小学数学竞赛四质数合数和质因数分解.docx

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小学数学竞赛四质数合数和质因数分解

（四）质数、合数和质因数分解

82．已知四个小三角形三个顶点

　　上三个数的和相等，那么大三角形每个项点上的数与它所对边中间之数相等（因为大三角形顶点上的数与它夹边中间的两个数构成一个小三角形，若与它所对边中间之数对调，就构成另一个相等的小三角形）。

这样，大三角形三个顶点数之和，等于三条边中间三个数的和。

它们的和都是20÷2＝10，和等于10的三个质数只能是2，3，5（如图）。

　　因此，这六个质数的积是：

　　（2×3×5）×（2×3×5）＝900

　　「一个数只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫素数）例如2，3，5，7，11，13，都是质数。

　　一个数除了1和本身还有其他约数的叫做合数。

例如4，6，8，9，12，14，15都是合数。

　　1不是质数也不是合数，1是自然数的单位。

」

83．找出100以内的全部质数，方法如下：

（1）首先从2开始，依次写出100以内全部自然数；

（2）2是质数，把2留下，把2后面2的倍数（即除2外的全部偶数）全部划去；

　　（3）2后面是3，3是质数，把3留下，把3后面3的倍数全部划去；

　　（4）3后面是5，5是质数把5留下，把5后面5的倍数全部划去；

　　（5）5后面是7，7是质数把7留下，把7后面7的倍数全部划去。

　　至此，100以内的质数就全部找出来了。

下面表内划去的是合数，留下的都是质数，构成了一张100以内的质数表。

质数表

　　用这一方法，依次把每一个质数留下，把它的倍数全部划去，当划去31的全部倍数止，就得到了1000以内的质数表。

如果这样连续下去，就可得到更大范围的质数表。

　　「质数表的构造方法，最早是由希腊科学家爱拉托斯芬（生于公元前276年，卒于公元前196年）创造的。

据说爱拉托斯芬将数写在涂着白蜡的木板上，在写着合数的位置上刺一孔，这样，这块木板是好像一个筛子，将一切合数“筛去”了一样，而所剩下的就都是质数。

所以，后人把这种方法叫“爱氏筛法”。

　　有了质数表，判断一个数是否质数可查质数表，表上有的数就是质数，表上没有的数就是合数。

　　判断一个数是否质数，也可用试除法。

　　例如用试除法判断197是否质数：

　　首先，可根据整除的特征，直接判断出，2，3，5，7，11都不能整除197；

　　197÷13＝15……2197÷17＝11……10

　　当197除以17所得整数商比除数小时，并且仍不能整除，这样就可肯定197是质数。

这是因为197不可能再被比17大的数整除了。

如果有的话，那么所得的商比11还小，可是比11还小的数（必定是2，3，5，7等数中某数的倍数）都已试除过了，都不能整除。

所以，197要被一个比17还大的整数除是不可能的。

」

84．这个三位数是212。

　　最小合数是4，2＋2＝2×2=2×1×2＝4。

85．20＝13＋7

　　8＝3＋5

　　24＝17＋7＝19＋5

　　30＝17＋13＝19＋11＝23＋7

86．14＝17-3＝19-5＝31-17

　　12＝17-5＝19-7=23-11

87．先求出三人彩笔总数，根据题意，我们可把甲的彩笔支数作两个乙的彩笔数，把丙的彩笔数也作为一个乙的彩笔数来计算，则四个乙的彩笔支数的和，比实际彩笔总支数多13。

若以n表示乙的彩笔支数，则4n＜50，n＜15.5，又n＞13，因为彩笔支数是整数，故n＝14或15。

　　若n=14，则4n-13＝56-13=43，43是质数，但是4＋3≠11，不合题意；

　　所以，n＝15，则4n-13＝60-13＝47，47是质数，又4＋7=11，因此，三人的彩笔共计是47支，分别求得三人彩笔支数如下：

　　甲：

（47＋13）÷4×2＝30（支）；

　　乙：

15支；

　　丙：

15-13＝2（支）

88．90、91、92、93、94、95、96这七个连续数，个个都是合数。

　　所以，“任何七个连续数中一定有质数”，这句话是错的。

89．19×1=19，19是质数；

　　19×0＝0，0是合数，因为0能被任何自然数整除。

所以，这两个数分别是1和0。

90．

　　84＝2×2×3×7分解质因数

　　=（2×2）×3×7乘法结合律

　　　=4×3×7

　　所以，三个小孙子的年龄分别为3，4，7岁。

　　「每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中的每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

　　分解质因数：

把一个合数用质数相乘形式表示出来，叫做分解质因数。

分解质因数的方法，通常用短除法。

　　例如，把33、42、210分解质因数。

　　33＝3×1142＝2×3×7210＝2×3×5×7

　　把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数去除，通常从小的开始，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续下去，直到得出的商是质数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

　　如果不管次序，一个合数分解质因数的结果是唯一的。

」

91．这四个连续奇数中最大一个是13。

　　因为，9009＝32×7×11×13＝7×9×11×13

92．题中所列各数都是3和若干个1组成的数的倍数，因此，可先将3和若干个1组成的数分解出来，再结合成两数的积：

93．这两个质数和是18，差是8。

　　65＝5×13，因为分解质因数的结果是唯一的，所以这两个质数是5和13；13＋5＝1815-5＝8。

94．这个算式中，除数不同质因数的和是9。

解答方法如下：

　　设除数为x，从除式中可见8x是一个三位数，另一个三位数减去8x，差仍是三位数，则8x＜900，x＜112.5；又因为8x是三位数，而个位上的商数与x的积却是四位数，所以商数的个位上必然是9，故有9x＞999，x＞111，因为x是整数，所以x＝112。

　　112＝24×7，2＋7＝9。

95．李明是这样算的：

他将2910分解质因数：

　　2910＝2×3×5×97＝2×（3×5）×97

　　再把这四个质因数组合成三个数，使分别代表名次，年龄和成绩。

因为哥哥今年15岁，因此，是第二名，得97分。

96．平均亩产量×亩数=26659（斤）。

已知李大伯是年过半百的壮年人，那么他的年龄在50与60之间（满60岁为老年人），所以26659必定有一个约数在50与60之间。

　　因为总产量的末位为9，则亩数和平均亩产这两个因数，个位上数字只能是1与9，或3与3，或7与7。

可依次用51、53、57试除。

得：

26659=53×503，53与503都是质数，则26659除1和本身外，只有这两个约数。

由此可见，李大伯今年共种小麦53亩，平均亩产503斤。

97．以字母a、b、c分别表示文艺书、连环画和科技书的本数。

列等式如下：

　　a（a＋b）＝c+120

　　如果“c＋120”的和是偶数，那么c=2，因为偶数加偶数和为偶数，偶数加奇数和为奇数，又2是质数中唯一的偶数。

那么左边的等式a（a＋b）＝2＋120＝122=2×61，由此，可见122只含有2和61两个质因数，如果a=2，则a=c=2，与题设条件a≠c矛盾。

所以，c≠2，“c＋120”的和是奇数。

　　故a（a＋b）是奇数，因为只有奇数乘以奇数的积为奇数，故a和（a＋b）都是奇数，则b=2。

代入原等式，得：

　　a2＋2a-120＝c

　　显然a＞10，大于10的质数有11，13，17，……

　　当a=11时，则a2＋2a-120＝121＋22-120＝23，23是质数，从而求得a＝11，b=2，c=23，即文化站买进文艺书11本，连环画2本和科技书23本。

98．

（1）641-46=595＝5×7×17，要求的两位数必须比46大，所以只能是5×17=85。

（2）根据题意，所求的两位数整除310-37，并大于37。

　　310-37=273=3×7×133×13＝397×13=91所以，除310余数是37的两位数有39和91。

　　（3）109-4=105=3×5×7，除109余数是4的两位数有3×5=15，3×7＝21，5×7＝35等三个两位数。

99．此题实际上是求“96”的全部（除1和本身）约数。

　　96=22×3，它除质约数2和3外，还有用质因数2和3两个两个搭配的约数有4、6，三个三个搭配的有8、12，四个四个搭配的有16，24，五个五个搭配的有32、48共10个。

　　故篓中的96个橘子共有以上十种拿法。

100．丙的三张牌的积是63，63＝3×3×7＝1×9×7，因为在这九张牌中只有1个3，所以丙拿的三张牌只能是1，9，7；

　　甲的三张牌的积是48，48＝1×6×8＝2×4×6＝2×3×8，有三种可能，但是“1”这张牌已被丙拿走，所以不是1，6，8；如果是2，4，6的话，那么乙的三张牌就是3，5，8，其和不等于15，所以也不是2，4，6。

因此，甲拿的三张牌只能是2，3，8。

　　则乙的三张牌是4，5，6；4＋5＋6＝15。

101．已知867人分三次过河，那么平均每次过河的人数为867÷3＝289（人）。

　　分解质因数：

289＝17×17

　　因为289除1和本身外，只有约数17；所以，船只能是17只，每船每次载人也是17人。

102．要使这个连乘积最后的四个数都是0；就是使这个积为10000的倍数；10000＝24×54，故所求的连乘积中至少须含有质因数2和5各4个。

先求出已知乘数中有质因数2和5的个数：

　　975＝52×39935＝5×187972＝22×243

　　由此可见，已知乘数中只含有3个5，2个2。

所以，还必须乘以“22×5”，即在括号内最小要填20。

103．在这100个数的连乘积中，有10的倍数10个，这10个乘数使积的末尾12位上都是0（注意：

其中乘以100要增添2个0；又50与偶数相乘得100的倍数，所以也要增加2个0）：

　　在这个连乘积中，还有个位数是5的数也是10个，共含有质因数5是12个（其中25、75都各有2个质因数5），一个质因数5与一个质因数2（在这个连乘积中质因数2的个数比5的个数多得多）相乘，得10。

因此，又要在后面添上12个0；

　　所以，在这个连乘积中从末位开始向左数共有12＋12=24（个）连续的0。

104．以n表示参加选拔赛的人数，那么每一人都赛了（n-1）场，共赛（n-1）n场。

但是甲和乙比赛与乙和甲比赛，实际上是同一场次，所以（n-1）n是实际比赛场数的两倍，即（n－1）n＝78×2＝156。

由此可见，156是两个连续数（即n-1，n）的积。

　　将156分解质因数，然后将质因数搭配结合成两个连续数的积。

　　156＝22×3×13＝12×13则n＝13

　　即参加选拔赛的运动员有13人。

105．时间和角度是两种不同类的量，但有着密切的联系。

古代科学家研究天文历法时，要观察昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密联系在一起的。

历法需要的精确度是较高的，时间单位“小时”，和角度单位“度”都嫌太大，所以需要用更小的单位分、秒来进行计算，分、秒这样的小数单位常常不是一个一个数起来的，而是用等分的办法产生。

如果用十进位制，把1度（或分）分别等分成3、6、12、15、30份取其一份，都将是一个无限小数，得不到整数分和秒。

采用60进位制情况就不同了。

　　因为，60除1和本身外，有10个约数；所以采用60进位，把1度（或分）分别等分成2、3、4、5、6、10、12、15、20、30份，都可以得到整数分（或秒），计算就要方便得多了。

　　「求出一个合数的全部约数的方法：

（1）试除法：

从这个数的约数1和最大的约数——这个数本身找起，凡能整除这个数的除数和商都是它的约数。

这样，一对一对依次找下去，直到除得的商小于除数为止。

凡能整除这个数的数就全部找出来了。

如60的约数有1和60，2和30，3和20，4和15，5和12，6和10等，共12个。

（2）分解质因数法：

先把这个合数分解质因数，再把各个质因数二个二个，三个三个，……依次搭配相乘，就可找出它的全部约数。

如：

　　60＝2×2×3×5

　　1）有质约数2，3，5，共3个；

　　2）二个二个搭配的有2×2=4，2×3＝6，2×5＝10，3×5＝15，共4个；

　　3）三个三个搭配的有2×2×3＝12，2×2×5=20，2×3×5＝30，共3个。

　　所以，60除1和本身外，还有约数2，3，4，5，6，10，12，15，20，30等10个约数。

」

106．求一个合数的约数个数的方法：

先把这个合数分解质因数，然后，把每个质因数的个数加1，连乘起来，就是这个合数的全部约数的个数（包括1和本身）。

如：

　　360有24个约数，400有15个约数。

　　「圆周角定360°的一个重要原因：

　　从前法国制定米突制度、量、衡时，曾经把直角定为100°，这样一个圆周角就是400°，但是，没有能行得通。

后来，把一个直角定90°，一个圆周角就是360°，一直沿用至今，为世界所公认。

　　其中一个重要原因就是360的约数比400的约数多得多。

人们在实践中求一个角度的大小，常常要用等分的办法求得，把圆周角定360°，在22种情况下等分，都能得到整数度，应用中就方便得多了。

」

107．将这八个数分解质因数，然后按相同质因数的个数，平均分摊在两个乘积里。

　　26×45×65×77＝25×39×66×91

108．将已知的四个数的积分解质因数：

880＝24×5×11

　　由此可见，在这四个数中必定有一个是5的倍数，和一个11的倍数，如果这个5的倍数大于5，则至少是10；11的倍数大于11，则至少是22。

那么无论属哪种情况，前四个数的和都将大于26。

所以，这两个数只能是5和11；

　　那么剩下24=16，要组合成两个不同的数的积，只能是1×16，或2×8。

如果是1×16，则四个数的和也大于26，不合题意。

所以，这两个数是2和8。

　　从而求得前四个数是2，5，8，11；公差是3。

　　因此，这串数是2，5，8，11，14，17，20，23，…。

109．以n表示这个士兵参加战斗的次数，则这个士兵应得奖金为“2n-1”个戈比（参阅24题题解），已知2n-1=65535戈比

　　那么2n=65536

　　故n＝16，这个士兵共参加过16次战斗。

110．

（一）根据奇数、偶数和质数、合数的定义（详见第10、第82题题解后「」内的注解，选填如下：

（1）1（C）

（2）2（A）（3）3（D）

　　（4）7（D）（5）9（B）

（二）质数乘以质数的积一定是（D）。

111．已知甲、乙、丙、丁四人中有两个人说对了，这样，就可肯定乙和丁都说错了。

因为他们两人各人所说，与另外三人都不符，9和15既不是质数，又不是偶数，并且9≠15；那末甲、丙两人说对了，这个自然数既是质数，又是偶数，则得到唯一的答案，这个自然数是2。

112．根据题意，小学校数是质数，能整除“68128-25”，并且大于25。

　　68128-25=68103，68103分解质因数：

　　68103=32×7×23×47

　　因为大于25的质因数只有47，所以市区有47所小学。

113．长方体的底面积是：

2100÷10=210（平方米）

　　分解质因数：

210=2×3×5×7

　　已知长和宽都大于10，那么长是“3×5”米，宽是“2×7”米。

所以，长和宽的和是3×5+2×7=15+14=29（米）

114．99=32×1198=2×72

　　97是质数96=25×3

　　由此可见99、98、97都不是它的约数，96就是这个连乘积的两位约数中最大的一个。

　　「数b能整除数a的充要条件：

一个自然数b能整除另一个自然数a，那么b的每个质因数都是a的质因数，并且b里某个相同质因数的个数，不超过a里该质因数的个数。

」

115．

116．甲、乙两个数的和等于31，它们都是合数又是互质数，并且甲、乙两数都大于10，那么这两个数就是15和16。

　　「公约数只有1的两个数，叫做互质数」

117．假设连续数n，n+1有公约数P，那以根据整除的基本性质，P能整除这两个数的差。

但是，n与n+1的差是1，由此可见，这两个数不可能有大于1的公约数P，因此，n，n+1是互质数。

118．将420分解质因数：

　　420=22×3×5×7

　　=（22×5）×（3×7）=20×21

　　因为，两个连续数的倒数的差，等于这两个数积的倒数，所以这两个数分别是20、21；它们的和是41。

119．

　　所以，这三个质数的和是：

3+5+19=27。

120．由

（1）知道c=0；由

（2）知道b=1；因为b=1，a≠b，则由（3）知道a=5。