分式运算中的常用技巧教师版解读.docx

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分式运算中的常用技巧教师版解读

分式运算中的常用技巧（教师版

在数式的相关运算中,分式的运算是同学们感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低;其实分式的运算涵盖知识点多,技巧性强,是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误,除了知识上原因,方法技巧也很重要;我觉得除了要掌握常规的计算方法,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.

1、先约分、再计算:

例.计算:

4

44

242222++-+++xxxxxxx

分析:

按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母（2

xx2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.

解:

原式=（（（（（2

xx4x2x2x4x22x2

xx2x2x2x2x2++-+-++=+=+++++变式训练:

2222a93a6a3

a2a3a1

--+----

2、分步通分:

例.计算:

4

214121111xxxx++++++-分析:

本题中原所有分式的最简公分母是（（（（

241x1x1x1x-+++,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们

先计算111x1x+-+,最简公分母为（（1x1x-+即21x-,则11

1x1x+

-+2221x1x2

1x1x1x+-=+=

---,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便.解:

原式（

（=22

2

2

2

4

2

2

4

4

4

4

21x21x1x1x2422441x1x1x

1x

1x

1x1x

1x

1x

1x

+-+-+++

=

+

+

=

++

--++-++-++

=（

（44

4

4

8

8

8

41x41x448

1x1x1x1x1x+-+

=

+=

-+---

变式训练:

①.

16

84211618141211xxxxx--+++++++;②.1111

x4x6x5x7+--

++++.

3、整体通分法:

例.计算:

2

4

2++

-aa分析:

本题若把a2-分成两项与后面的通分在想加减,要多一些计算的过程;若把a2-看成一个整体,即a21

-再与后面的通分显然更简单.

解:

原式=（（222

a2a24a44a44aa2a2a2a2a2a2

-+--++=+==++++++

变式训练:

4

a2a2

-+-

4、巧用裂“项”法:

例.计算:

（（（（（

（（100991

32121111--++--+--+-xxxxxxxx

分析:

本题若将原式通分再相加,进行手工计算的式子有多长,时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析,

我们类比小学的:

;;;111111111111

62323123434204545

==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧,有:

（（（（（;;;111111111

xx1x1xx1x2x2x1x2x3x3x2

=-=-=-----------,以此类推,最后互为相

反数特征的不和为0,最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.

解:

原式=1111111111

x1xx2x1x3x2x99x98x100x99-+-+-++-+-

---------=+1111111111

xx1x1x2x2x3x98x99x99x100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+

⎪⎪⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11

xx100-+-

=（（x100x

xx100xx100--+--

=

（

100

xx100-

变式训练:

（（

（（

（（（（（111

11

xx1x1x2x2x3x2014x2015x2015x2016+++

+

++++++++++

5、利用分配律:

例.计算:

1

x11xx1xx22

-÷⎪⎭⎫⎝⎛+--分析:

本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的,见下面的方法1;其二、用分配律进行运算,见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单.略解:

（方法1:

先算括号里的

原式=（（（（（（1x1

1x1x1xx1x1x1xx22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+=（（（（

1x1x1

1x1xxxx2x222-+÷+-+-+

=

（（（（1

1x1x1x1xx

3x2-+⨯+-+=x3x2+

（方法2:

利用分配律

原式=（（11x1x1xx1xx2-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛+--=（（（（1x1x1xx

1x1x1xx2-+⨯+--+⨯-

=（（1xx1xx2--+

=xxx2x222+-+=x3x2+

变式训练:

x

2x24x4x1x2x12

22-÷⎪⎭⎫

⎝⎛+---

6、巧代换:

例.设abc1=,求1

cacc

1bbcb1aaba+++

+++++的值?

分析:

由abc1=,可知1abc=,且c0≠;若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c,中间的分式的分母1换成abc,本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式,一切问题便都迎刃而解了.

解:

∵abc1=

∴1abc=,且c0≠

∴原式=（acbcacbc

abcaccbcbabcacc11accbacc1acc1

++=++++++++++++++

=

ac1c

acc1acc1acc1acc1

acc11

++

++++++++=

++=点评:

本题在破解题上有些特殊性,须从1abc=才能看的出些端倪;当我们把中间分式的1换成abc后,就很容易看得出后面两个是同分母的分式了,在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.

7、设参法（辅助未知数法:

例.已知5z

4y3x==,求2

222yxy2x3y2xy3x-++-的值?

分析:

本题通过

5

z

4y3x==的条件可以找出xyz、、之间的关系,然后变换代入进行分式的约分,但过程繁杂.若设xyz

k345

===,则,,x3ky4kz5k===,代入后进行计算就比较简单了（这里k起个辅助作用,最

后会约去的.

解:

设xyz

k345

===,则,,x3ky4kz5k===,代入:

（（（（

2

2

22222222222222

3k33k4k25yx3xy2y9k36k50k23k23

263x2xyy27k24k25k26k33k23k4k5y-⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-

变式训练:

已知:

:

:

:

abc235=,求22

22

2aabb3a2ab2b-++-的值.

8、“因式分解”法:

例.计算:

（

（

（

（

1

12

21

12

2---------÷-++÷-babababa

分析:

本题若按常规解法,就要先算括号里面的,也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算,步骤是比较多的.我们发现（（

22

221

1

abab-----=-,可以借用整式中分解因式的技巧,将

（（2

2

221

1

abab-----=-分解成（（

1111abab----+-,然后进行约简.解:

原式=（（（（（（

1

1

1

1

1

1

1

11111aba

ba

ba

babab------------+-÷+++-÷-

=1111abab-----++

=12a-

=2

a

变式训练:

2121212

mmmm2

m2m1m1

------------+-

9、乘方法、倒数法:

例.已知51=+xx,求①、221xx+;②、4

4-+xx;③、1

2

42++xxx.分析:

本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃

力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②,若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;③题可以用倒数（分子、分母颠倒的办法解决.略解:

,2

222111x5x5x225xxx⎛

⎫+=∴+=∴++=⎪⎝

⎭

①.221

x25223x+=-=

②.221

x23x

+=

2

2244244111x23x2529x5292527xxx⎛

⎫∴+=∴++=∴+=-=⎪⎝

⎭,

③.设242xmxx1=++,则422

221xx11x123124mxx++==++=+=∴1

m24=,即242x124

xx1=++.

变式训练:

⑴.若1m7m-=,求①.22mm--;②.4

41mm

+;③.242mmm1++的值.

⑵.若221a5a

+=,试求1

aa-的值.

10、去分母法:

例.已知:

ab、都是正实数,且baba+=-211,求2

2b2ab3a2ab

7-+的值?

分析:

两头凑,从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab与22ab-之间的关系而要求的代数式变形后是以ab与22ab-为结构的.

解:

（（22112ba2

baab2abab2ababababab

--=∴=∴-+=∴-=-++

∴（

（（227ab7ab7ab7ab7ab

722ab3ab22ab3ab4ab3abab2ab3ab

======-⨯-+⨯-+-+--+原式

变式训练:

若331xy-=,求+2225xy

3x2xy3xy

-的值.

11、分类讨论:

例.已知kb

c

aac

b

cba=+=+=+,判断一次函数ykxk=-一定经过那些象限?

分析:

要判断一次函数ykxk=-一定经过那些象限的关键是要确定k的取值情况,而k的取值和abc、、有关,由于本题未给定abc、、的条件,所以要进行讨论.在当abc、、均不等于0的情况下,分为abc0++=和abc0++≠进行讨论,见下面的解答.

解:

⑴.当abc、、均不等于0且abc0++≠时,有（（（（

abbcac2abck2cababc

+++++++=

==++++,即y2x2=-,此时一次函数的图象经过一、三、四象限.

⑵.当当abc、、均不等于0,但abc0++=时,此时,,abcacbbca+=-+=-+=-,代入

cabk1cab

---====-,即yx1=-+,此时一次函数的图象经过一、二、四象限.

变式训练:

已知abc、、均是不等于0的有理数,试求:

babacacbcabc

abcabbcacabc++++++

的值?

课外选练:

一、计算或化简:

;b

aa2a

bbaabba.1-÷⎪⎭⎫

⎝⎛-+÷⎪⎭⎫⎝⎛-;bab

2ababa1a2.

2---+-+（;3xx13x4x1

x2x1x2xxx2x.322222+÷-++++--⋅---

（

（

（

（

;6aaaa3a4aaa2.42222-++++-

;1a44a44a2a4.5⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-⨯-

;21a1a44a14a81.62

2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---;1

a4a4a2aa4a21aa4a.732222++++--+⋅+--;yxy2xyxyxx

yxy2xxyx.82

22232+-+⋅-÷

++-（

（（

1x2xx

x1xx

1

x2x.

922

2

2--+⋅-÷+-

（（.4x2

x4xx2x4x.1022-+-+-+

二、解答题:

2015年周末班学案1.如果自信释放潜能；付出铸就成功！

WLSxyzx+y+z==¹0,求的值？

234x+-z222x+182.已知x为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的x值的和？

++2x+23-xx-9æ2xy-y2ö÷¸çx-ç÷，其中x=2,y=-1.xèø21x-4x4-xæx+3ö4.先化简,再求值:

若x=,求¸×ç-÷的值？

xx+3xèx3ø3.先化简,再求值:

x-yx5.在三个整式x2-1，x2+2x+1,x2+x中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当x=2时分式的值？

6.阅读题：

当a-b>0时，有a>b;a-b=0时，有a=b;当a-b<0时，有a

x>0,y>0时，计算4x24x2-4xy+y24x24x2-4xy+y2-（y-2x）2y2的值，并比较与（y-2x）2y2的大小？

7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：

解：

原式==11x-4x+42¸x+2×4-x2.x-2（）（x-2）12¸´x+2×（2-x）（2+x）„„x-2x-2×（2-x）（2+x）„„x+2第一步第二步（x-2）2=1„„第三步回答：

⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为⑵.第二步使用的法则的字母的表达式；⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是；⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案.；21（x+1）æx2+1ö÷的值，雯8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：

当x=1+3时，求代数式x-2¸ç1+（）x-xçè2x÷ø雯一看，感慨道：

“今天的作业要算得久啊！

”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？

请写出你的求解过程.4xö1æx-29.有这样一道试题：

“先化简，在求值.ç+,其中x=-3.”马虎做该题时把÷¸èx+2x2-4øx2-4“x=-3”错抄成“x=10.“x+，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？

3”1”模式题组;x11⑴、已知：

x-=4,求x+的值？

xx6

2015年周末班学案⑵、已知：

x2-4x+1=0,求x+2自信释放潜能；付出铸就成功！

WLS1的值？

x2⑶、已知：

xx2的值?

=2,求x2-4x+1x4+x2+17