北京市初三一模数学尺规作图分类整理教师版.docx
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北京市初三一模数学尺规作图分类整理教师版
2019年各区一模尺规作图分类
类型1：
作已知直线的平行线
（2019东城一模）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
如图，直线BC及直线BC外一点P．
求作：
直线PE，使得PE∥BC．
作法：
如图，
①在直线BC上取一点A，连接PA；
②作∠PAC的平分线AD；
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；
④作直线PE．
所以直线PE就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD=∠CAD．
∵PA=PE，
∴∠PAD=________．
∴∠PEA=________．
∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）
答案：
17.
（1）
；-----------------2分
（2）∠PEA，∠CAD，内错角相等，两直线平行-----------------5分
（2019海淀一模）19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使PQ∥l．
作法：
如图，
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
连接PB，QB，
∵PA=QB，
∴
_____，
∴∠PBA=∠QPB（____________________）（填推理的依据），
∴PQ∥l（____________________）（填推理的依据）．
答案：
19．
（1）补全的图形如图所示：
（2）
，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行．
（2019通州一模）19．已知：
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°.
求作：
射线CG，使得CG∥AB．
图1图2
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：
如,2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点G；
④作射线CG．所以射线CG就是所求作的射线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
连接FG、DE.
∵△ADE≌△_________，
∴∠DAE=∠_________．
∴CG∥AB（__________________________）（填推理的依据）．
答案：
19．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）∵△ADE≌△CFG，
∴∠DAE=∠FCG．
∴CG∥AB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．
（2019石景山一模）17．下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
如图1，直线l及直线l外一点A．
求作：
直线AD，使得AD∥l．
图1
作法：
如图2，
①在直线l上任取一点B，连接AB；
②以点B为圆心，AB长为半径画弧，
交直线l于点C；
③分别以点A，C为圆心，AB长为半径
画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；
图2
④作直线AD．
所以直线AD就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．（说明：
括号里填推理的依据）
证明：
连接CD．
∵AD=CD=BC=AB，
∴四边形ABCD是（）．
∴AD∥l（）．
答案：
17．解：
（1）补全的图形如图所示：
（2）菱形；四条边都相等的四边形是菱形；
菱形的对边平行．
（2019朝阳一模）19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使得PQ∥l．
作法：
如图，
①在直线l上取两点A，B；
②以点P为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AP为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵PA=_____，AB=_____，
∴四边形PABQ是平行四边形．
∴PQ∥l（_____）．（填写推理的依据）
答案：
19．
（1）图略．
（2）QB，PQ，平行四边形对边平行．
类型2：
作已知直线的垂线或三角形高线
（2019房山一模）17.下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知：
△ABC．
求作：
BC边上的高线．
作法：
如图，
1以点C为圆心，CA为半径画弧；
2以点B为圆心，BA为半径画弧，两弧相交于点D；
3连接AD，交BC的延长线于点E．
所以线段AE就是所求作的BC边上的高线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明.
证明：
∵CA=CD，
∴点C在线段AD的垂直平分线上（）（填推理的依据）．
∵=，
∴点B在线段AD的垂直平分线上．
∴BC是线段AD的垂直平分线.
∴AD⊥BC．
∴AE就是BC边上的高线．
答案：
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上BA=BD.
（2019丰台一模）17.下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l上一点A．
求作：
直线AB，使得AB⊥l．
作法：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；
②分别以点C和点D为圆心，大于
CD长为半径画弧，
两弧在直线l一侧相交于点B；
③作直线AB．
所以直线AB就是所求作的垂线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AC= ，BC= ，
∴AB⊥l（）．（填推理的依据）．
答案：
17.
（1）略；..............…........2分
（2）AD，BD；
依据：
“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”或“三线合一”.
（2019燕山一模）19．下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：
直线l及直线l外一点P．
求作：
直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．
作法：
如图，
①在直线l上任取一点A；
②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；
③分别以点A，B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，
两弧相交于点C；
④连接PC交直线l于点Q．
则直线PQ就是所求作的垂线．
根据上述尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：
∵PA＝，AC＝，
∴PQ⊥l．（）（填推理的依据）
答案：
19．
（1）补全的图形如图所示：
（2）PB，BC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（2019顺义一模）19.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：
直线l及直线l外一点P.
求作：
直线PQ,使得PQ⊥l.
作法：
如图，
1
在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
2分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
3作直线PQ.
所以直线PQ为所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：
连接PA，PB，QA，QB.
∵PA=PB=QA=QB，
∴四边形APBQ是菱形（）（填推理的依据）．
∴PQ⊥AB（）（填推理的依据）．
即PQ⊥l．
答案：
19.
（1）
………………………………………………………………2分
（2）四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直
类型3：
作圆的内接特殊四边形
（2019西城一模）19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．
已知：
⊙O．
求作：
矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，
且其对角线AC，BD的夹角为60°．
作法：
如图，
①作⊙O的直径AC；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，
交直线AC上方的圆弧于点B；
③连接BO并延长交⊙O于点D；
④连接AB，BC，CD，DA．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵点A，C都在⊙O上，
∴OA=OC．
同理OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°（__________）（填推理的依据）．
∴四边形ABCD是矩形．
∵AB=______=BO，
∴∠AOB=60°．
∴四边形ABCD是所求作的矩形．
答案：
19．解：
（1）补全的图形如图所示：
……………………………3分
（2）直径所对的圆周角是直角，
AO．…………………………………………………5分
（2019门头沟一模）19．下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：
如图1，⊙O．
求作：
正方形ABCD，使正方形ABCD内接于⊙O．
作法：
如图2，
①过点O作直线AC，交⊙O于点A和C；
图1
②作线段AC的垂直平分线MN，交⊙O于点B和D；
③顺次连接AB，BC，CD和DA；
则正方形ABCD就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠ADC=°，
又∵点B在线段AC的垂直平分线上，
∴AB=BC，
图2
∴∠BAC=∠BCA=°．
同理∠DAC=45°．
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+45°=90°．
∴∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）（填依据），
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
答案：
解：
（1）尺规作图正确；
（2）填空正确．
类型4：
作特殊的三角形
（2019密云一模）17.下面是小明设计的“已知底和底边上的高作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知：
如图1，已知线段a和线段b.
求作：
等腰三角形ABC，使得AC=BC，AB=a，CD⊥AB于D，CD=b.
作法：
①如图2，作射线AM，在AM上截取AB=a；
②分别以A、B为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于E、F两点；
③连结EF，EF交AB与点D；
④以点D为圆心，以b为半径作弧交射线DE于点C.
⑤连结AC，BC.
所以，
为所求作三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）；
（2）完成下面的证明.
AE=BE=AF=BF，
四边形AEBF为______________.
AB与EF交于点D，
EF⊥AB，AD=________.
点C在EF上，
BC=AC（填写理由:
______________________________________）
答案：
（1）
..................................2分
AE=BE=AF=BF，
四边形AEBF为菱形.
..................................3分
AB与EF交于点D，
EF⊥AB，AD=DB.
..................................4分
点C在EF上，
BC=AC
（填写理由:
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
..................................5分
（2019延庆一模）17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程．
已知：
线段a及线段b（
）．
求作：
Rt△ABC，使得a，b分别为它的直角边和斜边．
作法：
如图，
①作射线
，在
上顺次截取
；
②分别以点
，
为圆心，以b的长为半径画弧，两弧交于点
；
③连接
，
．则△ABC就是所求作的直角三角形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）补全图形，保留作图痕迹；
（2）完成下面的证明．
证明：
连接AD
∵ =AD，CB= ，
∴
（ ）（填推理的依据）．
答案：
17．画图……2分
AC，DB，……4分
等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合……5分
（或：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的处置平分线上）
（2019怀柔一模）19.下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程.
已知：
线段AB.
求作：
一个直角三角形ABC,使线段AB为斜边.
作法：
如图，
①过A任意作一条射线l；
②在射线l上任取两点D，E；
③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧,两弧相交于点P；
④作射线BP交射线l于点C.
所以△ABC就是所求作的直角三角形.
思考：
（1）按上述方法，以线段AB为斜边还可以作个直角三角形；
（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的的图形是，
理由是.
答案：
19.
（1）无数.
（2）圆，到定点的距离等于定长的所有点组成的集合是圆.
类型4：
作已知角的角平分线
（2019平谷一模）17．下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：
如图，∠AOB．
求作：
∠AOB的角平分线OP．
作法：
如图，
①在射线OA上任取点C；
②作∠ACD=∠AOB；
③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；
④作射线OP；
所以射线OP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
∵∠ACD=∠AOB，
∴CD∥OB（____________）（填推理的依据）．
∴∠BOP=∠CPO．
又∵OC=CP，
∴∠COP=∠CPO（____________）（填推理的依据）．
∴∠COP=∠BOP．
∴OP平分∠AOB．
答案：
17．
（1）如图；
（2）同位角相等，两直线平行；
等边对等角．
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