《新编基础物理学答案》第9章.docx
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《新编基础物理学答案》第9章
电荷与真空中的静电场
9-1两个小球都带正电，总共带有电荷5.0105C,如果当两小球相距2.0m时,任一球受另一球的斥力为1.0N.试求：
总电荷在两球上是如何分配的。
分析：
运用库仑定律求解。
解：
如解图9-1所示，设两小球分别带电
q1，q2则有
q1+q25.C
1105
①
解图9-1
由库仑定律得
Fqq?
厂2
9109盹1
②
4n°r
4
由①②联立解得
9-2两根6.0102m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为
0.5103kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与
沿垂线成60°角的位置上。
求每一个小球的电量。
分析：
对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。
解：
设两小球带电q，小球受力如解图9-2所示
2
Ftcos30①
4n0R解图9-2
mgTsin30②
联立①②得
叫Etan30。
③
q
其中
代入③式，得
r
9-3在电场中某一点的场强定义为E—，
q。
若该点没有试验电荷，那么该点是否存在电场？
为什么？
答：
若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验
r
r—
电荷q°所受力F与q0成正比，故E一是与q°无关的。
q。
9-4直角三角形ABC如题图9-4所示，AB为斜边，A点上J
有一点荷qi1.8109C,B点上有一点电荷q24.8109C,
已知BC0.04m,AC0.03m,求C点电场强度E的大小和;超
方向（cos370.8,sin370.6）.
分析：
运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：
如解图9-4所示C点的电场强度为EEr1E2
C点电场强度E的大小
方向为C
即方向与BC边成33.7°
9-5两个点电荷q14106C,q28106C的间距为
0.1m,求距离它们都是0.1m处的电场强度E。
分析：
运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：
如解图9-5所示
题图9-4
解图9-4
解图9-5
E1，E2沿x、y轴分解
电场强度为
9-6有一边长为a的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点都放有电荷q,两个顶点放有电荷一q。
试计算图中在六角形中心O点处的场强。
分析：
运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解:
如解图9-6所示.设q1q2q3q6=q,q4q5=
分析：
将带电直线无限分割，取一段电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。
注意：
先将电荷元产生的场强按坐标轴分解然后积分，并利用场强对称性。
解：
如解图9-7建立坐标，带电直线上任一电荷元在P点产生的场强大小为
根据对称性分析，合场强首的方向沿y轴的方向
9-8两个点电荷qi和q2相距为I，若
（1）两电荷同号；
（2）两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置•
分析：
运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。
解：
如解图9-8所示建立坐标系，取qi为坐标原点，指向q2的方向为x轴正方向.
（1）两电荷同号.场强为零的点只可能在qi、q2之间，设距qi为x的A点.
据题意有EiE2即解图9-8
解得
⑵两电荷异号•场强为零的点在qiq2连线的延长线或反向延长线上，即Ei=E2
解之得：
x
9-9无限长均匀带电直线，电荷线密度为入被折成互成直角的
两部分•试求如题图9-9所示的P点和P'点的电场强度.分析：
运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。
解：
以P点为坐标原点，建立如解图9-10（a）所示坐标系均匀带电细棒产生的场强公式
E（cos1cos2）i（sin2sinJj
4noa
在P点
n
1,2n
4
所以竖直棒在P点的场强为1
水平棒在P点的场强为
所以在P点的合场强即P点的合场强的大小为方向与x轴正方向成45°同理以P点为坐标原点，建立如图题9-10解图⑵坐标
在P点
3
1冗,2n
4
所以竖直棒在P点的场强为水平棒在P点的场强为
i
\
+
\
+
\
+
\
+
（4\r
+|
7
+
a
+
A
—
所以在P点的合场强为
即P点的合场强的大小为方向与x轴成-135°
9-10无限长均匀带电棒h上的线电荷密度为1,12上的线
电荷密度为2,h与〔2平行，在与h,J垂直的平面上有一点P,它们之间的距离如题图9-10所示，求P点的电场强度。
分析：
运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。
解：
h在P点产生的场强为
12在P点产生的场强大小为
方向如解图9-11所示。
把E2写成分量形式，有
题图9-10
在P点产生的合场强为
rrr
EE1E2
1
0.8n0
解图9-10
9-11一细棒被弯成半径为R的半圆形，其上部均匀分布有
电荷Q,下部均匀分布电荷Q，如题图9-11所示,求圆心0
点处的电场强度。
分析：
在半圆环说上取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加原理积分求解。
将带电半圆环分割成无数个电荷元，运
用点电荷场强公式表示电荷元场强。
将电荷元电场进行矢量题图9-11
分解，再进行对称性分析，然后积分求解。
2Qr
解：
把圆环分成无限多线元dl，dl所带电量为dq2Qdl，产生的场强为dEnR
则dE的大小为
解图9-11
把dE分解成dEx和dEy,则
由于Q、Q带电量的对称性，x轴上的分量相互抵
消，则
所以圆环在0点产生的场强为
9-12.一均匀带电球壳内半径R16cm，外半径R>10cm，
电荷体密度为2105Cm，求：
到球心距离r分别为5cm、8cm、12cm处场点
的场强.
分析此题属于球对称性电场，三个场点分别位于球层内半径以内、内外半径之间、外半径以外三个区域，由高斯定理做高斯面求解。
解：
根据高斯定理EdS
当r5cm时,
q0，得
r8cm时，q
/3
3（r
R；）
方向沿半径向外.
r12cm时,
4n33
—（R；R13）
3
沿半径向外.
9-13两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为
+6和-2®如题图9-13所示,
（1）
题图9-13
求图中三个区域的场强E1，E2，E3的表达式；
（2）若4.43106Cm2，那么，Ei,E?
E3各多大？
分析：
首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。
解：
（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为
在I区域
U区域
川区域
（2）若4.43106Cm2则
9-14点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求
（1）在该点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；
（2）若将该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？
分析此题需结合高斯定理以及对称性关系来求解。
解：
（1）由高斯定理可知，通过立方体的总的电通量■EdS2
s
0
立方体有六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以
通过每个面的电通量为
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a
的立方体中心，则通过边长2a的正方形上电通量
边长2a的正方形共有四个边长a的正方形，由于对称性，则通过边长
为a的正方形的电通量为
q
240，
R，电量为+Q，求环心处的电势。
9-15一均匀带电半圆环，半径为
分析：
将带电半圆环分割成无数个电荷元，根据点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。
解：
把半圆环无穷分割，如解图9-15取线元dl，其带电量为dq—d|，则其
nR
在圆心0的电势为：
.dqQdl解图9-15
4n0R4n0RnR
du
所以整个半圆环在环心0点处的电势为
9-16一面电荷密度为的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求
带电平面周围的电势分布。
分析：
利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场
强度的积分关系求解。
解图9-16
解：
如解图9-16所示建立坐标系，所以无限大平面周围
的场强分布为
取该平面电势为零，则周围任一点P的电势为
.4*
C*1
£
（7
题图9-17
解图9-17
9-17如题图9-17所示，已知a8102m,b6102m,
88
q1310Cq310C，D为qg连线中点，求：
（1）D点和B点的电势；
（2）A点和C点的电势；
（3）将电量为2109C的点电荷qo由A点移到C点，电场力所做的功；
（4将q0由B点移到D点，电场力所做的功。
分析：
由点电荷的电势的公式及叠加原理求电势。
静电力
是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。
解：
（1）建立如解图9-17所示坐标系，由点电荷产生的电势的叠加得
同理，可得
（2）Ua」_:
4n0b4n0Jb2a2
（3）将点电荷q0由A点移到C点，电场力所做的功
（4）将q0由B点移到D点，电场力所做的功
9-18如题图9-18所示，在A，B两点处放有电量分别为q，q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验
点电荷q。
从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力做的功.
分析同上题。
解：
O点的电势为
C点的电势为
所以
9-19两点电荷q1=1.5X0-8C，q?
=3.0X0-8C，相距*=42cm，要把它们之间的距
离变为r2=25cm，电场力做功为多少
分析
此题用电场力做功定义式积分求解，需注意电场力做功的正负值
9-20
半径为Ri和R2（R2>Ri）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电
量和，试求：
（1）空间场强分布；
（2）两圆柱面之间的电势差。
分析此题为球对称性电场。
（i）由高斯定理求场强分布。
该带电
体将空间分为三个部分：
小圆柱面内rVRi;两圆柱面间RiVrVR?
；
大圆柱面外r>R2，因此需要做三次高斯面（同心球面），场强有三
用两圆柱面间场强代入计算。
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S2nl，则
方向沿径向向外
大圆柱面外：
r
R2
（2）
R2
UabriE2dr
R2
Ri2
一dr
0r
in氏
20Ri
9-21
在半径为Ri和R2的两个同心球面上分别均匀带电qi和q2,求在0rR,
R2,rR2三个区域内的电势分布。
由于场为球对称的，作同心球面，利用高斯定理求出场强。
再利用电势与场强的积分关系uEdf求电势。
注意：
积分路径上的场强是分段函数
r
解：
利用高斯定理求出空间的电场强度：
则空间电势的分布：
分析:
解图9-2i
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