春八年级数学下册第19章四边形193矩形菱形正方形1932菱形第2课时菱形的判定练习新版沪科版文档格式.docx
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3．2017·
临沂如图K－27－3，在△ABC中，D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
图K－27－3
图K－27－4
4．如图K－27－4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是（）
A．4B．6C．8D．10
图K－27－5
5．如图K－27－5，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）
A．AB＝ADB．AC＝BD
C．AD＝BCD．AB＝CD
6．如图K－27－6①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：
如图②，连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN,CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：
如图③，分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
图K－27－6
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
二、填空题
7．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是________．（填写一个即可）
8．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝
，AO＝1，OB＝2，则AC，BD的位置关系是______________，四边形ABCD是菱形的根据是__________________________．
9．如图K－27－7，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．
图K－27－7
图K－27－8
10．如图K－27－8，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列三种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°
，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．
其中正确的有________（只填写序号）．
三、解答题
11．2018·
遂宁如图K－27－9，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：
四边形AECF是菱形.
图K－27－9
12．如图K－27－10，在▱ABCD中，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN.过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G.求证：
四边形CEGF是菱形.
图K－27－10
13．如图K－27－11，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，AE＝AB.
（1）求证：
∠ABE＝∠EAD；
（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：
四边形ABCD是菱形．
图K－27－11
14．2018·
南京如图K－27－12，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
（1）∠BOD＝∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
图K－27－12
探究题小宇将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉如图K－27－13①放置，发现重叠部分是一个菱形．
（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形；
（2）小宇又发现：
如图②放置时，菱形ABCD的周长最小，等于________；
（3）如图③放置时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．
图K－27－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]C 选项A，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形．选项B，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形．选项C，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．选项D，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选C.
2．[解析]D 当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形．理由：
∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE.∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．又∵BD＝DE，∴▱DBFE是菱形．其余选项均无法判定四边形DBFE是菱形，故选D.
3．[解析]D 根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，所以A错误；
若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，所以B错误；
若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，所以C错误；
若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形，故D正确．
4．[解析]C 由条件知四边形CODE是菱形，OC＝2，故其周长是8.
5．[解析]D ∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，∴EF＝GH＝
AB，EH＝FG＝
CD.∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选D.
6．[解析]C 甲的作法：
首先证明四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定四边形ANCM是菱形；
乙的作法：
可根据角平分线的定义和平行线的定义，证得AB＝AF，AB＝BE，再由AF∥BE可推出四边形ABEF是菱形．
7．[答案]答案不唯一，如AB＝BC或AC⊥BD等
8．[答案]AC⊥BD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．[答案]8
10．[答案]①②③
11．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
12．[解析]根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出四边形CEGF为平行四边形，求出GE＝DN＝BM＝FG，根据菱形的判定即可得证．
证明：
∴BC∥AD，CD∥AB.
∵ME∥AD，NF∥AB，
∴BC∥ME，CD∥NF，
∴四边形CEGF是平行四边形．
由平行四边形的定义知四边形MBFG，NDEG均为平行四边形，
∴FG＝BM，EG＝DN.
又∵BM＝DN，∴FG＝EG，
∴四边形CEGF是菱形．
13．[解析]
（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB＝∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠DBE，然后可证∠ABD＝∠ADB，再根据等角对等边可证AB＝AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD.
∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD.
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB，
∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
14．证明：
（1）如图，延长AO到点E.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO.
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2（∠BAO＋∠DAO），
即∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C.
（2）连接OC，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝
∠BOD，∠BCO＝
∠BCD.
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.
又∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
[素养提升]
解：
（1）证明：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图①，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，则AM＝AN.
又∵S▱ABCD＝AM·
BC＝AN·
CD，
∴BC＝CD，∴▱ABCD是菱形．
（2）8
（3）如图②，设AD＝AB＝x，则AE＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，
即x2＝（8－x）2＋22，
解得4x＝17，即此时菱形ABCD的周长是17.
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