初一图形的初步认识.docx
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初一图形的初步认识
图形的初步认识
考点一、直线、射线和线段
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:
有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:
面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:
包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:
几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、直线的概念
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意:
(1)表示点、直线、射线、线段时,都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
(2)直线和射线无长度,线段有长度。
(3)直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。
(4)点和直线的位置关系有线面两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质
(1)直线公理:
经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。
它可以简单地说成:
过两点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
(1)线段公理:
所有连接两点的线中,线段最短。
也可简单说成:
两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,具体的有一下四种表示方法:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:
用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
3、角的度量
角的度量有如下规定:
把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’=60”
4、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
5、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
考点三、相交线
1、相交线中的角
两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补,对顶角相等。
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。
其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
考点四、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
相交或平行。
注意:
(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:
同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:
内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:
同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
考点五、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
理解:
命题的定义包括两层含义:
(1)命题必须是个完整的句子;
(2)这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类(按正确、错误与否分)
真命题(正确的命题)
命题假命题(错误的命题)
所谓正确的命题就是:
如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:
如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
(1)根据题意,画出图形。
(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
考点六、投影与视图
1、投影
投影的定义:
用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。
平行投影:
由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。
中心投影:
由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图
当我们从某一角度观察一个实物时,所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图:
在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。
俯视图:
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。
左视图:
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图,有时也叫做侧视图。
图形初步认识总结与测试
【学习提示】
一.知识结构:
二.知识技能:
能通过具体图形进行识别或判断,会画简单立体图形的三视图,能想象从不同角度看到的物体的形状;会根据三视图,描述出原来的立体图形的形状,提高感觉能力;进一步认识立体图形和平面图形之间的关系,了解多面体可由平面图形围成;会根据展开图识别简单的立体图形,根据简单的立体图形判别展开图,重点掌握正方体展开图。
认识理解点、线段、射线、直线,理解线段中点、两点间的距离及直线和线段的基本性质;理解角的两种定义、角的和、差及角平分线、互余、互补的概念
三.规律方法:
1.多姿多彩的图形:
通过多姿多彩的图形引入几何图形,使我们认识立体图形、平面图形,通过三视图我们可以把立体图形转化为平面图形来研究和处理,也可以把立体图形展开为平面图形;几何体也简称为体,包围体的是面,面面相交为线,线线相交为点;点动成线,线动成面,面动成体,几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素。
2.直线、射线、线段的区别与联系:
从图形上看,直线、射线可以看做是线段向两边或一边无限延伸得到的,或者也可以看做射线、线段是直线的一部分;线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点;线段可以度量,直线、射线不能度量。
3.直线、线段性质:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线;或者说两点确定一条直线;
4.两点的所有连线中,线段最短;简单说:
两点之间,线段最短。
5.分析点与直线的位置关系或当题中的条件不明确时,用分类讨论的思想
6.线段中点:
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点,如图:
若点C是线段AB的中点,则有
(1)
或
(2)AB=2AC=2BC,反之,若有点在线段上且
(1)式或
(2)式成立,亦能说明点C是线段AB的中点。
7.关于线段的计算:
两条线段长度相等,这两条线段称为相等的线段,记作AB=CD,平面几何中线段的计算结果仍为一条线段。
即使不知线段具体的长度也可以作计算。
例:
如图:
AB+BC=AC,或说:
8.角的意义:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边,角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
9.角的度量:
1°=60′,1′=60″,1周角=360°,1平角=180°,1直角=90°
10.角的大小的比较:
(1)叠合法,使两个角的顶点及一边重合,另一边在重合边的同旁进行比较;
(2)度量法。
11.角的平分线:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。
如图:
OC平分∠AOB,则
(1)∠AOC=∠BOC=
∠AOB或
(2)2∠AOC=2∠BOC=∠AOB。
12.有关角的运算:
举例说明:
如图,∠AOC+∠BOC=∠AOB,∠AOB-∠AOC=∠BOC
特殊情况,如果两个角的和等于直角,就说这两个角互为余角,即其中一个是另一个的余角;如果两个角的和等于平角,就说这两个角互为补角,即其中一个是另一个的补角;等角的余角相等,等角的补角相等。
13.数角和线段的个数或条数时,得结论
14.与时钟有关的计算问题:
时针每分钟走0.5º;分针每分钟走6º;每个小格是6º;每个大格是30º
它们在同一时间x分钟里走的角度分别为0.5ºx和6ºx
分针的速度是时针的速度的12倍
13 方位角:
方位角是表示方向的角。
在航海和航空中,有时以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向。
规定一个点O为观测点,地图中“上北下南,左西右东”,分别用以O点为端点的射线作方向线,东西线与南北线互相垂直。
【经典练习题】
一.填空题。
1.点动成______,线动成_______,面动成______。
2.几何图形由____、_____、_____、_____构成。
3.正方体有____个顶点,_____个面,_____条棱。
4.经过一点可以画__________条直线,经过两点可以画__________条直线,不在同一条直线上的三点可以确定__________条直线。
5.如图,A,B,C,D为直线上的四个点,图中共有______条线段,以C为端点的射线有_______条,它们是_____________。
6.如下图,有线段_________条,它们是_____________________;图中大于0°且小于180°的角有_________个,它们是__________________________;图中小于平角的角有__________个,以A为顶点的角是_______________________。
7.18.32°=______度______分______秒
8.
9.40°32′×2=_______,80°40′÷6=__________。
10.38°52′的余角等于_________,76°15′34″的补角是_________。
11.线段公理是_______________,直线公理是_______________。
12.
AD=( )+( )=( )+( )
DC=AD-( )=( )-BC-( )
AC+BD=( )-BC
13.
,则∠1与∠2的关系是___________。
14.若∠AOB=45°,∠BOC=30°,则∠AOC=__________。
15.时钟在9时整点时,分针和时针之间的角度是__________,分针在30分钟里转过了__________度角;9时至10时之间,在__________时分针和时针所夹的角成90度。
16.一个角的余角的补角是115°,则这个角是__________。
17.在船上看灯塔是北偏东30°,那么从灯塔看船是__________方向。
18.直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,若∠BOE=20°,则∠AOC=__________。
19.两条不同的线段,它们的和是16,较长的线段的3倍等于较短的线段的5倍,则较长线段与较短线段的差是_______________。
20.平面内有4条直线两两相交,最多可以确定x个交点,最少可以确定y个交点,则x+y=__________。
21.
(1)长方体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(2)正方体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(3)圆柱体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(4)圆锥体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(5)三棱柱从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________。
二.选择题。
1.下列图形中,是四棱柱的侧面展开图的为( )
2.下面的三视图是什么立体图形( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.圆锥 D.圆台
3.下列说法正确的有( )个
(1)直线AB和直线BA是同一条直线
(2)射线AB和射线BA是同一条射线
(3)线段AB和线段BA是同一条线段
(4)数轴是一条射线,因为它有方向
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若
,那么点C与AB的位置关系为( )
A.点C在AB上 B.点C在AB外
C.点C在AB延长线上 D.无法确定
5.用一副三角板(两块)可以做大于0°且小于180°的角共有( )个。
A.11 B.6 C.4 D.13
6.下面的判断,正确的是( )
A.一个角的余角大于这个角
B.一个角的补角大于这个角
C.一个角的余角不小于它的补角
D.一个角的补角与它的余角的差等于90°
7.已知线段AB,延长AB到C,使BC=2AB,又延长BA到D,使DA=
AB,则( )
A.
B.
C.
D.
8.∠AOB+∠BOC=90°,又∠BOC与∠COD互余,那么∠AOB与∠COD的关系是( )
A.互余 B.互补 C.相等 D.不能确定
9.下列说法不正确的是( )
A.射线OA表示北偏东30度
B.射线OB表示西北方向
C.射线OC表示西偏南10度
D.射线OD表示南偏东70度
三.解答题。
1.如图,P是线段AB上的点,M,N分别是线段AB,AP的中点,若AB=16cm,BP=6cm,求线段MN的长。
2.如图,已知点O是直线AD上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD三个角从小到大依次相差25°,求这三个角的度数。
3.甲同学从A出发向北偏东75°方向走10m到达B处;乙同学从A出发向南偏西
15°方向走15m至C处,那么AC,AB所成的角是多少度。
4.一个角的余角和它的补角之比是3:
7,求这个角。
5.点C在直线AB上,如果AC=5.6,BC=2.4,求线段AC的中点M与线段BC的中点N之间的距离。
6.已知∠1:
∠2:
∠3=1:
2:
4,∠4=80°,求∠1、∠2、∠3的度数。
7.直线AB、CD相交于O,OE平分∠AOC,∠BOC-∠BOD=20°,求∠BOE度数。
【经典练习题】答案
一.填空题。
1.点动成______,线动成_______,面动成______。
答案:
线,面,体
2.几何图形由____、_____、_____、_____构成。
答案:
点,线,面,体
3.正方体有____个顶点,_____个面,_____条棱。
答案:
8,6,12
4.经过一点可以画__________条直线,经过两点可以画__________条直线,不在同一条直线上的三点可以确定__________条直线。
答案:
无数,一,三
5.如图,A,B,C,D为直线上的四个点,图中共有______条线段,以C为端点的射线有_______条,它们是_____________。
答案:
6,2,CA、CD
6.如下图,有线段_________条,它们是_____________________;图中大于0°且小于180°的角有_________个,它们是__________________________;图中小于平角的角有__________个,以A为顶点的角是_______________________。
答案:
6,CA、CD、CB、AD、AB、DB;
7,∠ACD、∠DCB、∠ACB、∠A、∠ADC、∠CDB、∠B;7,∠A
7.18.32°=______度______分______秒答案:
18,19,12
8.
答案:
9.40°32′×2=_______,80°40′÷6=__________。
答案:
10.38°52′的余角等于_________,76°15′34″的补角是_________。
答案:
11.线段公理是_______________,直线公理是_______________。
答案:
两点之间线段最短,两点确定一条直线
12.
AD=( )+( )=( )+( )
DC=AD-( )=( )-BC-( )
AC+BD=( )-BC
答案:
13.
,则∠1与∠2的关系是___________。
答案:
,
或
14.若∠AOB=45°,∠BOC=30°,则∠AOC=__________。
答案:
15.时钟在9时整点时,分针和时针之间的角度是__________,分针在30分钟里转过了__________度角;9时至10时之间,在__________时分针和时针所夹的角成90度。
答案:
90°;180°;
答:
9点
分时成90°。
16.一个角的余角的补角是115°,则这个角是__________。
答案:
设这个角为x
17.在船上看灯塔是北偏东30°,那么从灯塔看船是__________方向。
答案:
南偏西30°
18.直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,若∠BOE=20°,则∠AOC=__________。
答案:
40°
19.两条不同的线段,它们的和是16,较长的线段的3倍等于较短的线段的5倍,则较长线段与较短线段的差是_______________。
答案:
设较长为x,较短为
∴差为4
20.平面内有4条直线两两相交,最多可以确定x个交点,最少可以确定y个交点,则x+y=__________。
答案:
21.
(1)长方体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(2)正方体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(3)圆柱体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(4)圆锥体从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________;
(5)三棱柱从正面看是__________,从左面看是__________,从上面看是__________。
答案:
(1)长方形,长方形,长方形;
(2)正方形,正方形,正方形(3)长方形,长方形,圆;
(4)三