2422直线和圆的位置关系2 习题.docx

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2422直线和圆的位置关系2习题

第2课时　切线的判定和性质

知识点1　切线的判定

1．下列说法中正确的是（　　）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线

B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线

C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线

D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

2．如图24－2－21所示，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．

图24－2－21

3．如图24－2－22，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________°时，AC才能成为⊙O的切线．

图24－2－22

4．2017·宜宾如图24－2－23，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为E.求证：

直线CE是⊙O的切线．

图24－2－23

知识点2　切线的性质

5．如图24－2－24，AB，AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　　）

图24－2－24

A．25°B．30°C．35°D．40°

6．2016·邵阳如图24－2－25所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是（　　）

图24－2－25

A．15°B．30°C．60°D．75°

7．2017·连云港如图24－2－26，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．

图24－2－26

8．如图24－2－27，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝________．

图24－2－27

9．2016·济南如图24－2－28，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，若∠OPA＝40°，求∠ABC的度数．

图24－2－28

10．如图24－2－29，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面三个结论：

①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是（　　）

图24－2－29

A．3B．2C．1D．0

11．如图24－2－30，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留π）

图24－2－30

12．2016·呼和浩特在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为________．

13．2017·益阳如图24－2－31，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．

图24－2－31

14．2017·南充如图24－2－32，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长．

图24－2－32

15．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

（1）如图24－2－33①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（要求写出两种情况）：

________或者________；

（2）如图24－2－33②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？

试证明你的判断．

图24－2－33

教师详解详析

1．B

2．答案不唯一，如∠ABC＝90°

3．60　[解析]∵在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当∠CAB＝60°时，OA⊥AC，此时AC为⊙O的切线．

4．证明：

连接OD，

∵OA＝OD，∴∠2＝∠3.

∵AD平分∠CAE，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，

∴AE∥OD，∴∠E＝∠ODC.

∵AE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥CE.

又∵OD是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

5．D

6．D　[解析]连接OD.∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC－∠ODC＝150°.∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB＝

∠AOD＝75°.

7．5　[解析]连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB.设圆的半径为r，根据勾股定理可得r2＋AB2＝（r＋AC）2，即r2＋122＝（r＋8）2，解得r＝5.

8．8　[解析]∵CA与⊙O相切，∴AB⊥AC.

∵在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，

∴∠C＝30°，∴BC＝2AB＝8.故答案为8.

9．解：

∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∴∠BAP＝90°.∵∠OPA＝40°，

∴∠AOP＝180°－90°－40°＝50°.

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠BCO.

又∵∠AOP＝∠ABC＋∠BCO，

∴∠ABC＝

∠AOP＝

×50°＝25°.

10．A　[解析]连接OD，根据切线的性质定理可得OD⊥CD.由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角等于90°”，可得∠ADB＝90°，结合已知条件“∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在Rt△ADB中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB＝2BD，从而AB＝2BC.

11．16π　[解析]如图，设AB与小圆切于点C，连接OC，OB.

∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC＝AC＝

AB＝

×8＝4.

∵在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋BC2，

∴圆环（阴影）的面积＝π·OB2－π·OC2＝π（OB2－OC2）＝π·BC2＝16π.

故答案是16π.

12．24　[解析]如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E.

∵2πR＝26π，∴R＝13，∴OF＝OD＝13.

∵AB是⊙O的切线，∴OF⊥AB.

∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，即OE⊥CD，∴CE＝ED.

∵EF＝18，OF＝13，∴OE＝5.

在Rt△OED中，∵∠OED＝90°，OD＝13，OE＝5，∴ED＝

＝

＝12，∴CD＝2ED＝24.

13．解：

（1）证明：

如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，

∴∠ACB＝90°，

即∠ACO＋∠OCB＝90°.

∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，

∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，

∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，

∴OC⊥CD.

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）由

（1）及已知得∠OCD＝90°，OB＝OC＝3，CD＝4，

在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD＝5，

∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.

14．解：

（1）证明：

如图，连接OD，CD.

∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，

∴∠BDC＝90°.

又∵E为BC的中点，

∴DE＝

BC＝CE，

∴∠EDC＝∠ECD.

∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE.

又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2＝OF2，

即x2＋42＝（x＋2）2，解得x＝3.

∴⊙O的直径的长为6.

15．解：

（1）答案不唯一，如①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.

理由：

①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.

又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．

②∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°.

∵∠EAC＝∠ABC，

∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，

即AE⊥AB.

又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．

（2）EF是⊙O的切线．

证明：

如图，作直径AM，连接CM，

则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，

∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.

∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠CAM＝90°，

即AE⊥AM.

∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．