较复杂的因式分解习题.docx

较复杂的因式分解习题.docx

《较复杂的因式分解习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《较复杂的因式分解习题.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

较复杂的因式分解习题

较复杂的因式分解习题．

1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项

式（ax+bxy+cy+dx+ey+f），我们也可以用22十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3．我们将上式按x降22幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x-（5+7y）x-（22y-35y+3），可以看作是关22于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．再2利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

（x+2y）（2x-11y）=2x-7xy-22y；22（x-3）（2x+1）=2x-5x-3；2（2y-3）（-11y+1）=-22y+35y-3．2．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式

ax+bxy+cy+dx+ey+f进行因式分解的步22骤是：

（1）用十字相乘法分解ax+bxy+cy，得22到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1分解因式：

（1）x-3xy-10y+x+9y-2；22

（2）x-y+5x+3y+4；22．

（3）xy+y+x-y-2；2（4）6x-7xy-3y-xz+7yz-2z．

222解

（1）

=（x-5y+2）（x+2y-1）原式．

（2）

原式=（x+y+1）（x-y+4）．

（3）原式中缺x项，可把这一项的系数看2成0来分解．

原式=（y+1）（x+y-2）．

（4）

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．

．求根法2

我们把形如ax+ax+…+ax+a（n为nn-11n0n-1非负整数）的代数式称为关于x的一元多项

式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

f（x）=x-3x+2，g（x）=x+x+6，…，252当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

f

（1）=1-3×1+2=0；2f（-2）=（-2）-3×（-2）+2=12．2若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有．x-a一个因式

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于

任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

的根，则必有p是a的约数，q是a0n的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式0

f（x）的整数根均为a的约数．n我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2分解因式：

x-4x+6x-4．32分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：

±1，±2，±4，只有

f

（2）=2-4×2+6×2-4=0，32即x=2是原式的一个根，所以根据定理．x-2，原式必有因式1．

解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

原式=（x-2x）-（2x-4x）+（2x-4）

322=x（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

2=（x-2）（x-2x+2）．2解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

所以

原式=（x-2）（x-2x+2）．2说明在上述解法中，特别要注意的是

多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

例3分解因式：

9x-3x+7x-3x-2．432分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

．所以，原式有因式9x-3x-22-3x-2

-3x+7x解9x234-3x-2

-2x=9x-3x+9x2423-3x-2

-3x-2）+9x（9x=x232+1）

=（9x-3x-2）（x22+1）

=（3x+1）（3x-2）（x2．

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，

如上题中的因式

可以化为9x-3x-2，这样可以简化分解2过程．

总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分低一次的一f（x）是比g（x），而（x-a）g（x）解为

元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．

3．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例4分解因式：

x+3xy+2y+4x+5y+3．22分析由于

（x+3xy+2y）=（x+2y）（x+y），22若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解设

x+3xy+2y+4x+5y+3

22=（x+2y+m）（x+y+n）

=x+3xy+2y+（m+n）x+（m+2n）y+mn，22比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

例5分解因式：

x-2x-27x-44x+7．432分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理，经检）的约数7（7，±1根，则只可能是±．

验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，

只能分解为（x+ax+b）（x+cx+d）的形式．22解设

原式=（x+ax+b）（x+cx+d）

22

=x+（a+c）x+（b+d+ac）x+（ad+bc）x+bd，432所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=（x-7x+1）（x．+5x+7）22．

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果

b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

练习二

1．用双十字相乘法分解因式：

（1）x-8xy+15y+2x-4y-3；22

（2）x-xy+2x+y-3；2（3）3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．222．

2．用求根法分解因式：

（1）x+x-10x-6；

32

（2）x+3x-3x-12x-4；432（3）4x+4x-9x-x+2．2433．用待定系数法分解因式：

+14x-3y+20

（1）2x+3xy-9y；22+15x-9

（2）x+5x34