初一数学体系讲义第2讲同位角内错角公理.docx
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初一数学体系讲义第2讲同位角内错角公理
初一数学（新课）班讲义（57期）
第二讲同位角、内错角、
同旁内角和平行公理
一、新课课题
（一）同位角、内错角、同旁内角
1、如图1，“直线m和直线n与直线l相交”也可以说成“两条直线m，
n被第三条直线l所截”。
构成了小于平角的角共有个，
通常将这种图形称作为“三线八角”。
其中直线m，n称为被截线，
直线l称为截线。
（1）∠4与∠8这对角在两被截线m，n的，在截线l的，形如“F”字型，具有这种关系的一对角叫同位角。
（2）∠3与∠5这对角在两被截线m，n的，在截线l的，形如“Z”字型，具有这种关系的一对角叫内错角。
（3）∠3与∠6这对角在两被截线m，n的，在截线l的，形如“U”字型，具有这种关系的一对角叫同旁内角。
2、找出图1中所有的同位角、内错角、同旁内角。
（1）∠1和，∠4和∠，∠2和，∠3和共4对互为同位角；
（2）∠3和，∠4和共2对互为内错角；
（3）∠3和，∠4和共2对互为同旁内角
3、“同位角、内错角、同旁内角”与“邻补角、对顶角”在识别方法上有什么区别？
4、归纳总结同位角、内错角、同旁内角的特征：
同位角：
“F”字型，“同旁同侧”
“三线八角”内错角：
“Z”字型，“之间两侧”
同旁内角：
“U”字型，“之间同侧”
（二）平行定义
1、如图2，直线j和直线k不相交，则把它们的位置关系记为：
_______；
2、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：
相交，平行。
（三）平行公理
1、如图3，点A是直线l外一点，请作出过点A且平行于直线l的平行
线。
你能作出多少条这样的直线？
__________。
平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2、画图观察，如果a∥b，a∥c，则b_______c。
即：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、比较平行公理和垂线的第一条性质。
共同点：
都是“”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在
并且是的。
不同点：
平行公理中所过的“一点”要在已知直线，两垂线性质中对“一点”没有限制，
可在直线，也可在直线。
二、新课讲解
例题1：
下列所示的四个图形中，
和
是同位角的是（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①④
变式练习1：
如图4，按角的位置关系填空：
与
互为________，
与
互为__________，
与
互为__________。
例题2：
已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行线？
解：
分类讨论，分5种情况：
①若四条直线两两不相交，则此时四条直线相互平行而交点；
②若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有个交点；
③若四条直线中有两条直线平行，另两条不平行，则此时有个或个交点；
④若四条直线中有两条直线平行，另两条也平行，则此时有个交点；
⑤若四条直线中没有平行线，则此时有个交点；
综上分析，这四条直线中共有线平行。
变式练习2：
下列四句话中正确的个数有（）
①在同一平面内两条直线不平行就相交；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③说两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行；
④两条不相交的直线是平行线。
A．1个B．2个C．3个D．4个
例题3：
读下列语句，并画出图形。
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；
（2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E。
变式练习3：
根据下列要求，画出图形
（1）在图①中过点A画MN//BC；
（2）在图②中过点P画PE//OA，交OB于E，画PH//OB，交OA于H；
（3）在图③中过点C作CE//DA，交AB于E，作CF//DB，与AB的延长线交于点F。
三、巩固与提高
（A组）基础训练
1、如图5，∠ADE和∠CED是（）
A．同位角B．内错角
C．同旁内角D．互为补角
2、下列说法正确的是（）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3、如图6，互为内错角的是（）
A．∠1和∠2B．∠2和∠3
C．∠1和∠4D．∠3和∠4
4、若∠1与∠2是同旁内角，且∠1=50°，则∠2的度数是（）
A．50°B．130°C．50°或130°D．不能确定
5、如图7，直线AB，CD被DE所截，则∠1和是同位角，∠1和是内错角，∠1
和是同旁内角。
如果∠5=∠1，那么∠1∠3。
6、设
、b、c为平面上三条不同直线，
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是_________；
（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是_________；
（3）若a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是________。
7、如图8，
和
互为________角，它们是由直线____和直线_____被直线______所截而得。
和
互为__________角，它们是由直线____和直线_____被直线______所截而得。
8、如图9所示，
的同位角是________，内错角是_______，邻补角是__________。
9、将一张长方形纸片对折两次，得到三条折痕，这三条折痕有什么关系，请说明理由。
10、有一个正方形花池，先将它们分成面积相等的八块，分别种上不同颜色的花，如果要求分成的形状也相同。
请你画出几种不同的方案。
（B组）能力提高
1、已知直线a、b、c在同一平面内，则下列说法错误的是（）
A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B．如果a⊥b，c⊥b，那么a∥c
C．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交
D．如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交
2、同一平面内的四条不重合的直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）
A．a∥bB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c
3、下列命题：
（1）长方形的对边所在的直线平行；
（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；
（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；
（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4、如图10，若两条平行线EF，MN与直线AB、CD相交，
则图中共有同旁内角的对数为（）
A．4 B．8
C．12 D．16
5、如图11，问：
∠1与∠C、∠2与∠B、∠3与∠C分别是哪两条直线被哪一条直线所截成的同位角？
四、趣味数学
古代的平方数表
1354年，一个叫辛克斯的人得到了一批古代遗留下来的泥版，泥版上刻着一行又一行古怪的数字。
这些数字是古代人用芦苇管或小木棒在未干的软泥版上刻出来的，字的笔划一端粗一端细，好象楔子，是一种楔形文字。
如果把这些古怪数字“翻译”成我们所熟悉的阿拉伯数字，则如图所示，第一块泥版上所刻的数依次为1、4、9、16、25、36、49，接下去是1.4、1.21、1.40、2.1、2.24、2.49、3.16、3.45、4.16，等等。
1
4
9
16
25
36
49
1.4
1.21
1.40
2.1
2.24
2.49
3.16
3.45
4.16
第一块泥版上所刻的数据考证，这批泥版是古巴比伦人遗留下来的，大约于公元前2300-1600年间制成。
那么，泥版上所刻的数又是什么意思呢？
经过很长时间的研究终于发现，它们是古巴比伦人的平方数表和立方数表。
在平方数表上刻着1-60的平方数，在立方数表上刻着1-32的立方数。
原来，古代巴比伦人的记数方法是以60进位的，这些数表上的记号也只有用60进位制才能解释得通。
例如，对于第一块泥版上所刻的数，其中1、4、9、16、25、36、49分别是1、2、3、4、5、6、7的平方，这是很容易理解的。
至于1.4、1.21……、4.16等数，实际上应作如下解释：
第8个数，1.4意为1×60+4=64=
；
接下去的数，1.21意为1×60+21=81=
；
1.40意为1×60+40=100=
；
2.1意为2×60+1=121=
；
........................
4.16意为4×60+16=256=
。
古代巴比伦人还没有用来表示数字0的记号。
因而，在他们的泥版平方数表上，1.4和1.40实际上使用的是相同的记号，如果我们有幸能够看到当年古巴比伦人写出的算式，那么，必须根据算式中上下文的意思才能把它们区别开来。
由此可知，数字0的出现，给我们记数带来了多大的方便！
五、考考你（共5题，每小题20分，共100分）
1、（2010广西桂林）如图12，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是（）
A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5
图12图13
2、（2011河北）如图13，∠1+∠2=（）
A．60°B．90°C．110°D．180°
3、说法中错误的个数是（）
（1）相等的角是对顶角。
（2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有垂直、平行两种。
（4）同一平面内，不相交的两条直线互为平行线。
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、下列说法正确的是（）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．若a∥b，a∥c，则b∥c。
D．两直线不相交就平行。
5、如图14，下列说法中不正确的是（）
A．∠1和∠2（即∠ABD）是同旁内角B．∠1和∠DBC是内错角
C．∠A和∠4是同位角D．不能得到∠1和∠3（即∠DBC）是内错角
六、家庭作业
1、如图15：
（1）∠EGB与∠GHD是与，被所截而成的。
（2）∠BGH与∠CHG是与，被所截而成的。
（3）∠AGH与∠GHC是与，被所截而成的。
2、已知直线l1与l2都经过点P，如果直线l1∥l3，l2∥l3，那么l1与l2重合，这是因为______。
初一数学（新课）班补充讲义（57期）
第二讲同位角、内错角、
同旁内角和平行公理
【能力拓展】
1、把一张长方形纸连续对折
次得
条平行的折痕，则对折
次得到平行的折痕（）
A．
条B．
条C．
条D．
条
2、如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，
过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，
且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长
度是________到________的距离，线段MN的长度
是________到________的距离，又是_______的距离，
点N到直线MG的距离是。
3、OC把∠AOB分成两部分，且有下列两个等式成立：
①∠AOC＝
直角+
∠BOC；②∠BOC＝
平角－
∠AOC，
问：
（1）OA与OB的位置关系如何？
（2）OC是否为∠AOB的平分线？
请写出判断的理由。
【课堂小测】（每小题20分，共100分）
1、如图1所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=a，BC=b，则BD的范围是（）
A．大于aB．小于b
C．大于a或小于bD．大于b且小于a
2、图2中，能与∠1成为同位角的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5、（2009年长沙）如图3，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为。
4、如图4所示的长方体，用符号表示下列棱的位置关系：
A1B1AB，AA1A1B1，A1D1C1D1，AD_______BC；
5、如图5，OC⊥AB，DO⊥OE，图中与∠COE互补的角是__________________。
初一数学（新课）班讲义第二讲参考答案（57期）
一、新课课题
（一）1、8，
（1）同一方（下方），同侧（右侧）
（2）之间，两侧，（3）之间，同一旁（左侧）
2、
（1）∠5，∠8，∠6，∠7；
（2）∠5，∠6；（3）∠6，∠5；
3、“同位角、内错角、同旁内角”没有公共顶点，而“邻补角、对顶角”有共公顶点。
（二）1、j∥k；
（三）1、一条；2、∥；3、有且只有，唯一，外，外，上。
二、新课讲解
例题1：
C；
变式练习1：
同旁内角；同旁内角；同位角；
点评：
根据“三线八角”中同位角、内错角、同旁内角的特征解题。
同位角：
“F”字型，“同旁同侧”
“三线八角”内错角：
“Z”字型，“之间两侧”
同旁内角：
“U”字型，“之间同侧”
例题2：
①没有；②三；③三，五；④四；⑤一个、四个或六；两条或三条。
点评：
由平行线的定义分析交点的个数进行分析解答
变式练习2：
B
点评：
在同一平面内两条直线的位置关系有两种：
一种是相交，另一种是平行，二者必居其一，故①对；过已知直线上一点不能作已知直线的平行线，故②错；③显然是对的；两条不相交的直线不一定是平行线，如：
长方体不共面的两条棱，故④错。
例题3：
图略；
变式练习3：
图略；
三、巩固与提高
A组：
1、B；2、D3、D；4、D；
5、
，∠5，
，=；
6、
（1）平行；
（2）平行；（3）垂直；
7、内错，AB，CD，BD；内错，AD，BC，BD；
8、
，
，
；
9、答：
这三条折痕都平行。
因为平行关系具有传递性。
10、图略。
B组：
1、C；2、C；3、C；4、C
5、∠1与∠C是直线DE、BC被直线AC所截成的同位角。
∠2与∠B是直线DE、BC被直线AB所截成的同位角。
∠3与∠C是直线DF、AC被直线BC所截成的同位角。
五、考考你
1、B；2、B；3、C；4、C；5、D；
六、课外作业
1、
（1）AB，CD，EF，同位角；
（2）AB，CD，EF，内错角；
（3）AB，CD，EF，同旁内角；
2、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
初一数学（新课）班补充讲义第二讲参考答案（57期）
【能力拓展】
1、C
2、点M，直线CD，点M，直线EF，平行线AB、EF间，线段GN的长度
3、
（1）OA⊥OB；
（2）OC是∠AOB的平分线。
【课堂小测】
1、D；2、C；3、135；4、∥，⊥，⊥，∥；5、∠DOB；
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