高二上学期入学数学试题.docx
《高二上学期入学数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二上学期入学数学试题.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高二上学期入学数学试题
2019-2020年高二上学期入学数学试题
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（xx•福建）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（ ）
A．
{x|2＜x≤3}
B．
{x|x≥1}
C．
{x|2≤x＜3}
D．
{x|x＞2}
考点：
交集及其运算．
分析：
结合数轴直接求解．
解答：
解：
如图，
故选A．
点评：
本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号．
2．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
判断两个函数是否为同一函数．
专题：
计算题．
分析：
两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系．考查各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域和对应关系，从而得出结论．
解答：
解：
由于函数y=1的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x≠0}，这2个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除A．
由于函数的定义域为{x|x＞1}，而的定义域为{x|1＜x或x＜﹣1}，
这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．
由于函数y=x与函数y=具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．
由于函数y=|x|的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x≥0}，这两个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除D．
故选C．
点评：
本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系．
3．（5分）函数的定义域是（ ）
A．
B．
[1，+∞）
C．
D．
（﹣∞，1]
考点：
函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
专题：
计算题．
分析：
欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可．
解答：
解：
欲使函数的有意义，
须，
∴
解之得：
故选C．
点评：
对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写．
4．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．
9π+42
B．
36π+18
C．
D．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．
解答：
解：
由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，
下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，
上面是一个球，球的直径是3，
该几何体的体积是两个体积之和，
四棱柱的体积3×3×2=18，
球的体积是，
∴几何体的体积是18+，
故选D．
点评：
本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．
5．（5分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，下列命题中错误的是（ ）
A．
若a∥b，a⊥α，则b⊥α
B．
若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
C．
若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D．
若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
A利用线面垂直的判定定理进行判定．B利用线面垂直的性质和面面平行的性质进行判断．C利用线面平行的性质判断．D利用线面垂直的性质定理判断．
解答：
解：
A若直线垂直平面，则和直线平行的直线也垂直于这个平面，所以A正确．
B若a⊥α，α∥β，所以a⊥β，又b⊥β，所以根据垂直同一个平面的两条直线是平行的，所以B正确
C同时和两个平行平面的两条直线可能是平行或异面或直线相交，所以C不正确．
D根据线面垂直的性质和面面垂直的性质可知D正确．
故选C．
点评：
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理和性质定理的应用．
6．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A．
x﹣2y+7=0
B．
2x+y﹣1=0
C．
x﹣2y﹣5=0
D．
2x+y﹣5=0
考点：
直线的一般式方程；两条直线平行的判定．
专题：
计算题．
分析：
由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程
解答：
解：
由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3）
代入可得﹣1﹣6+c=0则c=7
∴x﹣2y+7=0
故选A．
点评：
本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．
7．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ）
A．
相离
B．
相交
C．
内切
D．
外切
考点：
圆与圆的位置关系及其判定．
专题：
综合题．
分析：
分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．
解答：
解：
把x2+y2﹣8x+6y+9=0化为（x﹣4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，
所以两圆心的坐标分别为：
（4，﹣3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，
则两圆心之间的距离d==5，
因为4﹣3＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．
故选B．
点评：
此题考查学生掌握两圆的位置关系的判别方法，利用运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
8．（5分）（xx•山东）在某次测量中得到的A样本数据如下：
82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．
众数
B．
平均数
C．
中位数
D．
标准差
考点：
极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
专题：
阅读型．
分析：
利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．
解答：
解：
A样本数据：
82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
故选D．
点评：
本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
9．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．
至多有一次中靶
B．
两次都中靶
C．
两次都不中靶
D．
只有一次中靶
考点：
互斥事件与对立事件．
专题：
常规题型．
分析：
事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．
解答：
解：
∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，
它的互斥事件是两次都不中靶，
故选C．
点评：
本题考查互斥事件和对立事件，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．
10．（5分）（2011•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．
3
B．
11
C．
38
D．
123
考点：
程序框图．
专题：
图表型．
分析：
通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．
解答：
解；经过第一次循环得到a=12+2=3
经过第一次循环得到a=32+2=11
不满足判断框的条件，执行输出11
故选B
点评：
本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律．
11．（5分）函数y=sin（2x+）的图象可看成是把函数y=sin2x的图象作以下平移得到（ ）
A．
向右平移
B．
向左平移
C．
向右平移
D．
向左平移
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，由此得出结论．
解答：
解：
由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），
故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+）的图象，
故选D．
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．
12．（5分）在△ABC中，，，，则下列推导中错误的是（ ）
A．
若•＞0，则△ABC为钝角三角形
B．
若•=0，则△ABC为直角三角形
C．
若•=•，则△ABC为等腰三角形
D．
若•（++）=0，则△ABC为等腰三角形
考点：
平面向量数量积的运算；命题的真假判断与应用．
专题：
规律型；平面向量及应用．
分析：
对于A，•＞0，则角C的补角为税角，角C为钝角；对于B，•=0，则角C为直角，三角形是直角三角形，正确
对于C，AC边上的中线垂直于AC，三角形是等腰三角形；对于D，++=0，对任何三角形都成立．
解答：
解：
对于A，•＞0，则角C的补角为税角，角C为钝角，所以是钝角三角形，正确
对于B，•=0，则角C为直角，三角形是直角三角形，正确
对于C，•=•，则（﹣）•=0，所以AC边上的中线垂直于AC，三角形是等腰三角形，正确
对于D，因为++=0，对任何三角形都成立，所以D不正确
故选D．
点评：
本题主要考查向量的夹角，向量的运算等等，要注意向量与几何图形间的区别与联系．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．（4分）过A（1，2）和B（3，4）两点的直线斜率是 1 ．
考点：
直线的斜率．
专题：
计算题．
分析：
由已知两点的坐标，代入斜率公式可得答案．
解答：
解：
由已知结合斜率公式可得：
过A（1，2）和B（3，4）两点的直线斜率为=1．
故答案为：
1
点评：
本题考查直线的斜率公式，属基础题．
14．（4分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是
2π ．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：
计算题．
分析：
本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的时候，应先结合：
圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，分析圆锥的母线长和底面半径长，结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答．
解答：
解：
由题意：
圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，
∴对于轴截面有：
，
∴a2=4，∴a=2，
所以圆锥的侧面积为：
π•1•2=2π．
故答案为：
2π．
点评：
本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．
15．（4分）设函数f（x）=，则f[f（）]= ．
考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
专题：
计算题．
分析：
先由计算，然后再把与0比较，代入到相应的函数解析式中进行求解．
解答：
解：
∵
∴
故答案为：
．
点评：
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是计算出后，代入到函数的解析式时，要熟练应用对数恒等式．
16．（4分）已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=，则sinβ的值等于 ．
考点：
同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．
专题：
计算题．
分析：
由α，β都是锐角，得出α+β的范围，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出cosα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β变为（α+β）﹣α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值．
解答：
解：
∵α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），
又sinα=，cos（α+β）=，
∴cosα=，sin（α+β）=，
则sinβ=sin[（α+β）﹣α]
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
=×﹣×
=．
故答案为：
点评：
此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．
三、解答题：
本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，C={x|x≥a﹣1}．
（1）求A∩B；
（2）若B∪C=C，求实数a的取值范围．
考点：
集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
专题：
探究型．
分析：
（1）化简集合B，然后求集合的交集．
（2）利用B∪C=C，得到B⊆C，然后求实数a的取值范围．
解答：
解：
（1）由题意知，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…（2分）
所以A∩B={x|2≤x＜3}…（4分）
（2）因为B∪C=C，
所以B⊆C…（6分）
所以a﹣1≤2，即a≤3…（8分）
点评：
本题主要考查集合的基本运算以及利用集合关系求参数问题，比较基础．
18．（12分）已知向量=（2，0），=（1，4）．
（Ⅰ）求|+|的值；
（Ⅱ）若向量k与+2平行，求k的值；
（Ⅲ）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围．
考点：
平面向量的综合题．
专题：
平面向量及应用．
分析：
（Ⅰ）先求向量的坐标，即可求|+|的值；
（Ⅱ）确定向量k，+2的坐标，利用平行的条件，即可求k的值；
（Ⅲ）向量k+与+2的夹角为锐角，则数量积大于0且不共线，即可求k的取值范围．
解答：
解：
（Ⅰ）依题意得=（3，4），∴||==5
（Ⅱ）依题意得k=（2k+1，4），+2=（4，8）
∵向量k与+2平行
∴8×（2k+1）﹣4×4=0，解得k=
（Ⅲ）由（Ⅱ）得k=（2k+1，4），+2=（4，8）
∵向量k+与+2的夹角为锐角，
∴4×（2k+1）+4×8＞0，且8×（2k+1）≠4×4
∴且k≠．
点评：
本题考查向量知识的运用，考查向量模的计算，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）某校有学生会干部7名，其中男干部有A1，A2，A3，A4共4人；女干部有B1，B2，B3共3人．从中选出男、女干部各1名，组成一个小组参加某项活动．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求A2，B2不全被选中的概率．
考点：
古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）从7名学生会干部中选出男干部、女干部各1名，用列举法求得其一切可能的结果共有12种，用M表示“A1被选中”这一事件，则M中的结果有3种，由于所有12种结果是等可能的，其中事件M中的结果有3种．再由古典概型的概率计算公式可得P（M）．
（Ⅱ）用N表示“A2，B2不全被选中”这一事件，求出其对立事件只有一种结果，可得其对立事件的概率为，用1减去对立事件的概率，即得所求．
解答：
解：
（Ⅰ）从7名学生会干部中选出男干部、女干部各1名，
其一切可能的结果共有12种：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），
（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），
（A3，B3），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）．…（4分）
用M表示“A1被选中”这一事件，则M中的结果有3种：
（A1，B1），（A1，B2，（A1，B3）．
由于所有12种结果是等可能的，其中事件M中的结果有3种．
因此，由古典概型的概率计算公式可得：
P（M）=…（6分）
（Ⅱ）用N表示“A2，B2不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“A2，B2全被选中”这一事件．
由于中只有（A2，B2）一种结果．
∴P（）=由对立事件的概率公式得：
P（N）=1一P（）=1一=．…（12分）
点评：
本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．
20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（Ⅰ）求证：
AB∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：
BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．
考点：
直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（I）由已知中AB∥DC，结合线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD；
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，由已知中DC=1，AB=2，我们根据勾股定理可得BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）若M是PC的中点，则M到面ADC的距离是P到面ADC距离，即PA的一半，根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
解答：
证明：
（Ⅰ）∵AB∥CD
又∵AB⊄平面PCDCD⊂平面PCD
∴AB∥平面PCD
（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE=DC=1
又AB=2，∴BE=1
在Rt△BEC中，∠ABC=45°
∴CE=BE=1，CB=
∴AD=CE=1
则AC==，AC2+BC2=AB2
∴BC⊥AC
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
（Ⅲ）∵M是PC中点，
∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半
∴
．
点评：
本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归转化思想、必然与或然思想；属于立体几何中的基础题型．
21．（13分）某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润万元；投资B项目n万元可获得利润（40﹣n）2（40﹣n）万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？
最大利润是多少？
考点：
函数最值的应用．
专题：
应用题；函数的性质及应用．
分析：
设x万元投资于A项目，用剩下的（40﹣x）万元投资于B项目，根据已知求出利润W与x之间的函数关系式，进而根据二次函数的图象和性质，求出函数的最值点及最值．
解答：
解：
设投资x万元于A项目，则投资（40﹣x）万元于B项目，…（2分）
总利润
…（5分）
=﹣x2+30x+100=﹣（x﹣15）2+325…（8分）
当x=15时，Wmax=325（万元）．
所以投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．…（10分）
点评：
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知构造出利润W与x之间的函数关系式，是解答的关键．
22．（13分）已知向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），（﹣）⊥，且A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
考点：
三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）由题意得，利用两个向量的数量积的定义以及两个向量垂直的性质可得可得（）•=0，解得
sin（A﹣）的值，再由A为锐角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，化简f（x）=﹣2，由sinx∈[﹣1，1]，利用二次函数的性质求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函数f（x）的值域．
解答：
解：
（Ⅰ）由题意得，向量=（sinA，cosA），=（，﹣1），可得=sinA﹣cosA，
再由（﹣）⊥，可得（）•=﹣=1﹣sinA+cosA=2sin（A﹣）﹣1=0，
解得sin（A﹣）=．
再由A为锐角得A﹣=，故有A=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=，所以f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=﹣2，
因为x∈R，所以sinx∈[﹣1，1]，因此，当sinx=时，f（x）有最大值，
当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，所以所求函数f（x）的值域是[﹣3，]．
点评：
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角
函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．
升级会员 