人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习一.docx

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人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习一

第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习

（一）

1．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．

（1）求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

2．已知：

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．

（1）如图1，若点O在BC上，求证：

AB＝AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：

AB＝AC．

3．问题1：

在数学课本中我们研究过这样一道题目：

如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？

并说明理由．

问题2：

试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出来，不需要说明理由．

问题3：

当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并说明理由．

4．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想：

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

6．（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．

（1）图中有多少对全等三角形？

请一一列举出来（不必说明理由）；

（2）小明说：

欲证BE＝CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE＝AD，再证明△ADB≌△AEC得到AB＝AC，然后利用等式的性质得到BE＝CD，请问他的说法正确吗？

如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；

（3）要得到BE＝CD，你还有其他思路吗？

若有，请写出推理过程．

7．已知：

如图，AD∥BC，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．求证：

（1）△BOF≌△DOE；

（2）DE＝DF．

8．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：

CD＝CE

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．

9．如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝BE，

（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并说明理由，你添加的条件是　　；理由是：

　　；

（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形　　．

（只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，并说明理由）．

10．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB＝MD，ME＝MF；

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBF＝∠ABE＝90°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；

（2）解：

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°，

又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，

由

（1）知：

Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°，

∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．

2．证明：

（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中

∵

，

∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等），

∴AB＝AC（等角对等边）；

（2）在Rt△OEC和Rt△OFB中，

∵

，

∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），

∴∠OBF＝∠OCE，

又∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠FBO+∠OBC＝∠OCE+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC．

3．

（1）AD＝EC；

理由：

∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD＝EC；

（2）DE+BE＝AD；

（3）DE＝AD+BE．

理由：

∵BE⊥BC，AD⊥CE，

∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，

∴∠EBC+∠ECB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ECB+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE，

∵CD+CE＝DC，

∴DE＝AD+BE．

4．解：

（1）猜想：

AB＝AC+CD．

证明：

如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，

∵AD为∠BAC的角平分线时，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADC（SAS

），

∴∠AED＝∠C，ED＝CD，

∵∠ACB＝2∠B，

∴∠AED＝2∠B，

∵∠AED＝∠B+∠EDB，

∴∠B＝∠EDB，

∴EB＝ED，

∴EB＝CD，

∴AB＝AE+DE＝AC+CD．

（2）猜想：

AB+AC＝CD．

证明：

在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD＝∠CAD．

在△EAD与△CAD中，

AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△CAD（SAS）．

∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．

∴∠FED＝∠ACB，

又∵∠ACB＝2∠B

∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，

∴∠EDB＝∠B，

∴EB＝ED．

∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．

∴AC+AB＝CD．

5．数量关系为：

BE＝EC，位置关系是：

BE⊥EC．

证明：

∵△AED是直角三角形，∠AED＝90°，且有一个锐角是45°，

∴∠EAD＝∠EDA＝45°，

∴AE＝DE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠EAB＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°，

∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝180°﹣45°＝135°，

∴∠EAB＝∠EDC，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD＝

AC，

∵AC＝2AB，

∴AB＝AD＝DC，

∵在△EAB和△EDC中

，

∴△EAB≌△EDC（SAS），

∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，

∴∠BEC＝∠DEC+∠BED＝∠AEB+∠BED＝90°，

∴BE⊥EC．

6．解：

（1）图中有4对全等三角形，有△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC．

（2）正确，

理由是：

∵AO平分∠BAC，

∴∠EAO＝∠DAO，

∵CE⊥AB，BD⊥AC，

∴∠AEO＝∠ADO＝90°，

∴在△AEO和△ADO中

∴△AEO≌△ADO（AAS），

∴AE＝AD，

在△ADB和△AEC中

∴△ADB≌△AEC（ASA），

∴AB＝AC，

∵AE＝AD，

∴BE＝CD．

（3）有，

理由是：

∵AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC，

∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°，

在△BEO和△CDO中

∴△BEO≌△CDO（ASA），

∴BE＝CD．

7．解：

（1）∵AD∥BC

∴∠EDB＝∠DBF

∠DEF＝∠EFB

∵O为BD的中点

∴OB＝OD

在△BOF和△DOE中，

，

∴△BOF≌△DOF（AAS）；

（2）∵△BOF≌△DOF，

∴OE＝OF

∵EF⊥BD

∴BD是EF的中垂线

∴DE＝DF．

8．解：

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，

∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CD＝CE．

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，CD＝CE仍然成立．

①如图2，过点C作CG⊥OA于G，过点C作CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH．

∵∠CGO＝∠CHO＝∠GOH＝90°，

∴∠GCH＝90°，

∴∠GCH＝∠DCE＝90°，

∴∠GCO＝∠HCE．

在△DGC和△EHC中，

，

∴△DGC≌△EHC，

∴CD＝CE．

②如图3，过点C作CG⊥OA于G，过点C作CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH．

∵∠CGO＝∠CHO＝∠GOH＝90°，

∴∠GCH＝90°，

∴∠GCH＝∠DCE＝90°，

∴∠GCO＝∠HCE．

在△DGC和△EHC中，

，

∴△DGC≌△EHC，

∴CD＝CE．

9．解：

（1）添加的条件是：

AB＝CB．

理由如下：

在△BEA与△BDC中，

，

∴△BEA≌△BDC（SAS）；

故答案为：

AC＝BC，SAS

（2）△ADC≌△AEC．

理由如下：

∵AB＝CB，BD＝BE，

∴∠BCA＝∠BAC，即∠DAC＝∠ECA，

AB﹣BD＝CB﹣BE，即AD＝CE．

在△ADC和△AEC中，

，

∴△ADC≌△AEC（SAS）．

10．解：

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC＝∠BFA＝90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵

，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE＝BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB＝MD，ME＝MF；

（2）成立．

连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC＝∠BFA＝90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵

，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE＝BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB＝MD，ME＝MF．