椭圆及其标准方程.docx
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椭圆及其标准方程
三椭圆
§2.8椭圆及其标准方程
一、教学目标
（一）知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标
准方程。
（二）能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析
探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
（三）学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导教学，可以提高对各种知识的
综合运用能力。
二、教材分析
1、重点：
椭圆的定义和椭圆的标准方程。
（解决方法：
用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较。
）
2、难点：
椭圆的标准方程的推导。
（解决办法：
推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明。
）
3、疑点：
椭圆的定义中常数加以限制的原因。
（解决办法：
分三种情况说明动点的轨迹）
三、活动设计
提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答。
四、教学过程
（一）椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：
问题1：
什么叫做曲线的方程？
求曲线方程的一般步骤是
什么？
其中哪几个步骤必不可少？
对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正，这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识。
问题2：
当a＞0时，√f（x）=a与f（x）=a2是同解方程吗？
当a＞0时f（x）=a2（√f（x）-a）（√f（x）+a）
=0√f（x）=a
提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形。
问题3：
圆的几何特征是什么？
你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
一般学生能回答：
“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”，对同学提出的轨迹命题如：
“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”
“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹”
“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹”
教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神。
比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？
这时教师示范引导学生绘图：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
教师进一步追问：
“椭圆，在哪些地方见过？
”有的同学说：
“立体几何中圆的直观图。
”有的同学说：
“人造卫星运行轨道”等……
在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：
（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：
“在平面内”。
（2）这里的常数有什么限制吗？
教师边演边提示学生注意：
若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若是轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：
“此常数大于|F1F2|”。
（二）椭圆标准方程的推导
1、标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程。
如何建立椭圆的方程？
根据求曲线方程的一般步骤，可分：
（1）建系设点；
（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤。
（1）建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐
标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的。
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图2-14）。
设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0），F2（c，0）。
（2）点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MF1|+|MF2|=2a}
（3）代数方程
∵|MF1|=√（x+c）2+y2，|MF2|=√（x-c）2+y2，
得方程√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2=2a。
（4）化简方程
化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明。
整理后，再平方得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。
②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要讲。
由2a>2c可得a2-c2>0，令a2-c2=b2则得方程x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）。
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略。
因此，方程x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）即为所求椭圆的标准方程。
它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）。
这里c2=a2-b2。
2．两种标准方程的比较（引导学生归纳）
（1）x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2；
（2）y2/a2+x2/b2=1（a>b>0）表示焦点在y轴上的椭圆，焦点是F1（0，-c）、F2（0，c），这里c2=a2+b2，只须将
（1）方程的x、y互换即可得到。
教师指
出：
在两种标准方程中，∵a2>b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上。
（三）例题与练习
例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程。
分析：
先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程。
解：
这个轨迹是一个椭圆，两上定点是焦点，用F1、F2表示。
取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。
∵2a=102c=8
∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是
x2/52+y2/32=1，即y2/25+x2/9=1
请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，轨迹方程是什么形式呢？
y2/25+x2/9=1
练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
a=4，C=√15，焦点在y轴上。
由学生口答，方程为y2/16+x2=1
练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是（）
（A）x2/4+y2/2=1与y2/4+x2/2=1；
（B）x2/4+y2/2=1与x2/8+y2/4=1；
（C）x2/4+y2/2=1与x2/42+y2/22=1；
（D）x2/4+y2/2=1与x2/4+m+y2/2+m=1（m＞0）；
由学生口答，答案为（D）
（四）小结
1、定义：
椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
2、标准方程：
x2+a2+y2/b2=1（a＞b＞0）或y2+a2+x2/b2（a＞b＞0）
1、图形如图2-15、2-16
4、焦点：
F1（-c，O），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）
1、如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2与焦点F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程。
2、求椭圆x2/16+y2/25=1上一点M1（2.4,4）与焦点的距离.
3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆经过两点P（-2√2，0）、Q（0，√5）；
（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P（3，0）；
（3）焦点坐标是（-2√2，0）和（2√3，0），并且经过
点P（√5，-√6）
4、已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），F1、F2是它的焦点，AB是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长。
作业答案：
1、x2/64+y2/28=1
2、|M1F1|=37/5，|M1F2|=13/5
3、
（1）x2/8+y2/5=1
（2）x2/9+y2=1y2/81+x2/9=1
（3）x2/20+y2/8=1
4、由椭圆固定义易得，△ABF2的周长为4a。
六、板书设计
§2.8椭圆及其标准方程
（一）椭圆的概念
问题1
问题2
问题3
定义
（二）椭圆标准方程的推导
1、标准方程的推导
2、标准方程的比较
（三）例题与练习
例题
练习1
练习2
（四）小结
§2.9椭圆的几何性质
一、教学目标
（一）知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用。
（二）能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力。
（三）学科渗透点
使学生掌握利用方法研究曲线性质的基本方法，加深对直
角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等。
二、教材分析
1、重点：
椭圆的几何性质及初步运用
（解决办法：
引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结。
）
2、难点：
椭圆离心率的概念的理解。
（解决办法：
先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离e的几何意义。
）
3、疑点：
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变。
（解决办法：
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明。
）
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结。
四、教学过程
（一）复习提问
1、椭圆的定义是什么？
2、椭圆的标准方程是什么？
学生口述，教师板书。
（二）几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，本节课就根据椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）来研究椭圆的几何性质。
说明：
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变。
1、范围
引导学生从标准方程x2/a2+y2/b2=1得出不等式x2/a2≤1，y2/b2≤1，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里（图2-18），注意结合图形讲解，并指了描点画图时，就不能取范围以外的点。
2、对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质2。
设问：
为什么“把x换成-x，或把y换成-y？
，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？
事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x，y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称，类似可以证明其他两个命题。
同时向学生指出：
如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称，如：
如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称。
事实上，设P（x，y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1（x，-y）必在曲线上，又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2（-x，y）必在曲线上，因P（x，y）P2（-x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称。
最后指出：
x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。
3、顶点
引导学生从椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1分析它与x轴、y轴的交点，只须令x=0，得y=±b，点B1（0，-b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1（-a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点，强调指出：
椭圆有四个顶点A1（-a，0）、A2（a，0）、B1（0，-b）、B2（0，b）。
教师还需指出：
（1）线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b。
（2）a、b的几何意义：
a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结以下：
由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形。
4、离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：
椭圆的焦距与长轴的比e=c/a
等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义。
先分析椭圆的离心率e的取值范围：
∵a＞c＞0，∴0＜e＜1
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
（1）当e接近1时，c越接近a，从而b=√a2-c2越小，
因此椭圆越扁；
（2）当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此
椭圆接近圆；
（3）当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程
成为x2+y2=a2，图形就是圆了。
（三）应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下列1。
例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成，后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：
（1）列表，将x2/25+y2/16=1变形为y=±4/5√25-x2，根据y=y=±4/5√25-x2在第一象限x≤5的范围内算出几个点的坐标（x，y）：
x
0
1
2
3
4
5
y
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
（2）描点作图,先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（图2-19）.要强调:
利用对称性可以使计算量大大减少。
例2点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：
x=a2/c的距离的比是常数c/a（a＞c＞0），求点M的轨迹。
本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：
设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M|MF|/d=c/a}
由此得：
√（x-c）2+y2/|a2/c-x|=c/a
将上式化简，得：
（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）
设a2-c2=b2，就可以化成：
x2/a2+y2/b2=1
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆。
由此例不难归纳出椭圆的第二定义。
（四）椭圆的第二定义
1、定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1时，这个点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
2、说明
（1）对于椭圆x2/a2+y2/b2=1，相应于焦点F（C，0）的准线方程是x=a2/C
（2）对于椭圆y2/a2+x2/b2=1，相应于焦点F（O，C）的准线方程是y=a2/c，相应于焦点F´（O，-c）的准线方程是x=-a2/c。
这时还要讲清e的几何意义是：
椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比。
（五）小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一
曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关，前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二标准方程的椭圆的性质，布置学生最后小结下列表格：
标准方程
x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）
y2/a2+x2/b2=1（a＞b＞0）
图象
范围
对称性
顶点
长轴
短轴
焦点
离心率
准线
五、布置作业
1、求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：
（1）25x2+4y2-1=0
（2）x2+4y2-1=0
2、我国发射的科学实验人造地球了星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程。
3、点P与一定点F（2，0）的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1：
2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
4、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率e=√3/2，求椭圆的方程。
作业答案：
1、
（1）2a=10，2b=4，2c=2√21，e=√21/5，焦点（0，±√21），顶点（0，±5）、（±2，0），准线y=25/√21
（2）2a=2，2b=1，2c=√3，e=√3/2，焦点（±√3/2，0），顶点（±1，0）、（0，±1/2），准线x=±2/√3
2、选取坐标系，x2/（7417）2+y2（7376）2=1
3、x2/16+y2/12=1轨迹是长半轴等于4，短半轴等于2√3的椭圆。
4、顶点（0，2）可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：
x2/16+y2/4=1或x2/1+y2/4=1
六、板书设计
§2.9椭圆的几何性质
（一）提问
1.
2.
（二）几何性质
1.
2.
3.
4.
（三）应用
例1
例2
（四）椭圆的第二定义
1.定义:
2.说明:
（五）小结
§2.10椭圆定义、标准方程以及几何性质的应用
一、教学目标
（一）知识教学点
使学生进一步理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程和几何性质。
（二）能力训练点
通过椭圆定义、标准方程和几何性质的进一步研究，培养学生综合运用椭圆的各方面知识的能力和解决一些解析几何实际问题的能力。
（三）学科渗透点
椭圆定义、标准方程以及几何性质是来源于实践的理论，同时服务于实践，通过本次课可进行辩证唯物主义思想教育。
二、教材分析
1、重点：
椭圆定义、标准方程以及几何性质的应用
（解决办法：
多加强这方面的题型训练，使学生掌握它们的规律。
）
2、难点：
椭圆的焦半径和弦长问题。
（解决办法：
先证明焦半径公式，再用它解决一些问题。
）
3、疑点：
用椭圆的定义判断一些椭圆的轨迹问题
（解决办法：
通过例16分析两个定义的综合运用。
）
三、活动设计
提问、讲授、口答、演板、练习、小结。
四、教学过程
（一）复习引入
1、定义（请两名学生回答，教师板书）
第一定义：
平面内到两定点F1、F2的距离和等于常数2a
（2a＞|F1F2|=2a）的动点M的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距，即|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|=2a）。
第二定义：
平面内点M与一个定点F的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=c/a（0＜e＜1＝时，这个点M的轨迹是椭圆，定点F是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
2、标准方程、图象及几何性质：
（教师事先准备一块小黑板，设计如下表格，请两名学生填写，其他同学纠错，教师巡视。
）
（二）应用举例
例1
（1）已知一定圆C及圆内部的一个定点A，试判断过点A且与OC相切的圆的圆心轨迹（图2-20）
（2）已知L为定直线，F为定点，FL，试问以F为焦点，L为准线的椭圆有多少个？
（3）椭圆9x2+25y2=225上有一点P到左准线的距离是2.5，求P到右焦点的距离。
分析：
本例是关于椭圆的两个定义的题型，要求学生深入理解椭圆两个定义。
解：
（1）设圆心为M，且设动点M的半径为r，定圆C半径为R（定值），则有|MC|+|MA|=（R-r）+r=R为定值，且R>|AC|
由椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆。
（2）由学生口答，由椭圆的第二定义，因为离心率不定，所以满足条件的椭圆有无穷多个。
（3）椭圆的方程可化为X2/25+Y2/9=1
∴a=5，b=3，c=4，从而e=c/a=4/5
设椭圆左、右两焦点分别为F1，F2，且设P到左准线的距离为|PQ|，由椭圆的第二定义可知：
|PF1|/|PQ|=e
∴|PF1|=e|PQ|=4/5×2.5=2
又由椭圆的第一定义可知：
|PF1|+|PF2|=10
∴|PF2|=10-2=8
故P到右焦点的距离为8。
例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A（√3，-2）和B（-2√3，1）两点，求椭圆方程。
分析：
由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆的标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）且不必去考虑焦点的位置，直接可求出方程。
由一学生演板完成，解答为：
设所求椭圆方程mx2+ny2=1（m＜0，n＞0＝
由A（√3，-2）和B（-2√3，1）两点在椭圆上可得：
m.（√3）2+n.（-2）2=1即3m+4n=1
m.（-2√3）2+n.12=112m+n=1
∴m=1/15
n=1/5
故所求的椭圆方程为x2/15+y2/5=1
例3
（1）证明：
若F1、F2分别为椭圆x2/a2+y2/b2=1的左、右两焦点，则椭圆上任一点P（x0，y0）到焦点的距离（称为焦半径）|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；若F1、F2分别为椭圆y2/a2+x2/b2=1的上、下两焦点，则椭圆上任一点P（x0，y0）的焦半径|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。
（2）已知椭圆x2/49+y2/24=1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，求此直角三角形PF1F2的面积。
解
（1）：
椭圆的焦半径是一个经常见到的问题，可以作为椭圆的性质，结论要求大家记忆，证明由椭圆第二定义易得，下面仅证明其中一种情况，其他情况可类似证明。
如图（2-21）作PQ垂直于左准线，垂足为Q，由椭圆的第二定义知：
|PF1|/|PQ|=e
∵|PQ|=x0+a2/e，
∴|PF1|=e|PQ|=e（x0+a2/c）=a+ex。
解
（2）：
由学生演板完成，教师巡视、解答：
∵a2=49b2=24
∴c2=25，从而e=c/a=5/7
设P（x0，y0）则有|PF1|=a+exo
|PF2|=a+exo
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2
∴2（a2+e2x2o）=4c2，
∴xo2=49/25即xo=±7/5
∴S=1/2|PF1|•|PF2|=1/2（7+1）（7-1）=24
例4已知长轴为12，短轴为6的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为π/3的直线交椭圆于A、B两点、求弦AB的长。
解法一：
利用直线与椭圆相交的弦长公式|AB|=√1+k2|X1-X2|=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]
∵a=b，b=3，∴c=3√3
∴椭圆方程为x2/36+y2/9=1，左焦点为（-3√3，0），从而直线L的方程为y-0=√3（x+3√3）
由直线方程与椭圆方程联立方程得：
13x2+72√3x+36×8=0
设x1，x2为方程两根
∴x1+x2=-72√3，x1x2=36×8/13
从而|AB|=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=48/13
解法二：
利用椭圆的定义及余弦定理
如图2-22，设椭圆x2/36+y2/9=1，且设|AF|=m，|BF|=n则|AFˊ|=12-m，|BFˊ|=12-n
在△AFFˊ中，|AFˊ|2=|AF|2+|FFˊ|-2|AF|．|FFˊ|cos60º
即（12-m）2=m2+36×3-2·m·6√3·1/2
∴m=6/4-√3
同理在△BFFˊ中，用余弦定理得：
n=6/4+√3
∴|AB|=m+n=48/13
这时，
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