并指明，写出焦点坐标.,?
1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
表示一个圆；,探究与互动：
析：
方程表示圆需要满足的条件：
1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
表示一个圆；表示一个椭圆；,探究与互动：
析：
方程表示一个椭圆需要满足的条件：
1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
表示一个圆；表示一个椭圆；,探究与互动：
析：
方程表示一个椭圆需要满足的条件：
1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
表示一个圆；表示一个椭圆；表示焦点在x轴上的椭圆。
探究与互动：
析：
表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：
解题感悟：
方程表示椭圆时要看清楚限制条件，焦点在哪个轴上。
练习3：
若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。
方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,解之得：
0k4,k的取值范围为0k4。
例3、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，求的周长。
|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,|AB|+|AC|=12|BC|,点A的轨迹是以BC为焦点的椭圆（除去与x轴的交点）.且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故点A的轨迹方程是（y0）.,例4:
已知ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程.,解:
以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则BC两点的坐标分别为（-4,0）（4,0）.,定义法,练习：
已知A（1,0）,B（1,0），线段CA、AB、CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是_.,x2/4+y2/3=1,椭圆及其标准方程
（2）,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹,复习旧知,例1求焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程。
x2/15+y2/5=1,分析一：
当焦点在x轴上时，设方程x2/a2+y2/b2=1,当焦点在x轴上时，设方程x2/b2+y2/a2=1,分析二：
设方程mx2+ny2=1（m0,n0）,
（2）求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点（3,0）的椭圆的标准方程。
x2/9y2/81（3）已知椭圆x22y2a2（a0）的左焦点到直线l：
xy20的距离为，求椭圆方程。
x2/8y2/41,例2、在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足。
当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
为什么？
相关点法（转移法）:
即利用中间变量求曲线方程.,P,A,B,M,x,y,o,练习：
课本P42，练习第4题,七.走进高考：
（海南高考（理）第题第一问）已知椭圆的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆的方程（海南高考（文）第题）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_.,
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